高中数列求和方法大全(配练习及答案)

1、 数列的求和1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式：Snn(a1 an)na1n(n 1)d22（2）等比数列的求和公式Snnai(q 1)ai(1 q) (q1 q（切记：公比含字母时一定要讨论）1）3.错位相减法：比如an等差，bn等比，求ab1a2b2anbn的和.4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式111n(n 1) n n 111 11 (-)n(n 2)2 n n 211,11 、( )(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1n n! (n 1)! n!.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转

2、化为等差或等比数列，再求和。2222_2.2.合并求和法：如求10099989721的和。7.倒序相加法:8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：.求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；.求和过程中注意分类讨论思想的运用；.转化思想的运用；（三）例题分析：例 1.求和： Sn 1 11 11111 1n个go/1、2/212n n12 Sn（X）（X-）（X。XxX求数列1, 3+4,5+6+7, 7+8+9+10 ,前 n 项和 Sn思路分析：通过分组，直接用公式求和。1 .解： ak 11 1 1 10 10210k (10k 1)k9八 12n12nSn -(1

3、0 1) (10 1)(10 1) -(10 1010 ) n991/0(10n 1) i10n 1 9n 10n9981(x22)(x4(x22nx )4 2) x1-4 x(x12a ) x(1)1 时，Sn2 / 2nx (x1) v(2)1 时，Sn4nak(2k1) 2k (2 k1)(2k2n 12 / 2n(x 2-x1)2nSna1a25 2 an- (1222n2)2n x1)1(k 1)2)2n2(121n(n 61)(5n 2)/ 2n2n 2(x 1)(x2n /2ZTx (x1)k(2k 1) (3k 2)总结：运用等比数列前 n项和公式时，要注意公比 q 1或q1讨

4、论。2.错位相减法求和例2.已知数列1,3a,5a2, ,(2n1)an 1 (a 0),求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1, 3, 5,2n-1与等比数列积，可用错位相减法求和。aSn2a 3a5a3(2nn1)a22 :(1a)Sn1 2ac 2 c 32a 2a1)2n勺k22n(n 1)(2n 1)a ,a,a ,n,aSna (2n1)an(2n 1)an 1当a1时，Sn3.裂项相消法求和(1a)2Sn 1 3a 5a2n 12a (2n1 时,(1 a)Sn1(2n1)1)an2a(1(1 a)2Qk 21对应项(2n 1)n3 n(n 1)22小22例3.求和Sn1

5、 3423 5(2n)2(2n 1)(2n 1)思路分析：分式求和可用裂项相消法求和 解ak_2(2k)(2k 1)( 2k_2(2k)1 111)(2k1)(2k 1)(2 kJ1)(2k 1)Sna1a2an1112(1 3)(35)2n 112n1)2n 12n(n 1)2n 1n(n 1)一一 ,1练习：求Sna二答案：& a2 a(an 1)n(an2a (a 1)4.倒序相加法求和例4求证：C：3c：5C：(2n 1)C：(nn1)2思路分析：由cnm cnm可用倒序相加法求和。证：令SnC0 3c：5Cn(2n1)Cnn则Sn(2n1)C；(2n1)Cn15c23cnC0(2)有

6、：20(2n2)C0(2n2)cn(2n2)C2(a1)(2n1)(a 1)2)CnnSn(n 1)C0C：Cn2C： (nn1) 2等式成立5.其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知数列an ,an2n(1)n,求 Sn。思路分析:an2n 2( 1)n,通过分组，对 n分奇偶讨论求和。解:2n2( 1)n,若 n2m,则 SnS2m 2(1 2 32m2m) 2( 1)kk 1Sn2(12 m)(2m1)2m n(n1)2m1,则 SnS2m 1S2ma2m(2m 1)2m22m (1)2m(2 m 1)2m 2(2m 1)4m22m(n 1)2(n 1)Snn(n2n

7、1)（n为正偶数）2 （n为正奇数）预备：已知f （x）2ax a2xanxn,且a，a2,a3, an成等差数列,n为正偶数,又 f(1) n2,f(1） n ,试比较1、，,f （）与3的大小。2丘 f (1) f( 1)aia2a3an n(ai an)naa2a3an 1an2 nd2a1dan 2n2a1 a1d 2(n1)d 2nai2nf(x) x 3x25x3(2n1)xnf(2)3(2)2吗31 n(2n 叱)一 1可求得f (-) 32(2)n(2n11)(2)nn为正偶数,1.求下列数列的前n项和Sn :(1)5, 55, 555(2)(3)1 11 3,2 4,1555

