高中数学三角函数导学案,解三角形导学案

1、PAGE 83PAGE 第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:角的弧度数的绝对值|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1=180 rad,1 rad=180弧长公式弧长l=扇形面积公式S=12lr=12|r23.任意角的三角函数(1)定义:设是一个任

2、意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin =,cos =,tan =yx(x0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角的、和.() ()() ()图3-17-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.教材改编 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是.2.教材改编 (1)6730=rad;(2)12= .3.教材改编 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角的弧度数是.4.教材改编 若角的终边经过点P(-1,2),则sin -cos +tan =.题组二常错题索引:对角的范围把握不准;不能据函数

3、值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在ABC中,若sin A=22,则A=.6.已知P(-3,y)为角的终边上的一点,且sin =1313,则y=.7.当为第二象限角时,|sin|sin-cos|cos|的值是.8.若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.探究点一角的集合表示及象限角的判定例1 (1)2018长春一模 若角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-3x上,则角的所有取值的集合是()A.=2k-3,kZB.|=2k+23,kZC.|=k-23,kZD.|=k-3,

4、kZ(2)集合|k+4k+2,kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()ABCD图3-17-2总结反思 (1)角(02)与角2k+(kZ)的终边相同;(2)要求角所在的象限,只需将角表示成2k+(kZ,02)的形式,则角所在的象限即为角所在的象限.变式题 (1)设集合M=x|x=k2180+45,kZ,N=x|x=k4180+45,kZ,那么()A.M=NB.MNC.NMD.MN=(2)若角的终边在x轴的上方,则2是第象限角.探究点二扇形的弧长、面积公式例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.(2)已知扇形的圆心角为60,其弧长为,则此扇形的面积为.总结反思

5、 应用弧度制解决问题的策略:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.变式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.3B.6C.-3D.-6(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.探究点三三角函数的定义角度1三角函数定义的应用例3 (1)2018济南二模 已知角的终边经过点P(m,-2m),其中m0,则sin +cos 等于()A.-55B.55C.-

6、35D.35(2)2018北京通州区三模 在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点12,y,则sin =.总结反思 三角函数的定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.角度2三角函数值的符号判定例4 (1)若sin cos 0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若为第二象限角,则cos 2,cos2,1

7、sin2,1cos2中,其值必为正的有()A.0个B.1个C.2个D.3个总结反思 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.角度3三角函数线的应用例5 2018嘉兴模拟 已知2,34,a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.acbD.cab总结反思 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin xb,cos xa,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再

8、根据方向即可确定相应的x的范围.变式题 函数f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定义域为.第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点(2)正角负角象限角(3)|=+k360,kZ2.(1)半径长(2)|r3.(1)yx(2)余弦线正弦线正切线对点演练1.|=k360+45,kZ解析 终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45,所以与其终边相同的角的集合为|=k360+45,kZ.2.(1)38(2)15

9、解析 (1)6730=67.5180=38(rad);(2)12=12180=15.3.1.2解析 根据圆心角弧度数的计算公式得,=144120=1.2.4.35-105解析 r=(-1)2+22=5,所以sin =25=255,cos =-15=-55,tan =2-1=-2,所以sin -cos +tan =35-105.5.4或34解析 因为0A0,cos 0,|sin|sin-cos|cos|=1-(-1)=2.8.80解析 72=25 rad,S扇形=12r2=1225202=80(cm2).【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)先求出直线y=-3x的倾斜角,再根据终边相同的角的要求得

10、出角的取值集合;(2)对k分奇数和偶数两种情况分析角所表示的范围.(1)D(2)C解析 (1)因为直线y=-3x的倾斜角是23,所以终边落在直线y=-3x上的角的取值集合为=k-3,kZ.故选D.(2)当k=2n(nZ)时,2n+42n+2,此时表示的范围与42表示的范围一样;当k=2n+1(nZ)时,2n+42n+2,此时表示的范围与5432表示的范围一样.故选C.变式题(1)B(2)一或三解析 (1)M中,x=k2180+45=k90+45=45(2k+1),kZ,2k+1是奇数;N中,x=k4180+45=k45+45=45(k+1),kZ,k+1是整数.综上可知,必有MN.(2)角的终

