2019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题(含解析)1388

1、2019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题(含分析)_13882019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题(含分析)_138810/102019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题(含分析)_1388问题12三角形中的不等问题一、考情剖析依据条件确立三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件(2)求边的范围可利用正弦定理把边转变为三角函数,利用三角函数的有界性求范围或依据角的范围利用余弦定理求边的范围,同

2、时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转变为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围三、知识拓展(1)若是锐角三角形,则,、ABC(2)若ABC中,若A是锐角,则a2b2c2；若A是钝角,则a2b2c2(3)ABC中,若A,则3=.(4)若a,b,c成等差数列,则B.3四、题型剖析(一)角或角的三角函数的范围或最值【例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、的对边分别是、，若，则的最小值为（）ABCD【答案】D【剖析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tanA3tanB，从而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解【分析】acosBbcos

3、A，由正弦定理化简得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B）sinAcosBcosAsinB，整理得：sinAcosB3cosAsinB，cosAcosB0，tanA3tanB；则222可得的最小值为应选D【评论】求三角函数式的范围一般是先确立角的范围,利用利用三角函数的单一性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【评论】此题主要考察三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常有方法有配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单一性法：将问题转变为对于某一参变量的函数后,首先确立函数的定义域,而后正确地找出其单一区间,最后再依据其单一性求凼数的值域

4、；此题就是先将BECF表示为对于t的函数,再依据方法解答的.【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知，则的最小值为_【答案】【分析】由于，所以，由于，所以，由余弦定理，得，即.(三)周长的范围或最值【例3】【2018届江西省K12结盟高三教育质量检测】在锐角ABC中,c2,.（1）若ABC的面积等于3,求a、b；（2）求ABC的周长的取值范围.【剖析】（1）利用已知条件经过正弦定理会合三角形的面积,余弦定理转变求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可（2）由正弦定理得,记ABC周长为l,则,又AB2,3,ABC为锐角

5、三角形,.【评论】周长问题也可看做是边长问题的延长,所以在解决周长有关问题时,着眼于边长之间的关系,联合边长求最值(范围)的解决方式,往常都能找到正确的解题门路.【小试牛刀】C中,角、C所对的边为a、b、c,且（1）求角；（2）若a2,求C的周长的最大值【答案】（1）A60；（2）6(四)面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP22,点M在线段PQ上(1)若OM5,求PM的长；若点N在线段MQ上,且MON30,问：当POM取何值时,OMN的面积最小？并求出头积的最小值【剖析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求OMN的面积最小值,前面的要求也

6、很明确：以POM为自变量,所以,此题的中点就是怎样将OMN的面积表示为POM的函数关系式,从而利用函数最值求解.此中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为POM的函数是重点.【分析】(1)在OMP中,OM5,OP22,由余弦定理得,得,解得MP1或MP3由cosA1R3则OAOBOC3,不如设外接圆的半径3cosCODOD1,OD1,DC22OC3B(-22,0),C(22,0),O(0,1),A(m,n)则ABC外接圆的方程为：x2(y1)29(*),(m,1n)x(-2-m,-n)y(2-m,-n),xy1时,不然COxCB,由图可知是不行能的.可化为,代入(*)可得,化为18(xy)932

7、xy,【答案】D【评论】三角函数值也是一个实数,所以,它也能够与其余实数进行代数运算,也能够与其余知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和有关方法,灵巧办理,才能既快又准的解决问题.【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M是ABC内的一点，且=4，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（）A20B18C16D9【答案】D【分析】由于=4，BAC=30，所以。所以。由于MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以。所以。当且仅当即时，上式取“=”号。所以，时，取最小值9.应选D。7【2018届四川省绵阳

8、市高三二诊】在ABC中,a,b,c分别为所对的边,若函数A.0B.【答案】D33C.22有极值点,则的最小值是（）D.-1【分析】,f（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）,又函数有极值点,x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不一样的根,=（2b）2-4（a2+c2-ac）0,即aca2+c2-b2,即ac2accosB；即cosB1,故B的范围是（，），所以232B,5时的最小值是-1,应选D,当3338【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若ABC的面积为S3c,则ab的最小值为（）A.28B.36C.48D.56

9、【答案】C9【2018四川省成都市高三上学期12月月考】锐角B,C的对边分别为a,b,c,ABC中,内角A,且知足,若a3,则b2c2的取值范围是（）A.5,6B.3,5C.3,6D.5,6【答案】A【分析】,由正弦定理可得,化为,由余弦定理可得,为锐角,可得A,3a3,由正弦定理可得,可得,可得,可得,应选A.10.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角ABC中,若A2B,则a的范围是（a,b分b别为角A,B的对边长）（）A(2,3)B(3,2)C.(0,2)D(2,2)【答案】A11.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如下图,在平面四边形ABCD中,AB1

10、,BC2,为ACD正三角形,则BCD面积的最大值为_【答案】31【分析】在ABC中,设ACB=,ACB=,由余弦定理得：2222,AC=1+2-212cos=5-4cos,ACD为正三角形,CD=5-4cos由正弦定理得：1AC,AC?sin=sin,CD?sin=sin,sinsin2(CD?cos)=CD(1-sinBAC,为锐角5当时,22-sin222)=CD=5-4cos-sin=(2-cos),CD?cos=2-cos,.617【2019年上海市普陀区高考数学一模】在中，三个内角A，B，C所对的边挨次为a，b，c，且求设，求的值；的取值范围18【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】在中，内角，所对的边分别为，且.（）求角；（）若，求面积的最大值.【分析】（）由已知及正弦定理得：，.（）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号建立.面积的最大值为.19【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊疗】ABC的内角ABC的对边分别为a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角A的大小；(2）设b=c，N是ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的双侧，如图，若BN=4，CN=2