车辆动力学基础第六章公式推导

1、 车辆动力学基础第6章公式推导对转向时(假设小转向角)正确的几何关系，5=tan5可得出转向角为6-1)6-2)L5二oR+1/2L5二iRt/2前轮的平均角度(假定小转向角)定义为阿克曼角(Ackermanangle)：5=(6-3)R低速转向的另一个重要特征是后轮的偏离轮迹(off-tracking)。从简单的几何关系就可以计算出偏离轮迹距离A，即6-4a)&二R1cos(L/R)利用余弦函数的级数展开表达式，即z2z4z6cosz=1+2!4!6!就有L2A=R1cos(L/R)=RRcos(L/R)仝RR(1LUR2/2!)=(6-4b)2R侧偏角较小时(W5)，侧偏力与侧偏角呈线性关

2、系，即TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Document F=Ca(6-5)ya由于侧偏力受载荷的影响非常大，所以轮胎的侧偏特性也用“侧偏系数”来描述，将其定义为侧偏刚度除以载荷。侧偏系数 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document CC=C/F(1b/1b/deg)(6-6)aazyz对以车速为V向前行驶的车辆，作用于轮胎所有侧向力的和等于质量乘以向心加速度，即工F=F+F=MV2/R(6-7)yyfyr同样，对车辆重心的力矩也应平衡，即作用于前、后轴侧向力所产生的力矩之和应为零，即FbFc=

3、0(6-8)yfyr由上式可得F=Fc/b(6-9)yfyr将上式代入式(6-7)后有MV2/R=F(c/b+1)=F(b+c)/b=FL/b(6-10)yryryrF=Mb/L(V2/R)(6-11)yrF=Mc/L(V2/R)yf上式中Mb/L只是车辆质量在后轴的部分，即Wr/g,同理可得Mb/L=W/grMc/L=W/gf当所求得侧向力已知时，由式(6-5)可以得到前、后轮的侧偏角，即a=F/C=Me/L(V2/R)=(W/g)(V2/R)/C=WV2/(CgR)(6-12)fyfaffsaffsafa=F/C=Mb/L(V2/R)=(W/g)(V2/R)/C=WV2/(CgR)(6-1

4、3)ryrarrsarrsar再注意转向时车辆模型的几何关系以完成分析，可得5二57.3L/R+a-a(6-14)fr将式(6-12)、式(6-13)两式和a、a代入代入上式后得到frLWV2WV2LIWW)V25=57.3+frs=57.3+14rsI(6-15)RCgRCgRRICCIgRafarafar6-16)式(6-15)常简写成如下简略式：5二57.3L/R+Kay上式描述车辆转向角如何随转动半径R或侧向加速度V2/(gR)变化,(W/CW/C)确定所需要的转向输入的大小和方向。fafrara=V2/(gR)yWWK=-讣CCafar中性转向不足转向过多转向K称为“不足转向梯度”，

5、单位是deg/g。K有三种取值可能性:W/CfafW/CfafW/C二W/CtK二0Ta二ararfrW/CtK0TaararfrW/CtK0Taafafrarfr对于具有不足转向特性的车辆，其不足转向的程度可以用一个称为特征车速的参数度量。特征车速是指进行任何(半径)转向，要求的转向角为2倍阿克曼角时的车速。由式(6-16)可见，此时Ka=57.3L/R=KV2/(gR)(6-17)y因为a是速度平方的函数，故特征车速为yV：57.3L/R(gR)/K=(57.3Lg/K(6-18)char过多转向时，存在临界车速，可表示为V=J-57.3Lg/K(6-19)erit上式中K为负值，平方根内

6、表达式为正实数。通过式(6-16)可以求得侧向加速度a与转角(5的比率，该比率称为侧向加TOC o 1-5 h z速度增益，由下式给出：yaa11=y=557.3L/R+Ka57.3L/(Ra)+K57.3L/(R(V2/gR)+Kyy(6-20)1V2/(57.3Lg)/d/deg57.3Lg/V2+K1+KV2/(57.3Lg)横摆角速度r是方向角的转动速率，表示为r=57.3V/R(deg/s)(6-21)将该式代入式(6-16)，求得横摆角速度与转向角的比值为57.3V/R57.3Vr=57.3V/R=才=57.3L/R+Ka=57.3L/R+KV2/gR=57.3L+KV2/gy6-

