单位根检验(最终版)

1、- #- -单位根检验以及平稳时间序列建模- - #-统计量及检验检验三、例题目录- #- -由于虚假回归问题的存在，所以在进行回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性。单位根检验(由年提出)是指检验序列中是否存在单位根。单位根检验方法有多种，这里主要介绍和检验。介绍这种检验方法之前，先讨论统计量的分布特征。统计量及检验统计量以阶自回归序列为例：xxat1t,1t该序列的特征方程为：-p=01当特征根P在单位圆内时，该序列平稳，反之，该序列为非平稳序列。所以可以通过检验特征根是在单1位圆内还是单位圆外(或上)，来检验序列的平稳性，这种检验就称为单位根检验。由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序

2、列，所以单位跟检验的原假设定位：原假设H:序列x非平稳；备择假设H:序列x平稳0检验统计量为统计量:cp-ct仲)=与二1S(c)1其中，为参数申的最小二乘估计,11S(%)S2Tx2t-1t=1S2T(x-cpxt=1)t1t-1T-1- #- #- #- #-0时，t(c)的极限分布为标准正态分布；1当叫正态分布。|1时，t(c)的渐进分布为标准正态分布,1但当1=1时，t(P)的渐进分布不再是11- #- #- - -记T=*!-1该统计量称为检验统计量，它的极限分布为s伸&-10，其中W(r)为自由度为r的维纳过程。所谓维纳过程具有如下S(&1)W(r)ldr0性质：1)W(1)N(0

3、，1)2)W(r)N(0，2r)()W(r)2/r咒2(1)检验为单边检验，当显著性水平取为X时，记P为检验的，分位点，则当TT时，拒绝原假设，认为序列显著平稳，否则，接受原假设，认为序列非平稳。在实际检验中，若不能被拒绝，说明序列是非平稳序列(起码为一阶非平稳序列)。接下来应该继续检验多阶差分之后的序列的平稳性直至结论为平稳为止。2检验的等价表达在等式xx+a两边同时减去x得到x-x二(p-1)x+a。t1t1tt1tt11t1t检验等价为如下检验：H:p二0吕H:p001其中：p=1相应的检验统计量为：T=P，其中S(P)为参数p的样本标准差。S(P)、检验的三种类型第一种：无常数均值、无

4、趋势的阶自回归过程：x=x+t1t1t第二种：有常数均值、无趋势的阶自回归过程：x二卩+1;0t1备择假设H:序列xu平稳即IpI1;1t1第三种：有常数均值、有线性趋势的阶自回归过程：x二卩+加+x+t1t1t此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到三个未知参数的估计值，通过检验特征根的性质，可以考察中心化序列x-upt的平稳性。t假设检验如下：- - -原假设H:序列x-u-t非平稳即I，1;TOC o 1-5 h z0t1备择假设H:序列x-u-t平稳即I1;1t1二、检验检验只适用于阶自回归过程的平稳性检验，为了使检验能适用于过程的平稳性检验,需要对检验进行一定的修正，得到增广检验(一)

5、，简记为。检验的原理对于过程，如果其特征方程的所有特征根都在单位圆内，则序列x平稳，如果t有一个特征根存在且为，则序列非平稳，且自回归系数之和恰好等于。证明如下：TOC o 1-5 h z尢p尢p1一01p101pn+.+112p因此，对于过程我们可以通过检验自回归系数之和是否等于来检验序列的平稳性。作如下假设检验:H:p0oH:001i其中:p+112p八检验统计量：1=走，其中S()为参数的样本标准差。检验的三种类型第一种：无常数均值、无趋势的阶自回归过程：xx+x+8t1t1pt一pt第二种：有常数均值、无趋势的阶自回归过程：x卩+x+x+8t1t1pt一pt第三种：有常数均值、有线性趋

6、势的阶自回归过程：x卩+t+x+x+8t1t1pt一pt三、例题用来分析年到年中国纱产量的时间序列1建立时间序列文件。在中建立工作文件，选择一一，输入到。点击一，导入文件，并取名为。2检验原时间序列的平稳性。平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列。绘制序列的时间序列图：选中序列，并点击主菜单一选择其中的折线图（）就可作图，如下图：6005004003002001000510152025303540SHA从图可以看出，纱产量呈现波动中上升的趋势，显然不平稳，所以不是一个平稳序列。点击这一结论