11、边在x轴的上方,k360180+k360,kZ,k180290+k180,kZ.当k=2n(nZ)时,有n360290+n360,可知2为第一象限角;当k=2n+1(nZ)时,有n360+18020时,sin =-2m5m=-25,cos =m5m=15,sin +cos =-55;当m0,得1cos0,所以cos 0.又sin cos 0,所以sin 0,所以为第四象限角,故选D.(2)由题意知,2k+22k+(kZ),则4k+24k+2(kZ),所以2的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以sin 20,cos 2可正可负也可为零.因为k+42cos tan ,即abc.方法二:此题也

12、可采用特值法.2,34,可取=23,此时a=sin =32,b=cos =-12,c=tan =-3,即abc,故选A.变式题x2k+3x0,即cosx12,sinx22,则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2k+3x2k+34,kZ.【备选理由】 例1考查判断弧度制下的角所在的象限问题;例2考查弧长公式与等差数列的综合问题;例3强化对三角函数定义的理解与应用,并给出了方法二,即利用同角三角函数的基本关系也可求解;例4考查三角函数线的基本应用.例1配合例1使用 若角=-4,则的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 B因为-32=-4-,所以依据负角的定义可知的终边

13、在第二象限.故选B.例2配合例2使用 如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,以AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧这样画到第n圈,则所得整条螺旋线的长度ln=.(用表示即可)答案 n(3n+1)解析 设第n段弧的弧长为an,由弧长公式可得a1=23,a2=232,a3=233, 所以数列an是以23为首项,23为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧,故所得整条螺旋线的长度ln=a1+a2+a3+a3n=23(1+2+3+3n)=n(3n+

14、1).例3配合例3使用 若点P(3,y)是角终边上的一点,且满足y0,cos =35,则tan =()A.-34B.34C.43D.-43解析 D方法一:由题意知,r=32+y2,所以cos =332+y2=35,解得y=-4或y=4(舍),所以tan =-43.方法二:因为点P(3,y)是角终边上的一点,且满足y0,cos A0.又sin2A+cos2A=1,cos A=-1213.6.-45解析 cos32+=sin =-35,且是第四象限角,所以cos =45,所以cos(-3+)=-cos =-45.7.25解析 由sin+3cos3cos-sin=5,知cos 0,等式左边分子分母同

15、时除以cos ,得tan+33-tan=5,得tan =2,所以sin2-sin cos =sin2-sincossin2+cos2=tan2-tantan2+1=25.8.2,-2解析 当k为偶数时,A=sinsin+coscos=2;当k为奇数时,A=-sinsin-coscos=-2.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用诱导公式进行计算;(2)根据诱导公式整理函数f(),再将=-83代入求值.(1)A(2)B解析 (1)sin2+=cos =-35,cos(2-)=cos =-35.故选A.(2)由题可知,f()=sincos-cos=-sin ,则f-83=-sin-83=sin8

16、3=sin2+23=sin23=sin3=32. 变式题(1)D(2)C解析 (1)cos+6=45,sin-3=sin+6-2=-cos+6=-45,故选D.(2)点(a,32)在函数y=2x的图像上,32=2a,a=5,则tana3=tan53=tan2-3=-tan3=-3,故选C.例2思路点拨 (1)利用sincos=tan 直接将待求式转化成只含tan 的式子,再求值;(2)由题设条件可得sin ,再根据同角三角函数基本关系式可得cos ,tan ,然后根据诱导公式化简即可得解.(1)A(2)A解析 (1)tan =2,cos 0,sin+cossin-3cos=tan+1tan-3

17、=3-1=-3.故选A.(2)sin(-)=-23,sin =-23,又-2,0,cos =1-sin2=53,则tan =sincos=-255.tan(2-)=-tan ,tan(2-)=255.故选A.例3思路点拨 (1)根据诱导公式及已知等式得出tan ,将待求式添加分母1(利用1=sin2+cos2),转化为含tan 的式子,代入求值;(2)sin cos 可变形为sincos1,利用1=sin2+cos2,从而把已知等式化为关于tan 的等式,解出tan 即可.(1)C(2)3或13解析 (1)由sin2+3cos(-)=sin(-),得cos -3cos =-sin ,所以tan

