等腰三角形“手拉手”模型的拓展

1、 等腰三角形“手拉手”模型的拓展在初中几何中，模型教学的几何直观性有着很强的指导意义，同时，模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径.本文将对传统“手拉手”模型作进一步探究.一、模型及性质模型如图1,两个等腰三角形AABD和ABCE,AB=BD,BE=BC且ZABD=ZCBE二厶,AE与CD相交于于点F，连接BF.则有:AABE=ADBC；ZAFD=Za；(3)BF平分ZAFC.注两个相似等腰三角形共顶点旋转，我们称之为等腰三角形的“手拉手”，可得上述三个最基本的结论.二、模型的拓展例1如图2,AACB和ADAE均为等边三角形，EC与BD相交于点F，连结AF.求证：CF=AF+BF;DF

2、=AF+EF.解析AACB和ADAE均为等边三角形.由手拉手基本结论，可知ACAE=ABAD,易得ZECA=ZABD.在CF上截取CG，使CG=BF.只需要证明GF=AF即可.由于ABCA为等边三角形，可得AC=AB，于是可证AACG=AABF.得AG=AF,ZCAG=ZFAB.QZCAG+ZGAB=60。，.ZFAB+ZGAB=60，即ZGAF=60，AAGF为等边三角形，故FG=AF.CF=CG+FG=BF+AF/同理可得DF=AF+EF.例2如图3,AACB和NDAE均为等腰直角三角形，ZCAB=ZDAE=90。,EC与BD相交于点F，连结AF.求证：CF=x：2AF+BF；DF=J2A

3、F+EF.解析AACB和ADAE均为等腰直角三角形，由手拉手基本结论(1)，可知ACAE=ADAB，易得ZECA=ZABD.在CF上截取CG，使CG=BF.只需要证明GF二迈AF即可.由于ABCA为等腰直角三角形，可得AC=AB，于是可证AACG=AABF.得AG=AF,ZCAG=ZFAB.QZCAG+ZGAB=90，.ZFAB+ZGAB=90，即ZGAF=90,aagf为等腰直角三角形，FG=42AF.CF=CG+FG=BF+、2AF,同理可得DF=-J2AF+EF.例3如图4,AACB和ADAE均为等腰三角形,ZCAB=ZDAE=Za,EC与BD相交于点F，连结AF.a求证：CF=2AFs

4、in+BF；2aDF=2AFsin+EF2解析AACB和ADAE均为等腰三角形由手拉手基本结论，可知ACAE=ADAB，易得ZECA=ZABD.a在CF上截取CG，使CG=BF.只需要证明GF=2AFsin-即可.厶作AH丄CE于点H，由于ABCA为等腰三角形，可得AC=AB,于是可证AACG=AABF:.AG=AF,ZCAG=ZFAB.QZCAG+ZGAB=Za,.ZFAB+ZGAB=Za,即ZGAF=Za,.AAGF为等腰三角形且顶角为Za.在RtAAGH中，aa解得GH=AGsin=AFsin，22a则GF=2AFsin,2aCF=2AFsin+BF2a同理可得DF=2AFsin+EF2综合上述分析，我们在原有基本模型的基础上进行了拓展发散，从一般到特殊，展示了探究知识生长的过程，“手拉手”模型的基本结论便是拓展的生长源，然后通过截长法，巧妙的实现线段之间的转化.当然也可以采用补短法实现转化，还可以通过再构造等腰三角形达成目标.无论哪一种解题策略，都是在基本模型结论的基