8、5,，5(10n9-L , ,3 5 n(n 2)巩固练习an ko；a, 2a2,3a3,L , nan,L ；1 3,2 4,3 5,L ,n(n2/02 o 2c。sin 1 sin 2 sin 32),L ；sin289o.2.已知数列an的通项an6n2n（的奇数）,求其前n项和Sn .（nM禺数）解：（1） Sn6党 :6 7个8一_ _ 一5555555 L55L 5-(999 999 L 99L 9)95一(10 1) (102 1) (103 1) L (10n 1)952一 10 102 9103 Ln 50 n 510n n(10n 1) - n.819(2)1n(n 2

9、)2(n2) Sn(3) -12(11) (1 132 4(3an5)Ln 1(1 n、n)(；n .n 1)( n 1 、n)1 M 11-(1 22 n 1.n 1 、，n)1 Sn.2 J .13.2(.2 1) ( .3 ,2)(4)Sn2a23a3 Ln na1时,Sn1时,SnaSn2a22a3两式相减得(1 a)Sn3a33a4n(n 1)2n nan nannaa(1 an)1 ao nan一 Sn(n 1)an(5) - n(n 2)(1 a)22n原式（122232n2)(1n)(6)设 S sin21o又Ssin289o. 2 osin 2sin288o89. 2 osi

10、n 3,2 osin 892 c )。2 asin 87 L L sin 12.已知数列an的通项an6n 52n解：奇数项组成以 a11为首项，公差为偶数项组成以a2 4为首项，公比为（方奇数）,求其前（nM禺数）12的等差数列，4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有口项，偶数项有2n 1后项,2丫(1 6n 5)Sn4(1 4 2 )1 4(n 1)(3n 2)当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有n一项,22(1 6n 5)n4(1 42)n(3n 2)所以，Sn2(n 1)(3n2n(3n 2)212)44(2n 121)4(2n334(2n 1)3（n为偶数）n 1na ，n(n 1)(2

11、 n 7)n项和Sn .n 14(21)31)高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列） 跟踪训练题一、选择题(本大题共6个小题，每小题 6分，总分36分).已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=1, a3=3,贝U S4=()(A)12(B)10(C)8(D)6.设数列xn满足 log 2xn+1+log 2xn,且 X+X2+X3+ - +Xi0=10，则 X11+X12+X13+ +X20 的值为()(A)10 X 211(B)10 X 210(C)11 X211(D)11 X210.已知正数组成的等差数列 an,前20项和为100,则a7 a14的最大值是()(A)25(B

12、)50(C)100(D)不存在5.已知an为等比数列，S是它的前n项和。若a2 a3 2a1,且a4与2a7的等差中项为4,则S5=()A. 35B.33C.31D.29.设an是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z ,则下 列等式中恒成立的是()A、X Z 2YC、Y2 XZ6. (2010 潍坊模拟)已知数列an是公差为则下列说法不正确的是D Y Y XZ Z XB、n Y Y XX Z XLXd的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9S8=&,( )A. S9SqB. d0, 1- a7 a14()2=25.4.【解析】选5.6.由 a2 a3所以,【解析】

13、a1 a2【解析】二、填空题7.【解析】2 alaia42a1a4a4又2a7a7a7a4a1a4 q16S5选D ,设等比数列Ya1a2161an的公比为anan 1L anan 1 an 2选A 由题意知d 9 时,1an0ananaa2a10a11ai2，数列an中最大项为a9或a10.其值为101011,其项数为9或10方法2Q ann10一 n11ananan10111011n1011n 110119,10.9 或 10.，数列10an中最大项为a9或a10.其值为1011,其项数为9或1011.【解析】(1)在等比数列an中，前项和为Sn,若ama m+2am+1成等差数列，则Sm

14、Sm+2sm+1成等差数列.(2 )设数列a n的首项为a1 ,公比为 q.由题意知：2a m+2=an+am+1 ,即2aqm+1=a1qm-1+a1qma1丰 0,q 丰 0, 2q2-q-1=0,522b2 b12 12.【解析】（1）由Sn 1Sn 2ann 2(nN )得Sn1Sn2anan 12an 2n 2(nN )a1 5一二2一一一a22a1210818a3 2a2 22 2 36 16 52(2)由条件b1a12b2a22218b3a32352bn为等差数列，b1b31848解得 0bnan5n b1b22 且 2 , 即数列bn是公差为d 2,首项为b152的等差数列bn

15、(3)由(2)得52 (n 1) 24n 12( n14bn bn 1(4n 1)(4n 5)114n 1 4n 51Tn = b1b21bnbn 1二5 4n 5 5知识要点梳理4n 14n 5知识点一：通项与前 n 项和任意数列的关系n 项和求数列通项时，要分注意： 由前 n 项和三步进行：1求(2)求出当n2时的n=1 时(3)如果令n2时得出的成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法迭加累加法：则迭乘累乘法：则知识点三：数列应用问题.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用 数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤 .认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么. TOC o 1-5 h z 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法， 恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子