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文档简介

1、六、重积分的应用第二十一章 重积分1一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD2一、立体的体积二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积3例1 计算由曲面及 xoy 面所围的立体体积。解设立体在第一卦限上的体积为 V1。由立体的对称性，所求立体体积 V = 4V1 。立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为4立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为于是，5所求立体的体积6例2 求两个圆柱面所围的立体在第一卦限部分的体积。解所求立体可以看成

2、是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为7它的底为它的曲顶为于是，立体体积为8例3 求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为 V1 ，则所求立体的体积为9V1 可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底D 由半圆周及 x 轴围成。用极坐标系表示于是，10所求立体体积11二、曲面的面积设曲面的方程为：如图，12- 曲面 S 的面积元素曲面面积公式为：13设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得14解设第一卦限部分的面积为 A1 ，则由对称性，所求的面积为15极坐标系下表示：16例5 求两个圆柱面所围的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。解所求表面分成和，如图。第一块（ ）在圆柱面第一块（ ）在圆柱面由对称性，这两块曲面的面积相等，即A=A。因此，A = 2 A。在 A上，曲面方程为17A在 A上，曲面方程为因此，A = 2 A。18AA19A于是所求面积，A = 2 A20几何应用：立体的体积、曲面的

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