多属性决策问题分析报告

1、第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-makingProblem)即：有限方案多目标决策问题主要参考文献：68， 112， 152 10.1概述厂MAMC -1 MO一、决策矩阵（属性矩阵、属性值表）方案集X = X%,方案气的属性向量当目标函数为fj时，各方的属性值可列成表（或称为决策矩阵）:y yy1jnXyyy1111 j1nXyyyii1ijinXyy .ymm1mjmn例：学校扩建学校序号费用（万元）平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例：表10.1研究生院1成评估的部分原始数据人均专著（本/人）

2、y1生师比y2科研经费（万元/年）y3逾期毕业率（%）七10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、数据预处理数据的预处理（又称规化）主要有如下三种作用。首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是 效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本 型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也 能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保 证；比值过低；教师的工作量不饱满。这几类属

3、性放在同一表中不便于直接从数值大小来判 断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在 变换后的属性表中的值越大。其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列 数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不 同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是 非量纲化，亦即设法消去（而不是简单删去）量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千（103 ）、万（104 ）

4、间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位（100）或小数（10 1 ）之间，为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到 0, 1区间上。此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全 补偿性。常用的数据预处理方法有下列几种。（1）线性变换效益型属性：Zjj =七/ymax（10-1）变换后的属性值最差不为0,最佳为1成本型属性 z., = 1 - y/ymax（10-2）变换后的属性值最佳不为1，最差为0或 z j = ymin / y ,（10-2）变换后的属性值最差不为0,最

5、佳为1,且是非线性变换表10.2 表10.1经线性变换后的属性值z1 (y1)z 3 ( y3 )z 4 ( y4 )z 4 ( y4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000标准0-1变换效益型：Z ijy - y 硕y max y min(10.3)成本型：Z =三上(10.4)ij y max y minj j特点：每一属性，最佳值为1,最差值为0,而且变换后的差值是线性的.Z1

6、(七)Z3 ( y3 )七()10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.0000表10.3 表10.1经标准0-1变换后的属性值最优值为给定区间时的变换图1Q.1最任属姓值为区间时静数据处理设给定的最优属性区间妇yo , y*:1- (y0 - y )/(y0 1j j j(10.5)1 - (y -y*)/ (y j”-y*) ij j j j其中，yj为无法容忍下限，yj”为无法容忍上限。表 10.4表10.1之属性2的数据处理X生师比y2z2151.

7、0000270.83333100.3333440.6666520.0000向量规化(10.6)特点：规化后，各方案的同一属性值的平方和为1;无论成本型或效益型，从属性值的大小 上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场合。表中最右一列是属性2经式(10.5)变换后的值再向量规化的结果.表10.5 表10.1经向量规化后的属性值Xz1 (yi)z 3 ( y3 )z 4 (七)z 2 ( z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.

8、41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000原始数据的统计处理Z =巳一j (1.00 - M) + M(10.7)i_y max - y j j1寸其中，y. = mZ y.是各方案属性j的均值，m为方案数，M的取值可在0.5-0.75之间. i=1式(10.7)可以有多种变形，例如：z = 01(y - y )/b + 0.75(10.7)ij. j j其中b.为属性j的均方差，当高端均方差大于2.5b.时变换后的值均为1.00.这种变 换的结果与专家打分的结果比较吻合.表10.6 表10.1之属性1用不同方法处理结果比较X人均专著 (本/人)y线性变

9、换用10.7式 (M=0.7)用10.7式10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000三、方案筛选优选法（Dominance）淘汰劣解满意值法（逻辑乘 即与门Conjunctive）规定 y。 j=1,2,n （切除值） j当yjj N yj j=1且j=2且j=n均满足时，方案尤 被接受主要缺点：目标间不能补偿，例研究生录取时教委规定的单科分数线.逻辑和法（Disjunctive或门）规定y* j=i,2,n 若y N