18、 =2,所以sin cos +cos2=sincos+cos2sin2+cos2=tan+1tan2+1=35.故选C.(2)由题可知,sin cos =sincossin2+cos2=tantan2+1=310,解得tan =3或tan =13.例4思路点拨 根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,得2sin cos =-790,进而求得(sin -cos )2=169,从而得解.C解析 由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos =23,两边平方得(sin +cos )2=1+2sin cos =29,则2sin cos =-790,所以(sin -cos )2=1-2

19、sin cos =169.又因为(0,),sin cos 0,所以sin -cos =43,故选C.应用演练1.D解析 sin =13,2,cos =-1-sin2=-223,则tan =sincos=13-223=-24,故选D.2.D解析 tan x=-125,x2,sin x=1213,cos-x+32=-sin x=-1213.3.B解析 由题意知,tan =4-1=3,sincos1-sin2=sincoscos2=tan =3,故选B.4.1-5解析 由题意知sin +cos =-m2,sin cos =m4,又(sin +cos )2=1+2sin cos ,所以m24=1+m2

20、,解得m=15.又=4m2-16m0,所以m0或m4,所以m=1-5.【备选理由】 例1进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2考查弦切互化,是平方关系及商数关系的综合应用;例3结合导数的几何意义得出tan ,再巧妙使用sin2+cos2=1代换求值;例4考查sin +cos 与sin -cos 之间的转换,对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以知一求二.例1配合例1使用 已知cos =45,则sin(-)-2cos2-sin(-)cos(-)的值为.答案 -154解析 因为cos =45,所以sin(-)

21、-2cos2-sin(-)cos(-)=-sin-2sinsincos=-3sinsincos=-3cos=-154.例2配合例2使用 2018黄山一模 已知R,sin +2cos =102,则tan =.答案 3或-13解析 sin +2cos =102,sin2+cos2=1,(sin +2cos )2=sin2+4sin cos +4cos2=52,1+3cos2+4sin cos =52,即3cos2+4sin cos =32,3cos2+4sincossin2+cos2=32,3+4tantan2+1=32,解得tan =3或-13.例3配合例3使用 2018重庆调研 若曲线f(x)

22、=ln x-1x在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为,则1sincos-cos2=.答案 5解析 因为f(x)=ln x-1x,所以f(x)=1x+1x2,所以f(1)=2,则tan =2, 所以1sincos-cos2=sin2+cos2sincos-cos2=tan2+1tan-1=4+12-1=5.例4配合例4使用 2018衡水武邑中学月考 已知-20,sin +cos =15,则1cos2-sin2的值为()A.75B.257C.725D.2425解析 B因为-20,sin 0.因为(sin +cos )2+(cos -sin )2=2,所以(cos -sin )2=2-(sin +c

23、os )2=2-125=4925,所以cos -sin =75,所以cos2-sin2=1575=725,所以1cos2-sin2的值为257,故选B.第19讲三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中kZ)函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域RRxxR,且xk+2,kZ值域周期性22奇偶性奇函数单调性2k-2,2k+2上为增函数;上为减函数2k,2k+上为减函数;上为增函数k-2,k+2上为增函数对称中心k+2,0k2,0对称轴x=k+2无常用结论1.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期T=2|,函数y=tan(x+)的最小

24、正周期T=|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x的形式,偶函数一般可化为y=Acos x+b的形式.题组一常识题1.教材改编 函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.教材改编 若函数y=Asin x+1(A0)的最大值是3,则它的最小值是.3.教材改编 函数y=2cos x在-,0上是函数,在0,上是函数.4.教材改编 函数f(x)=tanx-1的定义域为.题组二常错题索引:忽视y=Asin x(或y=

25、Acos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos xtan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 .8.函数y=tanx+4图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=2-log2x+tanx+3的定义域为.(2)函数y=ln(2cos x+1)+sinx的定义域为.总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.变式题 (1)函数y=sinx-cosx的定义域为.(

26、2)函数f(x)=sinx-13+2sinx的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是.(2)2018沧州质检 已知x-4,6,则函数f(x)=2cos xsinx+3-3sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为.总结反思 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(x+)+k的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin xcos x

27、)+c的三角函数,可设t=sin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).变式题 (1)函数f(x)=sinx-4-cosx-4的最大值为()A.2B.2C.22D.22(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是.探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3 (1)在函数y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数为()A.B.C.D.(2)若函数f(x)=1+asinax+6(a0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.总结反思 (1)公式法:函数y=Asin(x+)或y=Acos(