7、22)V/L_1+KV2/(57.3Lg)对任意车速，质心处的侧滑角0是卩二57.3c/Ra二57.3c/RWV2/(CgR)rrOr该侧滑角为零时的车速与转向半径无关，该车速是卩二0二57.3c/RWV2/(CgR)rOrV=J57.3gcC/W卩=0诃arr静态裕度定义为中性转向点在质心后方的距离，并以轴距正则化,静态裕度=丘仏6-23)(6-24)即(6-25)弹簧的横向间距使其产生抗侧倾阻力矩，它正比于车身和车轴的侧倾角之间的差。此刚度是K=0.5Ks2es内、外侧车轮垂直载荷差为FF=2Fh/1+2Ke/1=2AFzoziyrez上式中，F=F+Fyyiyo绕侧倾轴的力矩是M=(Wh

8、sine+WV2/(Rg)hcosQ)cos11当侧倾角较小时，cose和cos可以视为1，sine=e，贝uM=(Whsine+WV2/(Rg)hcose)cos=Whe+WV2/(Rg)h1111=WhV2/(Rg)+e16-26)6-27)6-28)6-29)M=M+M=(K+K)0eeferefer求解式(6-29)和式(6-30)可以得到侧倾角e:M=WhV2/(Rg)+e=(K+K)0=(K+KWh)e=WhV2/(Rg)16-30)efereferWhV2/(Rg)e二1K+KWhefer1上式对侧向加速度求道,可以得到侧倾率：6-31)WhV2/(Rg)、1K+KWh、efer

9、1丿d(Wha)1_yK+KWh、efer1丿dadadR=毁一eda将e的表达式(6-31)代入式(6-30),可求得前、WhV2WhV2/(Rg)Wh16-32)K+KWhefer1后轴的侧倾力矩分别是WhV2ff二AFtRgzffWhV2二K1+rr二AFterK+KWhRgzrrefer1M二Ke+=K1+e/e/Rge/K+KWhefer1WhV2WhV2/(Rg)rr二K1erRgM二Ke+er上式中，AF二Fzfzf0-W/2=-(F-W/2)fzfif6-33)6-34)从而6-36)6-37)6-38)6-39)zz该方程式可以简化为zzAF二F-W/2=(F-W/2)zrz

10、r0rzrir轮胎的转向特性可以简单地用一个称为侧偏刚度的常数C来表示，作用在a车轴上的侧偏力可以由下式给出F二Ca(6-35)ya每一个车轮的侧偏刚度都可以表示成一个两阶或高阶多项式，作用在每一个车轮上的力是F=Ca=(aF一bF2)ayazz图6.12所示车辆转向时，作用在两个轮胎的侧偏力F是yF=(aF一bF2)a=(aF一bF2+aF一bF2)ayzzzozozizi现在，将左、右车轮垂直载荷变化用AF表示：zF=F+AFzozzF=F-AFzizzF=(aF一bF2+aF一bF2)ayzozozizi=a(F+AF)b(F+AF)2+a(F-AF)b(F-AF)2a6-41)6-42

11、)6-44)6-45)5=57.3R+af-arar=57.3-+RzrWV2/(Rg)匚C-2bAF2WV2/(Rg)rC-2bAF26-46)F=a(F+AF)-b(F+AF)2+a(F-AF)-b(F-AF)2ayzzzzzzzz=(aF+aAF-bF2-2bFAF-bAF2+aF-aAF-bF2+2bFAF-bAF2)azzzzzzzzzzzz=(2aF-2bF2-2bAF2)a上式中括号中的前两项等于轮胎在其静载荷时的侧偏刚度(由式6-36可得),则此方程式可以再简化，即Fa=(2aF-2bF2-2bAF2)=C=2aF-2bF2azzzazz或F=(2aF-2bF2-2bAF2)a

12、=(C-2bAF2)ayzzzaz对前轴的两个轮胎，可以写出F=(C-2bAF2)a=WV2/(Rg)yfafzfff同样，对后轴有F=(C-2bAF2)a=WV2/(Rg)yrarzrrr通过替换可得WV2/(Rg)a=匚fC-2bAF2afzfWV2/(Rg)a=r-rC-2bAF2afzfarzr利用C2bAF2的事实，可将上式继续简化，于是az111+2bAF2/C12bAF2、TOC o 1-5 h zQz(1+L)C-2bAF22bAF22bAF22bAF2、CCazC(1-L)C(1-)(1+L)aaaCaCCaaa因而式(6-46)可以改写为乂573L丄WfV2/(Rg)WV2

