高中数学必修二 7.1.2 复数的几何意义（含答案）

1、 7.1.2复数的几何意义导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.【自主学习】知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面

2、叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量eq

3、o(OZ,sup6()由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量eq o(OZ,sup6()唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi平面向量eq o(OZ,sup6()，这是复数的另一种几何意义.知识点2复数的模1.如图所示，向量eq o(OZ,sup6()的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|abi|req r(a2b2)(r0，rR).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)|z

4、1z2|z1|z2|，eq f(|z1|,|z2|)(|z2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|zeq oal(n,1)|z1|n(nN*).(3)eq blc|rc|(avs4alco1(|z1|z2|)|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 【合作探究】探究一

5、 复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意，eq blcrc (avs4alco1(m22m80，,m23m100，)2m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或meq f(5,2)，所以

6、当m1或meq f(5,2)时，复数z对应的点在直线xy40上.探究二 复数的模的几何意义【例2】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设zabi，由|z|2，得a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. (2)不等式1|z|2可以转化为不等式组eq blcrc (avs4alco1(|z|2，,|z|1.)不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|

7、z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.归纳总结：【练习2】若复数z满足|zi|eq r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2解析设zxyi(x，yR)，则zixyiix(y1)i，|zi|eq r(x2y12)，由|zi|eq r(2)知eq r(x2y12)eq r(2)，x2(y1)22.复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，eq r(2)为半径的圆面(含边界)，所求图形的面积为S2.故填2.探究三 复数的模及其应

8、用【例3】已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR)，|z|eq r(32a2)，由已知得32a242，a27，a(eq r(7)，eq r(7).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：eq r(7)aeq r(7).归纳总结：【练习3】已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，则z(34i).|z|1，|(34i)|1，复数在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆

9、，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数A的模最大，为eq r(3242)16；圆上的点B所对应的复数B的模最小，为eq r(3242)14，复数34iz的模的最大值和最小值分别为6和4.课后作业A组 基础题一、选择题1.设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34i，|x|eq r(3242)5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限.2.当eq f(2,3)m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象

10、限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1).由eq f(2,3)m0，m10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O为原点，向量eq o(OA,sup6()对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量eq o(OB,sup6()对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量eq o(OB,sup6()对应的复数为2i.4.已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z

11、|1.|z|0，|z|3.复数z对应的轨迹是1个圆.5.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.6.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为24i.7.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第

12、二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由即复数，所以复数对应的点为位于第二象限.故选：B8.（多选题）下列命题中，正确的是（ ）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项【详解】设复数，对于A，故A正确对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以

13、原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题二、填空题9.在复平面内表示复数z(m3)2eq r(m)i的点在直线yx上，则实数m的值为 .答案9解析z(m3)2eq r(

14、m)i表示的点在直线yx上，m32eq r(m)，解得m9.10.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .答案(1,1)解析因为|z1|eq r(a24)，|z2|eq r(2212)eq r(5).又因|z1|z2|，所以eq r(a24)eq r(5)，解得1a1.11.若复数z5cos 4i(i为虚数单位，0)在复平面上的对应点在直线yx1上，则sin .答案eq f(4,5)解析复数z5cos 4i在复平面上的对应点在直线yx1上，45cos 1, 即cos eq f(3,5).又0，sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4al

15、co1(f(3,5)2)eq f(4,5).12.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .答案(1，eq r(5)解析由题意可知zai.根据复数的模的定义，得|z|eq r(a21)，而0a2，故1|z|eq r(5).13.复数zlogeq f(1,2)3ilog3 eq f(1,2)对应的点位于复平面内的第 象限.答案三解析logeq f(1,2)30，log3 eq f(1,2)0，zlogeq f(1,2)3ilog3 eq f(1,2)对应的点位于复平面内的第三象限.三、解答题14.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如图所示，因为|z|1

16、，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点的最大距离，则|zz1|max2eq r(2)1.15.设复数zlg(m22m14)(m2m6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限.解(1)由题意得eq blcrc (avs4alco1(m2m60，,m22m140，)解得m3(m2舍去).故当m3时，z是实数.(2)由题意得eq blcrc (avs4alco1(lgm22m140，,m2m60，)即eq blcrc (avs4alco1(0m22m141

17、，,m2m60.)即eq blcrc (avs4alco1(m22m140，,m22m150，,m2m60，)得eq blcrc (avs4alco1(m1r(15)或m1r(15)，,5m3，,m2或m3.)解得5m1eq r(15).故当5m1eq r(15)时，z对应的点位于复平面内的第二象限.16.已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限，且满足，其实部、虚部均为整数，记i为虚数单位.（）求复数z；（）当为纯虚数时，若，求实数m和n的值.答案：（）或.（）【分析】（）根据题意设复数，再利用，解得即可；（）根据题意可得，则，代入整理可得实数和的值.【详解】（）设，则，因为在复平面内对应的

18、点位于第四象限，所以，所以或，即或.（）当为纯虚数时，由（）知，则由，得，所以，解得.【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.B组 能力提升一、选择题1.已知复数z满足，则的最小值为（ ）A. 2B. 1C. D. 答案：B【分析】复数方程转化成实数方程，再由复数模几何意义得表示与圆上任一点间距离【详解】设，由得，又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得，故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，考查了转化思想，属于中档题2.已知复数z满足：，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 3答案：B【分析】复数方程转化成实数方程，再由复数模定义表示与圆上任一点

19、间距离【详解】解：设，由得圆的方程，又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得，故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题3.已知复数，满足，则点的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 椭圆答案：D【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z对应的点在某一椭圆上【详解】复平面上，复数满足， 则对应的点到点，点的距离和为， 即， 复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上 故选：D【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题4.若，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A.

20、第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析，cos sin 0.选B.5.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A、B为锐角三角形的两个内角，所以ABeq f(,2)，即Aeq f(,2)B，sin Acos B.cos Btan Acos Beq f(sin A,cos A)cos Bsin A0，又tan B0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选B.二、填空题6.设zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR)，若z对应的点在直线x2y10上，则m的值是 .答案eq r(15)解析由题意知，复数zxyi(x，yR)的实部x和虚部y满足方程x2y10，故log2(m23m3)2log2(m3)10，则log2eq f(m23m3,m32)1，eq f(m23m3,m32)eq f(1,2)，meq r(15).eq blcrc (avs4alco1(m23m30，,m30，)meq f(3r(21),2)，meq r(15).7.若复数z满足（i为虚数单位），则 的最小值是_.答案：1分析：复数满足，设，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出详解：由复数满足，设，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为