28、x+)的最小正周期T=2|,y=Atan(x+)的最小正周期T=|;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.微点2三角函数的对称性例4 (1)2018广西贺州联考 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=12x2-x互为同轴函数的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sin xC.g(x)=tan xD.g(x)=cos x(2)2018重庆合川区三模 函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图像关于直线x=3对称,它的最小正周期为,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()A.3,0B.12,0C.512

29、,0D.-12,0总结反思 (1)对于函数f(x)=Asin(x+),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.微点3三角函数的单调性例5 (1)2018乌鲁木

30、齐一检 已知3为函数f(x)=sin(2x+)00,函数f(x)=cosx+3在3,2上单调递增,则的取值范围是()A.23,103B.23,103C.2,103D.2,103总结反思 (1)形如y=Asin(x+)的函数的单调性问题,一般是将x+看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.应用演练1.【微点3】2018西安八校联考 已知函数f(x)=cos(x+)(0bcB.bcaC.acbD.bac3.【微点2】2019九江一中月考 已知函数f(x)=Asinx+6的图像上相邻两个对称中心之

31、间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()A.x=1B.x=14C.x=23D.x=-14.【微点1】2018上海金山区二模 函数y=3sin2x+3的最小正周期T=.第19讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-2,2内的单调性.【课前双基巩固】知识聚焦1.-1,1-1,1R奇函数偶函数2k+2,2k+322k-,2k(k,0)x=k对点演练1.解析 最小正周期T=2=22=.2.-1解析 依题意

32、得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减解析 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在-,0上是增函数,在0,上是减函数.4.4+k,2+k(kZ)解析 由题意知tan x1,所以4+kx2+k(kZ).5.2k-,2k(kZ)解析 函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,即为2k-,2k(kZ).6.(-1,1)解析 x2+k(kZ),y=cos xtan x=sin x,y=sin x(-1,1),即函数y=cos xtan x的值域是(-1,1).7.1解析 设t=c

33、os x,则-1t1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,当t=1时,函数取得最大值1.8.k2-4,0(kZ)解析 由x+4=k2(kZ),得x=k2-4(kZ),所以函数y=tanx+4图像的对称中心为k2-4,0(kZ).【课堂考点探究】例1思路点拨 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0 x4且x6且x76(2)x2kx2k+23,kZ解析 (1)依题意得2-log2x0,x+3k+2,kZ,得0 x4且xk+6,kZ,所以函数f(x)的定义域是x00,sinx0,即cosx-12,sinx0,解得2k-23x2

34、k+23,kZ,2kx2k+,kZ,所以2kx2k+23,kZ,所以函数的定义域为x2kx2k+23,kZ.变式题(1)x2k+4x2k+54,kZ(2)x2k-3x0,即sin x-32,结合函数y=sin x的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2k-3x0)的最大值为1+a,1+a=3,a=2,因此f(x)的最小正周期为2a=.例4思路点拨 (1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出=2,再由图像关于直线x=3对称,求得=-6,进而可求得f(x)的图像的对称中心.(1)D(2)B解析 (1)易知f(x)=12x2-x的图像关于

35、直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k2(kZ);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k(kZ);对于选项C,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(kZ),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.(2)由题意可得2=,=2,f(x)=Asin(2x+).函数f(x)的图像关于直线x=3对称,f3=Asin23+=A,即sin23+=1.|2,=-6,故函数f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k,kZ,可得x=k2+12,kZ,故函数f(x)的图像的对称中心为k2+12,0,

36、kZ.结合选项可知, 函数f(x)的图像的一个对称中心是12,0.故选B.例5思路点拨 (1)由条件求出,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)的单调递增区间,由3,2是所求单调递增区间的子集得出的取值范围.(1)C(2)C解析 (1)3为函数f(x)=sin(2x+)02的一个零点,f3=sin23+=0,23+=k(kZ),解得=k-23(kZ).00,2k-43x2k-3,kZ,函数f(x)=cosx+3的单调递增区间为2k-43,2k-3,kZ.f(x)在3,2上单调递增,22k-3,32k-43,kZ,解得6k-44k-23,kZ.由题意知,2-3122,06,2103.

