北京化工大学高等固体物理习题课有答案

1、北京化工高校 其次学期 争辩生课程：固体物理 2 样 题一、简答题1. 请导出一维双原子链的色散关系,并争辩在长波极限时间学波和声学波原子的振动特点；Mam .2a双原子（M m）一维晶格运动方程 ：md2x2n+1/dt2=ksx2n+2-2x2n+1+x2nMd2x2n+2/dt2=ksx2n+3+x2n+1-2x2n+2方程的解是以角频率为 的简谐振动：x2n+1=Aei t-q2n+1a x2n=Bei t-q2nax2n+2=Bei t-q2n+2a x2n+3=Aei t-q2n+3a由牛顿方程与简谐振动方程得：-m 2A=kse iqa+e -iqaB-2k sA-M 2B=k

2、se iqa+e -iqaA-2k sA上式可改写为： 2ks-m 2A-2k scosqaB=0-2kscosqaA+2ks-M 2B=0如 A、B 有异于零的解,就其行列式必需等于零,即有解条件 2ks-m 2-2kscosqa -2k scosqa 2k s-M 2 行列式为 0得：2=m+M m2+M2+2mMcos2qa1/2ks/mM 说明 ：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系,即对一维复式格子,可以存在两种独立的格波（对于一维简洁晶格,只能存在一种 自己的色散关系：格波）；两种不同的格波各有12=m+M-m2+M2+2mMcos2qa1/2k s/mM 22=m+M+m2+M

3、2+2mMcos2qa1/2ks/mM声学波与光学波的比较声相 邻 原振动的振 动振动质点长波 极 限异号子 的 振频率同号动方向相同慢质点的质量双原双原子子原胞重连续介质的弹性波学波光相反快异 号轻产生原 子电偶学相 对极矩,振动发射波电磁波2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别 红外吸取吗？. 另外,你认为简洁晶格存在猛烈的1长光学支格波的特点是每个原胞内的不同原子作相对振动,振动频率较高,它 包含了晶格振动频率较高的振动模式；长声学支格波的特点是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞作整体运动,振动频 率较低,它包含了晶格振动频率较低的振动模式,波速是一常数；任何晶体都存在声学支格波

4、,但简洁晶格非复式格子 晶体不存在光学支格波；2试验已经证明,离子晶体能猛烈吸取远红外光波,这种现象产生的根源是离子晶体中个 长光学横波能与远红外电磁波发生猛烈耦合,简洁晶格中不存在光学波,所以简洁晶格不会吸收远红外光波；3. 设电子在一维周期势场V（x）中运动,其中 V（x）=Vx+a ,按微扰论求出 k=/a处的能隙；4. 爱因斯坦模型在低温下与试验存在偏差的根源是什么. 为什么说在甚低温下, 德拜模型与试验相符？并对比分析爱因斯坦模型和德拜模型在说明晶格热容中的各自优点和不足之处；1）依据爱因斯坦温度的定义,爱因斯坦模型的格波的频率大约为 10 13HZ ,属于光学支频率；单光学格波在低

5、温时对热容的贡献特殊小,低温下对热容的贡献大的主要是长声学格波；也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与试验存在偏差的根源；2）在甚低温下,不仅光学波得不到激发,而且声子能量较大的短声学格波也未被 激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波；长声学格波即弹性波；德拜模型只 考虑弹性波对热容的贡献； 因此,在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与试验相符；3）Einstein 模型：把晶体中的原子看作是一些具有相同圆频率 E 并能在空间做自由 Plank 理论,他假定每个谐振子的能量是量子化的；振动的独立谐振子,依据 这个模型抓住了本质现象, 但过于简化,只是定性地

6、说明白热容温度关系,定量上不够精确；Debye 模型：把晶体中原子间相互关联的运动看作是在一个连续的、各向同性介质中的 为上限的弹性波频谱来表述；波,并用一个最高频率 D 由于德拜理论所引入的频率分布具有晶体实际频率分布的某些特点,因此 除去最精密的测量外, 这个模型与简洁晶体的热容测量结果是吻合的,特殊是低温部分；5. 布洛赫定理指出,一个在周期场中运动的电子,其波函数确定是布洛赫函数；周期性边界条件的引入,说明白电子的状态是分立的；为了说明固体中电子的能量特点,通常接受克朗尼格 -朋奈（ Kroning-Penney）模型,这里请简述该模型的主要思想；克朗尼格 - 朋奈模型实际就是将上图的

