《线性代数》高维波动方程

1、2.2 高维波动方程. 齐次波动方程初值问题 在研究电磁场等问题时，有时需要讨论高维波动方程相关的问题，例如三维波动方程的柯西问题：为了求解这个定解问题，首先介绍如下的球面平均法。数学物理方程引入一个表示在以为心，为 上的平均值的函数 ，即：其中, , 是单位球面面积元素，是球面上的面积元素，.的连续性，有半径的球面 (4)显然有由 (4) 及当数学物理方程即下面来推导所满足的方程。所围成的球体内积分，对方程（1）的两端在并用Gauss 公式数学物理方程其中 是的单位外法向矢量。 (5) 将 (5)的左端采用球面坐标并交换积分和微分次序（6）其中.数学物理方程微分一次，得对式 (7) 两端对由

2、 (5)(6)得(7)或(8)数学物理方程由于则这是一个关于的一维波动方程，(10)，有，则于是有(9)它的通解为令数学物理方程对 (11)两端对 求导，有求导，得对 (11)两端对 (11)令，有(13)(14)(15)(12)由(12), (14)，得数学物理方程利用的表达式及初始条件 (2)-(3)，有在上式中令 ，由 (13) 得到Cauchy问题(1)(3)的解(16)数学物理方程这个公式称为泊松公式。数学物理方程，但它和自变量无关，二. 降维法应用泊松公式，现在研究二维波动方程的柯西问题利用上面的三维波动方程柯西问题求解的结果来解决这个问题，总可以看成是高一维空间中的函数这是因为对

3、于所考察的二维波动方程柯西问题的解因此满足数学物理方程是与无关的函数，其中，也已视为空间中的函数。是一个与无关的函数，反之，如果三维波动方程的柯西问题(20)(22)的解方程和初始条件都化为二维波动方程柯西问题(17)(19)则它所满足的如果解出三维波动方程的柯西问题(20)(22)，并能证明这问题的解利用高维问题的解得出低维问题解的方法称为降维法。那么二维波动方程的柯西问题(17)(19)也就能得到解决。的解。数学物理方程=常数上的投影的积分可以化为它在超平面及都是和由于利用解三维波动方程柯西问题的泊松公式，得到这里的积分是在三维空间中的球面上进行。无关的柱形函数，上面的积分。和它的投影之间

4、成立着如下的关系，其中因此在球面上注意到球面上的面积元素元素数学物理方程为这两个面积元素法线方向间的夹角，它可以表示为再注意到上下半球面的积分都化成同一圆上的积分，表示成这样就可以把数学物理方程(23)数学物理方程它确实和无关，因此公式（23）就给出了二维柯西问题 (17)(19) 的解，公式（23）称为二维波动方程柯西问题的泊松公式，这种方法就称为降维法。 降维法不但适用于波动方程，也适用于其他类型的方程。此法可以使我们从多变量方程的定解公式中，推导出变量个数较少的方程的定解问题的求解。(23)数学物理方程由二维泊松公式，空间内一点三. 依赖区域、决定区域、影响区域 的依赖区上的圆（24）

5、首先考察二维的情形。域是平面区域的决定区域是以顶点，以为底的圆锥体区域：（25）数学物理方程轴的角为其母线与初始平面上一点的影响区域：（26）它在空间为一个以为顶点的倒立的圆锥体，。称锥面：（27）为二维波动方程的特征锥。数学物理方程由三维泊松公式，空间内一点的依赖上的球面：这与一维和二维情形有较大区别。上球面（28）所包围的球域的决定顶点，其次考察三维情形。区域是平面（28）初始平面区域是以间）圆锥体区域：以此球为底的（四维空数学物理方程初始平面上点的影响区域是以为顶点倒立的圆锥面： 称锥面：为三维波动方程的特征面。数学物理方程四. 非齐次方程齐次化原理 考虑非齐次波动方程柯西问题该问题总可

6、以分解成两个问题来解决：(II) 问题(II)的解可由泊松公式给出。数学物理方程，然后将对参数 (III) (IV) 的解积分得到(*)关于问题(III)的求解，可先求出齐次方程下述问题可以证明是定解问题(III)的解，这种方法称为齐次化原理或冲量原理。 数学物理方程(i) (ii) 事实上由于，则 ；而且(*)下面我们来验证这一结果：显然成立 其中 表示拉普拉斯算子。(iii) 对 (*)两端对求导有由 (i)-(iii)知，函数 满足定解问题 (III) 数学物理方程现在我们把这个解 用泊松公式表示出来：则数学物理方程在时刻由函数处的函数的数值，位于由于在时刻(*)其中表示体积微元，为球心，为半径球体内进行。处的值在此球中的体积积分为推迟势。积分在以