37、应用演练1.A解析 函数f(x)=cos(x+)(0)在x=3处取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kZ,又0,=23,即f(x)=cosx+23.令-+2kx+232k,kZ,解得-53+2kx-23+2k,kZ,又x0,k=1,f(x)在0,上的单调递增区间是3,故选A.2.C解析 因为函数f(x)=cos x是偶函数,所以c=fln13=f(ln 3).因为0ln 2ln 3ln f(ln 3)f(ln ),即acb.故选C.3.C解析 由题可知,函数的最小正周期T=22=4,所以=24=2.令2x+6=k+2,kZ,解得x=2k+23,kZ,结合选项可知,x=23满足条件.故选

38、C.4.解析 易知T=22=.【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.例1配合例2使用 已知函数f(x)=1+4cos x-4sin2x,x-4,23,则f(x)的值域为.答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因为x-4,23,所以cos

39、x-12,1,所以4cosx+122-4-4,5,故函数f(x)的值域为-4,5.例2配合例2使用 若函数f(x)=sinx+6(0)在区间(,2)内没有最值,则的取值范围是()A.0,11214,23B.0,1613,23C.14,23D.13,23解析 B由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x的单调区间为k+2,k+32,kZ.由k+2x+6k+32,kZ,得k+3xk+43,kZ.函数f(x)=sinx+6(0)在区间(,2)内没有最值,函数f(x)在区间(,2)内单调,(,2)k+3,k+43,kZ,即k+3,k+432,kZ,解得k+13k2+23,kZ.由k+13k2+23,k

40、Z,得k0,故0f(cos )B.f(sin )f(cos )C.f(sin )=f(cos )D.以上情况均有可能解析 B已知f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,可得到f(x)的图像关于直线x=0对称,故函数f(x)是偶函数.因为,为钝角三角形中的两个锐角,所以+2,所以2-,故得到sin sin2-=cos ,且sin (0,1),cos (0,1).因为函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,故f(sin )0,0),x0,+)AT=f=1T= 2.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xx+y=Asi

41、n(x+)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(x+)的图像的步骤图3-20-1题组一常识题1.教材改编 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.教材改编 某函数的图像向右平移2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sinx+4,则原函数的解析式是.3.教材改编 函数y=cos2x-2的周期为,单调递增区间为.4.教材改编 已知简谐运动f(x)=2sin3x+|0,若函数f(x)=12sin x在区间-2,2上单调递增,则的取值范围是.7.若f(x)=2sin(x+)+m对任意实数t都有f8+t=f8

42、-t,且f8=-3,则实数m=.图3-20-28.已知函数f(x)=sin(x+)0,|0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.变式题 (1)2018江西八所重点中学联考 将函数y=sinx-6的图像上所有的点向右平移4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为()A.y=sin2x-512B.y=sinx2+12C.y=sinx2-512D.y=sinx2-524(2)为了得到函数y=sin 3x的图像,可以将y=cos 3x的图像()A.向右平移6个单位长度B.向左平移

43、6个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向左平移3个单位长度探究点二函数y=Asin(x+)的图像与解析式例2 (1)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,|0,-0,0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出的值.(3)求的常用方法如下:代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.五点法:确定的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.图3-20-5变式题 已知函数f(x)=2sin(x+)(0,|0,|0)的形式;(2)把x+看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sin

44、x的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.变式题 (1)2018益阳调研 将函数f(x)=cos(2x+)|0,0,2的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是()图3-20-6A.函数f(x)的周期为B.函数y=f(x-)为奇函数C.函数f(x)在-,2上单调递增D.函数f(x)的图像关于点34,0对称探究点四三角函数模型的简单应用例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设AA1H1=.图3-20-7(1)试用表示AA1H1的面积;(2)求八角形所覆盖面

45、积的最大值,并指出此时的大小. 总结反思 三角函数模型在实际问题中的应用体现在两个方面:(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的含义及自变量与函数之间的对应法则;(2)把实际问题抽象转化成三角函数模型问题,关键是利用三角函数表示实际问题中的有关量,建立模型.变式题 某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ,12月份的平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温为.第20讲函数y=Asin(x+)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=