10、y* j=i或2或十时方案尤被接受。往往作为上法的补 j jj j j充.这些方法用于初始方案过的预选，不能用于方案排序ordering 次序，优先序也不能用于方案分等Ranking 一量化优先程度. 10.2加权和法一、引言多目标决策的特点：目标间的矛盾性，各属性值不可公度.这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规化得到部分解决，但前述规化过程不能反映目标的重要性权：目标重要性的度量，即衡量目标重要性的手段.权的三重含义：决策人对目标的重视程度；各目标属性值的差异程度；各目标属性值的可靠程度；权应综合反映三种因素的作用.通过权，将多目标决策问题化为单目标求解.二、字典序法与一般加权和法字典序法七

11、w2时的加权和法即某个目标特别重要，实质上是单目标决策，最重要目标的属性值相同时，再比较第二 重要的属性，如此继续.一般加权和法加权和法的求解步骤很简单：属性表规化，得zjj i=1,，m； j=1,，n.确定各指标的权系数wj j=1,，n.n根据指标C =2 w z的大小排出万案i（i=1,，m）的优劣j=1加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了（直观），是人们最经常使用的多目标评价 方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系 就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分 简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中

12、总要把相当大的精力和时间用在确定指标体 系和设定权上。加权和法常常被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承 认如下假设：指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；每个属性的边际价值是线性的（优劣与属性值大小成比例），每两个属性都是相互价值独 立的；属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先，指标体系通常是网状的，即至少有一个下级指 标同时与二个或二个以上的上级指标相关联，也就是说某个属性可同时反映两个上级目标达 到的程度。其次，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优值为给定区间或点的情 况

13、存在；属性间的价值独立性条件也极难满足，至少是极难验证其满足。至于属性间的可补 偿性通常只是部分的、有条件的。因此，使用加权和法要十分小心。不过，对网状指标体系， 可以用层次分析法中的权重设定和网状指标的权重递推法设定最低层权重（见下节）。当属性 的边际价值函数为非线性时可以用适当的数学方法进行数据预处理;属性间的不完全补偿性 也可通过适当处理，例如用逻辑乘法预先删除具有不可补偿属性的方案等。只要认识到加权 和法本身存在的种种局限性并采取相应的补救措施，则加权和法仍不失为一种简明而有效的 多目标评价方法。三、确定权的常用方法最小平方误差法见教材第174页.与主观慨率中的方法类似.本征向量法厂w

14、/ ww / w w / wC w11121n1w/ ww / w w / ww21222n2Aw =1.I Jwn/ w1w / w?w / wwn=nw即（A - nI） w = 0如A的估计不够准确，则A中元素的小的摄动意味本征值的摄动，从而Aw =人 w由此可求得w.四、层次分析法AHP由决策人利用P177之表10.2构造矩阵A；用本征向量法求人 w矩阵A的一致性检验：一致性指标(Consistence Index)max n 1ii,同阶矩阵的随机性指标(Random Index)n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.49X 03.1164

15、.075.456.627.798.9910.1611.34maiii,一致性比率(Consistance Rate)CR=CI/RICR0.1(即人皿密大于同阶矩阵相应的X 0)时不能通过一致性检验，应该重新估计矩阵A.maxCRW0.1通过一致性检验，求得的w有效.方案排序n.各方案在各目标下属性值已知时，可以根据指标C = w z 的大小排出方案iij ijj=1(i=1,m)的优劣.各方案在各目标下属性值难以量化时，可以通过在各目标下优劣的两两比较(仍利用 表10.2)求得每个目标下各方案的权，再计算各方案的总权重，根据总权重的大小排出 方案的优劣(参见教材之182页例10.5).五、最

16、低层目标权重的设定网状结构(见教材 10.5.2,第 181-182 页)有了最第层目标的权重wm设：最第层目标的规化了的属性值为z.，则C =弋wk+1 z可用作评价方案优劣的依 j ij ijj=1据，C,越大方案i越优.树状结构：当最低层目标过多，不便直接设定时,可以分组自上而下地逐步设定。 10.3 TOPSIS 法步骤一.用向量规法求得规决策矩阵Zzij = y,j q,步骤二.构成加权规阵XX ij = w ,七步骤三.确定理想和负理想解效益型属性max x i司理想解X *负理想解X0 jmin xiijmin xiijax x；ij成本型属性效益型属性max xi司步骤四.计算