7、，还可以通过单位根检验（检验）进一步说明。,输入点击，结果如下表：IADFTestStatistic1%CriticalValue*-3.63535%CriticalValue-2.949910%CriticalValue-2.6133MacKinnoncriticalvaluesforrejectionofhypothesisofaunitrootAugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariableD(SHA)Method:LeastSquaresDate:12/22/10Time:16:16Sampl&(adjusted):19031936

8、Includedobser/ations:34afteradjustingendpointsVariableCoefficientStdErrort-StatisticProb.SHA(-1-0.0004620.028222-0.01638409870D(SHA(-1)-0.2423220.173407-1.974160.1722C16.1768610.146521.69422701210R-squared0.059693Meandependentvar12.85294AdjustedR-squared-0.000972S.D.d&pendentvar23.06021SE.ofregressi

9、on23.07U2Akaikeinfocriterion9.199164Sumsquaredresid16601.01Schwarzcriterion9.333843Loglikelihood-163.3868F-statistic0983971Durbin-Watsonstat2.034194Prob(F-statistic0.385197从表中看出统计量为为序列是非平稳序列。32，其一值比显著性水平大，所以要接受原假设，认、对原时间序列进行平稳化处理。从折线图可以看出原序列可能存在线性增长趋势，所以在中输入命令:（d）生成一阶差分序列，并绘制该序列的折线图，如下图：6040200-20-4

10、0510152025303540SHA133序列的时间序列图始终围绕一个常数值波动，因此可以认为该序列是平稳序列。同样的，用单位根检验法进行检验得到表-原假设是序列非平稳，该结果显示一值为，比显著性水平小，所以要拒绝原假设，认为序列是平稳的。ADFTestStatisticI-4.5501401%CriticalValue*-3.64225%CriticalValue-2.952710%CriticalValue-2.6148*MacKinnoncriticalvaluesforrejectionofhypothesisofaunitroot.AugmentedDickey-FullerTes

11、tEquationDependentVariable:D(SHA1)Method:LeastSquaresDate:12/22/10Time:15:29Sample(adjusted):19041936Includedobservations:33afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.SHA1(-1)-1.2999160.285687-4.5501400.0001D(SHA1(-1)0.0290280.1836840.1580330.8755C16.228485.5391692.9297680.00

12、64R-squared0.633042Meandependentvar-0.045455AdjustedR-squared0.608578S.D.dependentvar37.05986S.E.ofregression23.18602Akaikeinfocriterion9.211484Sumsquaredresid16127.74Schwarzcriterion9.347530Loglikelihood-148.9895F-statistic25.87664Durbin-Watsonstat1.882899Prob(F-statistic).00034继续在中输入命令：（，2即生成二阶差分生

13、序列按照同样的方法绘制该序列的折线图并做单位根检验，得到下图和表：10050-50-1000510152025303540I-SHA2I35ADFTestStatistic-6.6729491%CriticalValue*-3.64965济CriticalValue-2：955810%.CritrcalValue-2.E164*MacKinnoncriticalvaluesforrejectionofhypothesisofaunitrootAugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(SHA2)Method:LeastSquare

14、g：Date:1-2Z23/10Time:21:10Sampledjustedj:19051936Includedobservations:32-afteradjustingendpointaVariableCoefficientStd.ErroruStatisticProb.SHA2H)-2.0722210.310540-6.6729490.0000D(SHA2(-1)j0.2790810.1784951.5635180.T288赴-0.4762034.9470770.0962590.9240squared0.834668Meandependentvar2.831250AdjustedR-s

15、quared0.823266S.D.dependentvar66.51470S.E.ofregression27.96261Akaikeinfocriterion9.588674Sum-squaredresid22675.32Schwarzcriterion9.726086Loglikelihood-150.4188F-statistic73.20241Durbin-Watsonstat:2.196267Prob(F-statistic)0.00000036的2时间序列图也是始终围绕一个常数值波动，而从单位根检验法进行检验的结果，可以看到一值比显著性水平小，仍然拒绝原假设，认为序列是也平稳的，

16、并且比序列更加平稳。因此用序列建模更好。4绘制序列的、序列，初步定阶。点击一l输入，点击，结果如表Date:1210Time:21:14Sample:19011940Includedobservations:：34AutocorrelationPartialCorrelationAUPACjQ-StatProb111-0.603-0.60313.472.i1il120.188-0.27614.8170.001I:1i13-0.098-0.204151970.002II1il14-0.039-0.287152580.004I1ii.150.076-0.200155010.008i11i16-0.

