不定积分滴学习

1、不定积分滴学习第1页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函数.定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.4.1 不定积分的概念与性质第2页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 (2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且

2、有无穷多个注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出 例如而在 上 是 的原函数也是它的原函数即 加任意常数都是 的原函数. (3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.此结论由Lagrange定理推论可证第3页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C

3、为积分常数.即2.不定积分的概念第4页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例2 求解例1 求解第5页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例3 求解第6页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. 特别地，有第7页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日4.1.2不定积分的基本积分公式第8页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日第9页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例4 计算下列积分解第10页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期

4、日例5 计算下列积分解 (1) (2)第11页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即 第12页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例6 求解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 第13页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例7 求解例8 求解第14页，共54页，2022年，5月20日

5、，0点46分，星期日例9 求解例10 求解第15页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日解例11 求第16页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例12 求解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 第17页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.4.1.4.不定积分的

6、几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.第18页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 例13设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知因此所求曲线的方程为第19页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日4.2.1 第一类换元法例1 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而所以有？分

7、析4.2 换元积分法第20页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日综合上述分析，此题的正确解法如下：第21页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日解第22页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日定理1证依题意有即有又由复合函数微分法可得第23页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 第24页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例2 求解解例3 求

8、第25页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例4 求解例5 求类似地，有解第26页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日(1)=(2)(3)(4)(5)此外还可以得到一组积分公式： 第27页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日4.2.2 第二类换元积分法例6 求解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有第28页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元积

9、分法计算不定积分的基本思想.第29页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日设 是单调可导的函数， 且定理2那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为 第30页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例7 求解第31页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例8 求解第32页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日axt第33页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例9 求解第34页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日axt第35页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例10 求解第36页，共

10、54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日axt第37页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：第38页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日补充的积分公式：第39页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日第40页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .或4.3 分部积分法第41页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日注意：

11、 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定第42页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日即一般情况下，u与dv按以下规律选择第43页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例1 求解第44页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例2 求解第45页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例3 求解第46页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例4 求解例5 求解第47页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例6 求解第48页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例7 求解第49页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日例8 求解 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.第50页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日 把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果.4.4 积分表的使用第51页，共54页，2022年，5月20日，0点46分，星期日现在a=3，b=2, 于