切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

1、相交弦定 a相交弦定 理的推论切割线定 a切割线定 理推论圆骞定理连结 AC、 BD, 证： AP6 DPB.用相交弦定理.连结TA、TB , 证： PTB APAT过P作PT切。0于T,用 两次切割线定理（记忆的方法方法） 延长PO交。0于M,延 长0P交。0于N,用相交 弦定理证；过P作切线用r为。0的半径切割线定理勾股定理证切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）.切线长定理对于切

2、线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切。0于P, PG PD为弦,图中几个弦切角呢？（四个）.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。.弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的

3、性质定理及切线长定理。.与圆有关的比例线段定理 图形已知结论证法中，AR CD为弦，交 PA- PB= PC- PD.于P.00 中，AB为直径，CDLAB PC2=PA- PB.于P.| （特殊情况）00中，PT切。0于T, PT2 = PA- PB割线PB交。0于APB PD为。0 的两条害U线，PA- PB= PC- PD交。0于A、COO 中，割线 PB交。0 于 PC PD = r2A, CD为弦OP2PA- PB= 0P-r28.圆哥定理：过一定点P向。0作任一直线，交。于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数|。尸2-胃1 （R为圆半径），因为OF? R?叫做点对于。o的

4、哥，所以将上述定理统称为 圆哥定理。【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆0,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE设CE为x,在RtADE中，由勾股定理1315）5 = 1- - = - AS=l + - = -4 44 4例2.。0中的两条弦AB与CD相交于E,若AE= 6cm,BE= 2cm,CD=7cm那么CE=cm。图2解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE. AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm, 白豆二 DD CE =1-CS,6X2=

5、即唐+=.CE= 3cm或 CE= 4cm=故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 :月炉=。解：./P=/P/ PAC= / B, . .PA6 APBA AB _ FB 而二四 , ?AB2 _ PT又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得_ P卷游PB* PC 无, ?日 A AC2 = PS. PC即,故应填PC点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是。0的割线，交。0于A、B两点，如果PA:PB= 1 ： 4, PC=

6、12cm, 00的半径为10cm,则圆心 O到AB的距离是 cm。图3解：.PC是。0的切线，PAB是。0的割线，且 PA: PB= 1 : 4.PB= 4PA又PC= 12cmPC飞 一* pe由切割线定理，得一 f尸.平:山日. 丹/=克，顼=哈.PB= 4X6= 24 (cm).AB= 24-6= 18 (cm)设圆心O到AB距离为d cm,由勾股定理，得故应填M。例5.如图4, AB为。0的直径，过 B点作。0的切线BC, OC交。0于点E, AE的延长线交 BC于点D, （1）求证：；（2）若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。图4点悟:要证即要证 CES ACBE证明：（1）

7、连结BE如矍砌线乙船人如为直径J AB = 2 05 = 1“、3c = 2二:OC V4 -M =君 OS = .今CE =君一1。 -）/君-T=2CD=y口 = 0-局厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5, AB为。0的直径，弦 CD AB AE切。0于A,交CD的延长线于 E。 图5求证：二/一二证明：连结BD,.AE切。0 于 A，/ EAD= /ABD . AE! AB,又 AB/ CD .AE! CD.AB为。0的直径ADB= 90E= Z ADB= 90.AD曰 ABADAD DE 一一匚 .AD2 = AB* DE. CD/

8、 AB.AD= BC,- J 例7.如图6, PA PC切。0于A、C, PDB为害U线。求证：AD- BC= CD-AB图6空里点悟：由结论 AD- BC= CD-AB得翡。品，显然要证 PAD PBA和PC8 PBC证明：.PA切。于A,./ PAD= Z PBA又 / APD= / BPA.PAD APBA. XB - HF同理可证 PCmAPBCPA PC分别切。0于A、CPA= PCQ _ CDXB - 3C.AD- BG= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，/A= 90 ,以 AB边为直径作。0,交余边 BC于点D,过D点 作。0的切线交AC于E。图7求证：BC=

9、20E点悟：由要证结论易想到应证 0E是 ABC的中位线。而 0A= 0B只须证 AE= CE证明：连结0D.ACL AB, AB 为直径AC为。0的切线，又 DE切。0于D.EA= ED, 0DL DE1- 0B= 0DB= Z 0DB在 RtABC中，Z C= 90 -ZB/ 0DE 90./ C= Z EDC.ED= EC.AE= EC.0E是ABC的中位线.BC= 20En例9.如图8,在正方形 ABCD中,AB= 1 ,C是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点En是边AD上的任意一点（点 E与点A、D不重合），过E作且O所在圆的切线，交边 DC于点F, G 为切点。当/DEF=

10、 45时，求证点 G为线段EF的中点；图8解：由/DEF= 45 ,得且二如-幼=45。./ DFE= /DEF.DE= DF又AD= DC.AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB,所以 AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点C=又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 TOC o 1-5 h z .已知：PA PB切。0于点A、B,连结AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,则PA=（）2025A. 5B.3C. 5D. 8.下列图形一定有内切圆的是（）A,平行四边形B.矩形C.菱形D.

11、梯形 TOC o 1-5 h z .已知：如图1直线MN。相切于C, AB为直径，/ CAB= 40 ,则/ MCA的度数（）图1A.50 B.40C. 60D.55 .圆内两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm.在ABC中，D是BC边上的点，AD= 2J%僧，BD= 3cm, DC= 4cm,如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么 DE长等于（）A.2痘的B.3岳牌C.D.入反 燃. PT切。0于T, CT为直径，D为OC上一点，直线 PD交。0于B和A, B在线段PD上，若C =2,

12、 AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D.橐石二、填空题. AB 、CD是。0切线，AB/ CD EF是。0的切线，它和 AB CD分别交于 E F,则/ EOF 度。.已知：00和不在。0上的一点 P,过P的直线交。0于A、B两点，若 PA- PB= 24, OP= 5, 则。0的半径长为。.若PA为。0的切线，A为切点，PBC割线交。0于B、C,若BC= 20,以=1。6,则PC的 长为。.正4ABC内接于。O,MN分别为ARAC中点，延长MN交。0于点D,连结BD交AC于P,PC _则产j。三、解答题.如图2, 4ABC中，AC= 2cm,周长为8c

13、m, F、K、N是 ABC与内切圆的切点， DE切。0于点 M 且 DE/ AC 求 DE的长。图2.如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点，PC切。0于C,CDLAB于D,求证：CB平分ZDCP图3.如图4,已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过 B的割线BMN AD的延长线于 C,且BM= MN= NC若Ak酒，求。o的半径。图4【试题答案】一、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题7. 908. 19. 3010.z三、解答题：.由切线长定理得 BDE周长为4,由4BD曰 BAC彳导 DE= 1cm.证明：连结AC则ACL CB. CDLAR .AC