46、Asin(x+)的物理意义;能画出函数y=Asin(x+)的图像,了解参数A,对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.22x+2.-2-32-2-023223.|对点演练1.y=2sin x解析 根据函数图像变换法则可得.2.y=sinx+34解析 函数y=sinx+4的图像向左平移2个单位长度后得到y=sinx+2+4=sinx+34的图像,即原函数的解析式为y=sinx+34.3.-4+k,4+k(kZ)解析 y=cos2x-2=sin 2x,所以函数的周期T=22=.由-2+2k2x2+2k(k

47、Z),得-4+kx4+k(kZ),故函数的单调递增区间为-4+k,4+k(kZ).4.6解析 将点(0,1)代入函数解析式,可得2sin =1,即sin =12.|0,所以(0,1.7.-5或-1解析 由f8+t=f8-t得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=8.故当x=8时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-6解析 由图像可知,T=4712-3=,所以=2=2.因为f3=sin23+=1,所以23+=2+2k(kZ),即=-6+2k(kZ),又|2,所以=-6.【课堂考点探究】例1思路点拨 根据图像平移“左加右减”的规则以及平移量确定结

48、果.(1)A(2)A解析 (1)由题意知,将f(x)=sin2x+4的图像向左平移8个单位长度后,得到y=sin2x+8+4=sin2x+2=cos 2x的图像,故选A.(2)把y=sin2x+2图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,得到函数y=sinx2+2的图像,再把所得图像沿x轴向右平移3个单位长度,可以得到y=sin12x-3+2=sin12x+3的图像.故选A. 变式题(1)C(2)A解析 (1)将函数y=sinx-6的图像向右平移4个单位长度,得到y=sinx-512的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx2-512的图像,故选C.(2)由题

49、意知,y=cos 3x=sin3x+2=sin 3x+6,将函数y=sin 3x+6的图像向右平移6个单位长度,得到y=sin 3x+6-6=sin 3x的图像,故选A.例2思路点拨 (1)先根据图像确定A,T,再根据平移得函数g(x)的解析式;(2)结合函数的图像首先确定的值,然后确定的值即可.(1)D(2)910解析 (1)由题图得,A=2,T=78-8=,=2T=2.当x=38-82=8时,y=2,28+=2+2k(kZ),=4+2k(kZ),又|,=4,f(x)=2sin2x+4,g(x)=2sin2x-4+4=2sin2x-4,故选D.(2)由题意可知,函数的最小正周期T=22-34

50、=52,则=2T=252=45.当x=2时,x+=452+=2k+2(kZ),则=2k-1110(kZ),由于-0,|)的图像,且A2,1,B(,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即122=-2,=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式,可得2sin22+=-2sin =1,2sin(2+ )=2sin =-1,sin =-12,=2k-6或=2k-56,kZ.再结合“五点作图法”,可得=-56.例3思路点拨 (1)根据已知求得的值,然后求出的值,从而可求出f(x)的解析式,进而得到g(x)的解析式;(2)确定g(x)的单调性,然后求出最值.解:(1)由题意可知,T2=1112-512

51、=2,=2,又sin2512+=1,|2,=-3,f(x)=sin2x-3,g(x)=sin4x+6.(2)由(1)可知,g(x)在0,12上为增函数,在12,4上为减函数,g(x)max=g12=1,又g(0)=12,g4=-12,g(x)min=g4=-12,故函数g(x)在0,4上的最大值和最小值分别为1和-12. 变式题(1)A(2)B解析 (1)由题意知,g(x)=cos2x-3+=cos2x-23+,令2x-23+=k(kZ),则函数g(x)的图像的对称轴为直线x=3-2+k2(kZ),令3-2+k2=4(kZ),则=6+k(kZ),又|2,所以=6.故选A.(2)观察图像可得,函

52、数的最小值为-2,所以A=2.由图像可知函数过点(0,3),所以3=2sin ,又因为254,所以00,|2的部分图像如图所示,则f12=()A.3B.3C.1D.33解析 A由题可知,T2=512-6=4,T=2,=T=2.由图像可知,5122+=k(kZ),得=-56+k(kZ),又|0,|2,其图像相邻两条对称轴之间的距离为4,将函数y=f(x)的图像向左平移316个单位长度后,得到的图像关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图像()A.关于点-16,0对称B.关于点16,0对称C.关于直线x=16对称D.关于直线x=-4对称解析 B函数y=f(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为4,函数