17、各方案到理想解与负理想解的距离成本型属性到理想解的距离d；=（七-X * ）2j=1到负理想解的距离d?-（七.-X 0 /步骤五.计算各方案与理想解的接近程度C * = i j=1o + d *）第六步.按C；由大到小排列方案的优劣次序10.4基于相对位置的方案排对法优点：需要的信息少，不必事先给出决策矩阵只需给出各目标下方案间的优先序（0-1矩阵或指向图）第一步:确定各方案两两间的总体优先关系 设定各目标的权 wj j=1,2,“n且令 Wj = 1对每一目标j,进行方案的成对比较，给出优先关系矩阵或指向图X的第j个属性值优于X的第j个属性值 记作（X X ） j TOC o 1-5 h

18、z iki kX的第j个属性值优于X的第j个属性值 记作（X X ） j kii kX与X的第j个属性值无差异或不可比记作（XX ） ji ki k把x x的各目标的权相加，记作w（x X ）i ki k把XX的各目标的权相加，记作w( XX ) ikik把X X的各目标的权相加，记作w( X X ) ikik计算方案的优劣指示值w(X X ) + bW(X a X ) A (X , X ) =- i- iTb i kw(X Y X ) + bw(X a X )i ki k。值的大小反映X： Xk无差异的目标的重要性选定阀值AN1,判定方案总体优劣A 则 x X i kYA ( x A x )

19、 V1/A x x b i ki k其它X,Xk第二步计算排队指标值比X,优的方案个数记为q比X,差的方案个数记为P,的排队指标值：七=P. - q第三步按七的大小排定方案的优劣次序缺点：因无决策矩阵，不能反映优先程度例:y,y -i2X11001X11.012-J设w 1 =0.4 w2 =0.6A=1.2。=0Ab (X2 A X1) =1.5A所以X2 x ，这与加权和法的结果大相径庭.凡是属性值均能定量来表示的，不宜用此法 10.5 ELECTRE 法国人：B.Roy提出的一、级别高于关系(Outranking Relation)定义给定决策人的偏好次序 和属性矩阵 y.当人们有理由相

20、信x优于x”，称x的级别高于x”，记作xSx”Notes：决策人愿望承担Xx”所产生的风险；理由：同基于相对位置的方案排队法2.定义：(P193 定义 10.2)给定方案集X , x，x”EX ,当且仅当X中存在u 1 , u 2，七；V J , v 2，v k ； jN1, k N 1,使 xSx” (或者 xS % ,七 S u 2，u. S x”)且 x”Sx(或者 x”S v 1 , v 1 S v 2，Vk Sx)则称x”与x级别无差异，记作x x。二、级别高于关系的性质：弱传递性：xS x 且 y (x ) N y (x) xSx” .或 y ( x)N y (x )且 x Sx

21、xSx .自反性 XSX X S XS是对称的允许不可比性级别高于关系的构造以决策矩阵为基础(不作规化)第一步：设定各属性的权w第二步：进行和谐性检验(Concordance Test)构造指示集(属性序号分类)不失一般性，假设各属性值愈大愈优.J + ( x., x k ) = j | IWjWn, y. ( x. )y. ( x )J = ( x . , x k ) = j | IWjWn, y. ( x . )= y. ( x )J (x , x ) = j | IWjWn, y (x ) y (x )i k. i . k计算和谐性指数I = Z w / X w j e J +j 昌-选

22、定 0.5若I *巳1，I ik Na,则通过和谐性检验a愈大，级别高于的关系要求越高第三步进行非不和谐性检验(non-discordance test)对各属性间的补偿加以限制规定d j=1,n若对任一 j j (尤)-j ( x ) N d 则不承认x S尤 j k j iji k第四步确定级别高于关系 若 I N1, 1 Na 且对所有 j j (x ) - j (x ) W d ikikj k j ij则 x . S x k四、级别高于关系的使用通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小优势子集。定义i, X UX若对每个xE R 存在x* E R 使x*S X则称R为最小优势子集。ii,各方案间不存在级别高于关系的最小优势子集称为核若X 1足