7、周期场简化为下图 所示的周期性方势阱后求薛定谔方程的过程6. 固体中存在几种抗磁性？铁磁和反铁磁是怎样形成的？铁磁和反铁磁在低温存高温 下的磁化有什么特点？7. 简述固体光吸取过程的本征吸取、激子吸取及自由载流子吸取的特点,用光吸取的 试验如何确定半导体的带隙宽度？1）本征吸取：电子由价带到导带的跃迁相关的光吸取,吸取系数很高常相伴可以迁 移的电子和空穴,产生光电导；2）激子吸取：电子由价带向稍低于导带底处的能级的跃迁,这种能级上的电子,不 同于被激发到导带上的电子,不显示光导电现象, 它们和价带中的空穴偶合成电子-空穴对,作为整体在晶体中存在着或运动着,可以在晶体中运动一段距离（1 m）后再

8、复合湮灭；8. 利用费米统计和自由电子气体模型说明低温下电子比热中意 T 线形关系；9. 超导体的正常态和超导态的吉布斯自由能的为0 H cT,这里H 是超导体的临界磁场,说明在无磁场时的超导相变是二级相变,而有磁场时相变为一级相变；10. 固体物质主要分作三大类：晶体、非晶体和多晶体,请阐述三者之间的区分与联系；11. 在进行微观尺度材料设计时,求解多粒子体系量子力学方程必需针对所争辩的具体 内容而进行必要的简化和近似,试简述求解多粒子体系的薛定谔方程时通常所接受 的简化方案；由于离子质量远大于电子质量,故离子的运动速度远小于电子的运动速度；当原子 核运动时,电子极易调整它的位置,跟上原子核

9、的运动；而当电子运动时,可近似 认为原子核仍来不及跟上,保持不动；这样,在考虑电子的运动时,可以认为离子实固定在其瞬时不动,可把电子的运动与离子实的运动分开处理,称玻恩 奥本哈莫近似或绝热近似； 通过绝热近似, 把一个多粒子体系问题简化为一个多电子体系；单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题；12. 久保理论是针对金属超微颗粒费米面邻近电子能级状态分布而提出来的,与大块材料费米面邻近电子态能级分布的传统理论不同；为明白决理论和试验相脱离的困难,久保对小颗粒大集合体的电子能态做了两点主要假设,这里请简洁阐述两点假设的 主要思想；13. 超导体固体材料所具有的完全抗磁性性质可以通过迈斯纳

10、效应来进行说明,这里请 简洁阐述固体超导体具有的迈斯纳效应；当超导体冷却到临界温度以下而转变为超导态后,只要四周的外加磁场没有强到破坏超导性的程度,超导体就会把穿透到体内的磁力线完全排斥出体外,在超导体内永久保持磁感应强度为零；超导体的这种特殊性质被称为 14. 简述德 哈斯范 阿尔芬效应的起因；“ 迈斯纳效应 ” ；15. 超导体两个最显著的物理特性是什么？麦纳斯效应和零电阻效应16. 简述 Bloch 定理,说明简约矢k 具有波矢的意义推导：k 的物理意义,并简述的取值原就；17. 固体中有哪几种可能的光吸取过程？简述固体光吸取过程的本征吸取、激子吸取及 自由载流子吸取的特点,用光吸取的试

11、验如何确定半导体的带隙宽度？本征吸取,激子吸取,自由载流子吸取,晶格振动吸取,杂质吸取,自旋波或回旋 共振吸取；18. 晶体膨胀时 , 费密能级如何变化 . 19. 两块同种金属 , 温度不同 , 接触后 , 温度未达到相等前 , 是否存在电势差 . 为什 么. 二、运算和证明题1、 以刚性原子球积存模型,运算以下各结构的致密度：1 体心立方, 2六角密积体心立方：每单胞中的圆球 原子 数为 1/8 8角落 +1中心 2；相邻两原子距离 a；每个圆球半径 r；4a33a33/每个单胞总体积 = 每个圆球体积 = 34；16单胞中所能填的最大空间比率=圆球数 每个圆球体积2a33/16 a33/8.068因此整个体心立方单胞有68%为圆球所占据, 32% 的体积是空的；六角：每个圆球体积4a3a3326单胞体积： V=2a3n=2 单胞中所能填的最大空间比率=320.74=圆球数 每个圆球体积 /每个单胞总体积2、 考虑一双原子链的晶格振动, 链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10c. 令两种原子质量相同,且最近邻间距为a/2,求原子的运动方程,指出光学波和声学波大小,并求出在 k=0 和 k=/a 处的 k,大略地画杰出散关系；3、 二价金属晶格,晶胞为简洁矩形,晶格常数 画出第一、其次布里渊区；a=0.2 nm, b=0.4 n