13、/(Rg)o=573+fr-RC-2bAF2C-2bAF2afzfarzrLWV2/(Rg)2bAF2WV2/(Rg)2bAF2(1+f)r(1+zr)CCCafarar=57.3R1CafCar6-48)=57.3R+WW2bAF2L)+(ffCCCar，tafafW2bAF2rzrCCarV2Rg上式中括号内第一项是前面已经推导得由额定侧偏刚度K产生的不足转向梯度。第二项代表因轮胎横向载荷转移而产生的不足转向梯度，即转向时，总的外倾角是WWK二tiresCCafarW2bAF2W2bAF2KffrzrutCCCCafafararrs6-49)6-50)camber因而FCa+CYyaY6-

14、52)Y=y+0gb运用悬架运动学的分析都可以得到车身侧倾引起的外倾角梯度gradient）：伙/创弋（轮距、悬架几何、侧倾角6-51）侧偏力对转向特性的影响实际上不仅来自于轮胎的侧偏角，同时也收到外倾角的影响，这就是6-53)FCat-yCCaa通过式(6-11)和式(6-53)建立了侧偏力Fy、外倾角y与侧向加速度的关系，从而可以得到a与a的表达式：frFMb/L(V2/R)W/g(V2/R)WV2/(gR)WayrrrryFMc/L(V2/R)W/g(V2/R)WV2/(gR)WayffffyTOC o 1-5 h zFCC3/帥ayy/ay/afCCfCyC创3ayafafafafy(

15、6-54)FCC3/30ay/ararCCrCyC303ayarararary将这些方程式代入转向方程式(6-14)，可以得到5=57.3-+a-aRfrLZWC。丫帥、WC3/帥=57.3+(4a4fa)(araRCyC帥3ayCyC帥3aafafyararyWWC3/L)+(Tff+CCafaraf(FarC3/、3V2“.r)C3C33aRgy由于每个车轴上外倾角所导致的不足转向是=C/3/+C/3/3K=f+/r严)camberC3C33aafary是一个车轴的侧倾转向系数(转向角度/每度侧倾角)的处理办法，可以得出侧倾转向产生的不足转向梯度：3K=()_roolsteerfr3ay侧

16、向力柔顺转向对操控的影响，可以定义一个适当的系数来量化，它表示为A=5/F(转向角度/单位侧向力)(6-58)cy作用在车轴上的侧向力，可以简单地用作用在车轴上的载荷乘以侧向加速度表示，这样，对于前轴：=57.3+(-所以，设“)(6-55)y6-56)类似于前面6-57)5二AF二AWa(6-59)cffyfffy由于车辆前、后轴的转向角直接影响不足转向特性，由侧向力柔顺转向产生的不足转想(系数)是K=AWAW(6-60)lfcsffrr在轮胎侧向力不是作用在车轮中心，而是偏后各车轮一个距离p的假设下通过推导转向方程得到的不足转向为6-61)K=WPCaf+CaratLCCafar6-62)

17、6-63)对于图6.19将牛顿第二定律用于侧向，可得其运动方程：WV2/(Rg)=Fcos(a+5)+Fsin(a+5)fyffxff侧偏力FfWV2/(Rg)=Fcosa+FsinaryrrxrrF是前后轴侧偏刚度和侧偏角的乘积，即yrF=CayfaffF=Ca将其代入式yrarr(6-62)和式(6-63)，则这两式的右侧分别是驱动力和侧偏角WV2/(Rg)=Cacos(a+5)+Fsin(a+5)fafffxffWV2/(Rg)=Caacosa+Fsinararrrxrr假设侧偏角比较小，则cosa=1,sina=a，这样解出a和afrWV2/(Rg)=Cacos(a+5)+Fsin(a

18、+5)fafff-nWV2/(Rg)=Ca+F(a+5)faffxffn(C+F)a=WV2/(Rg)F5fxfffxfWV2/(Rg)Fna=一f5fC+FC+FfxfafxfWV2/(Rg)=Cacosa+FsinararrrxrrnWV2/(Rg)=Ca+Fararrxrr=WV2/(Rg)rrC+Frxr将解出的a和a代入下列方程fr5=57.3+aaRfr替换时,5出现在方程的左右两侧,进行处理使其仅出现在方程的左边5=57.3土+aa=57.3土+WfV八盹)-F5WV2/(Rg)RfrRC+FfxfWV2f57.3L/RCRgn5=+学1+F/C1+F/C.一.一，-xfaf.,.一xfafxf