17、041-0.166155740.01611Ii|170.069-0.063157910.027i11i|18-0.045-0.030158860.04411i190.009-0.011158900.06911i11100.0100.043.158950.103i11i1111-0.0310.032159470.14311i1120.0190.018159680.19311i11130.0050.040159690.251iE111114-0.065-0.09216.2280.30011i11150.03-0.16916.2930.363111116-0.013-0.20716.3040.432

18、37方法分别建立M2A,)可以看出和都是拖尾的，所以考虑用（）模型，从中选出最优的一个。5初步建模并估计参数。点击输入:得到下表DependentVariable:SHA2Method:Least.SquaresDate:12Z23/WTime:21:22Sample(adjusted);19051936Includedobservations:32afteradjustingendpoints;Csnvergepceachievedafter18iteration.sEziackcast:1904VariableCoefficient启tdErrort7StatisticProb.AR(1J

19、-0.2367160.180633.-1.3104780.2Q03AR(2)0.0486170.1846570.2632810.7942.MAftJ：-0.989931.0205-4829.286.Rsquared0.629599Meandependentvar1.446875AdjustedR-squared0.604054S.D.dependentvar36.63160S.E.ofregressfon23.05016Akaikeinfocriterion9.20228iSutnsquaredrgsid15407.99Schyyrzcriterion9.339695Loglikelihood

20、,r144.2365DurbinyWon.stat2:032735InvertedARRoots.13：-.37InvertedMARoots-.9938输入得到下表DependentVariable:SHA2Method:Least-Squares；Date12/25/10Time:21:25ampIeadjusted);19071936Includedobservations:30afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter25iterationsBackct:19041906Variable:Coefficient.Std.Errort-

21、StatisticProb.%.11r.、IJ-.111-.KH1.RRRRAAAAAAAMMM-0.2946780.394046-0.7478260.4621-0.5060620.30653.9-1.6508900.1124-0.1936060.189643-1.0208950.3179-0.0485290.176859-0.2743950.7862-0.9359810.3730994818650.02080.6970950.4908491.4201840.1690-07527770.300852501460.0199R-squared0.693944Meandependentvar-0.5

22、93333AdjustedR-squared0.614104S,D.dependentfar36.88940$.E.ofregression22：91589Akaikeinfocriterion9：.-302502umsquaredresid12078.17Schwarzcriterion9.629448Loglikelihood-T32.5375Durbin-Watsonstat2.052367InvertedARRoots8+.68i.08-68i-,22+.23i-.22-，23iInvertedMARoots.99-.03-87i-,03+87i39、模型适应性检验即检验剩余序列是否为

23、白噪声序列。原假设是剩余序列是相互独立的白噪声序列。分别在上述两个结果窗口中点击一，得到以下结果BreuseGodfreySerialCorrelationLMTestFrstafistic0.074663Probability0.928247Obs*Rtsquared0.102367Probability0.950104TestEquation:DependentVariable:RESIDMethod:LeastSquaresDate:1M/10Time:21:23Presamplemissingvaluelaggedresidualssettozero.VariableCoefficie

24、ntStd.Errort-StatisticProb.AR(1)-0.135396791190-0.1711300.8654AR(2)0.0366980.6114060.0600230.9526MA-0.0276910.080858-0.34246107347RESIDE)0.1170050.8442530.1385900.8908RESID(-2)-0.0371900.509950-0.0729280.9424Rrsquared0.003199Meandependentvar-1.054322AdjustedR-squared-0.144475S.D.dependentvar2226846S

25、.E.ofregression3SumsquaredresidAkaikeinfocriterion9.321767-1023.24Schwarzcriterion9.550788Loglikelihood-144.1483Durbin-Watsonstat1.992387Breusch-Godfre/SerialCorrelationLMTest:F-statistic2.980282Probability0.072552ObR-squared6.518055Probability0.038426Te.tEquation:DependentVariable:RESIDMethod:LeastSquares-Date:12Z23/10Time:21:25