53、的周期T=2,=2T=4,f(x)=sin(4x+).将函数y=f(x)的图像向左平移316个单位长度后, 得到函数y=sin4x+316+的图像,所得图像关于y轴对称,4316+=k+2,kZ,即=k-4,kZ,又|0,0,|0,A=2.f-8=2,2-8+=2+2k,kZ,=34+2k,kZ,又|,=34,f(x)=2sin2x+34.由-2+2k2x+342+2k,kZ,得-58+kx-8+k,kZ,函数f(x)的单调递增区间为-58+k,-8+k,kZ.(2)x-38,4,2x+340,54,当2x+34=54,即x=4时,f(x)min=-2,当2x+34=2,即x=-8时,f(x)

54、max=2, 函数f(x)在-38,4上的值域为-2,2.例4配合例4使用 一根长a cm的线一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cosgat+3,t0,+),则小球摆动的周期为s.答案 2ag解析 小球的位移s与时间t的函数关系式为s=3cosgat+3,t0,+),小球摆动的周期T=2ga=2ag.第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S():sin()=.(2)公式C():cos()= .(3)公式T():tan()=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan tan =ta

55、n()(1tan tan ).2.二倍角余弦公式的变形:sin2=1-cos22,cos2=1+cos22.3.一般地,函数f()=asin +bcos (a,b为常数)可以化为f()=a2+b2sin(+)其中tan=ba或f()=a2+b2cos(-)其中tan=ab.题组一常识题1.教材改编 sin 75的值为.2.教材改编 已知cos =-35,2,则sin+3的值是.3.教材改编 cos 65cos 115-cos 25sin 115=.4.教材改编 已知tan =13,tan =-2,则tan(-)的值为.题组二常错题索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切

56、公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan54+=17,2,则cos 的值是.6.化简:12sin x-32cos x=.7.计算:1-tan151+tan15=.8.若+=34,则1+tan(-)(1-tan )的值为.探究点一两角和与差的三角函数公式例1 (1)2018湘潭模拟 若sin(2-)=16,sin(2+)=12,则sin 2cos =()A.23B.13C.16D.112(2)2018晋城一模 已知cos+6=3cos ,tan =33,则tan(+)=.总结反思 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用,的三角函数表示的三角函数,在使用两角和与差的

57、三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.变式题 (1)2018佛山质检 已知cos =17,0,2,则cos-3=()A.-1114B.3314C.5314D.1314(2)2018唐山三模 已知tan+6=1,则tan-6=()A.2-3B.2+3C.-2-3D.-2+3探究点二两角和与差公式的逆用与变形例2 (1)2018烟台一模 已知cosx-6=33,则cos x+cosx-3=()A.-1B.1C.233D.3(2)已知sin +cos =13,sin -cos =12,则sin(-)=.总结反思 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即t

58、an tan =tan()(1tan tan );(2) asin +bcos =a2+b2sin(+)tan =ba.变式题 (1)2018河南中原名校联考 22cos 375+22sin 375的值为()A.32B.12C.-32D.-12(2)(1+tan 20)(1+tan 21)(1+tan 24)(1+tan 25)=.探究点三角的变换问题例3 (1)已知-3,0,cos+6-sin =435,则sin+12的值是()A.-235B.-210C.235D.-45(2)2018莆田二模 已知sin =255,sin(-)=-1010,均为锐角,则=()A.512B.3C.4D.6总结

59、反思 常见的角变换:22=24,2=(+)+(-),=+2+-2,3+=2-6-等.变式题 (1)2018榆林模拟 若04,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2=()A.539B.-33C.7327D.-69(2)已知234,cos(-)=1213,sin(+)=-35,则sin 2=()A.5665B.-5665C.1665D.-1665第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解

60、它们的内在联系.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sin cos cos sin (2)cos cos sin sin (3)tantan1tantan对点演练1.6+24解析 sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=2232+2212=6+24.2.4-3310解析 cos =-35,2,sin =45,sin+3=sin cos3+cos sin3=4512+-3532=4-3310.3.-1解析 原式=cos 65cos 115-sin 65sin 115=cos(65+115)=cos 180=-1.4.7解析 tan(-)=tan-tan1