二项式定理高

1、二项式定理高第1页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日基础知识梳理1二项式定理 公式(ab)n (nN*)叫做二项式定理其中Cnk(k0,1,2，n)叫做 Tk1 叫做二项展开式的通项，它表示第k1项Cn0anCn1an1bCnkankbkCnnbn二项式系数Cnkankbk在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？【思考提示】从整体看，(ab)n与(ba)n相同，但具体到某一项是不同的，如第k1项Tk1Cnkankbk，Tk1Cnkbnkak.思考？第2页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，

2、即CnmCnnm.等距离基础知识梳理第3页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日 (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即 2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2Cn4 .Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n1基础知识梳理第4页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日三基能力强化A16B70 C1792 D560答案：C2二项式(a2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A24 B18C16 D6答案：D第5页，共32页，2022年，5月20

3、日，8点33分，星期日三基能力强化3(1x)2n(nN)的展开式中，系数最大的项是()答案：C4若(ax1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是_答案：2第6页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日三基能力强化答案：B第7页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且rn.课堂互动讲练考点一求展开式中的指定项 例1求( x23x)10的展开

4、式中的第4项的二项式系数、第4项的系数、第4项3第8页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练课堂互动讲练第9页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日【点评】(1)正确区别二项展开式的某一项的二项式系数、项的系数、项三个不同概念(2)对于通项，要注意以下几点：它表示二项展开式中的第r1项，只要r确定，该项也随即被确定；公式表示的是第r1项，而不是第r项；公式中a，b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.课堂互动讲练课堂互动讲练第10页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日例2(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有

5、理项课堂互动讲练课堂互动讲练第11页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练课堂互动讲练第12页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日rZ，k应为偶数k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为课堂互动讲练课堂互动讲练第13页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日【规律小结】(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；课堂互动讲练课

6、堂互动讲练(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致第14页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日本例题已知条件不变，问：“这个展开式中是否含有x的一次项？”若没有，请说明理由，若有，请求出互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练第15页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋

7、值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，1.考点二赋值法在二项展开式中的应用课堂互动讲练课堂互动讲练一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0得常数项，令x1可得所有项系数和，令x1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和第16页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日例4(解题示范)(本题满分12分)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.课堂互动讲练课堂互动讲练第17页，共32页，2

8、022年，5月20日，8点33分，星期日【思路点拨】二项展开式是一个恒等式即对任意的xR都成立，因而可采用赋值完成【解】令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737 2分课堂互动讲练课堂互动讲练(1)a0C701，a1a2a3a72. 3分(2)()2得：第18页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练课堂互动讲练(4)法一：(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，1093(1094)2187. 12分法二：|

9、a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1|a0|a1|a2|a7|372187. 12分第19页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日1.(本题满分12分)在二项式(2x3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和解：设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9 1分(1)二项式系数之和为：C90C91C92C9929. 3分高考检阅课堂互动讲练课堂互动讲练第20页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日(2)各项系数之和为：a0a1a2a9.令x1，y1，得

10、a0a1a2a9(23)91.6分(3)由(2)知a0a1a2a91. 7分令x1，y1，得a0a1a2a3a8a9(23)959. 8分课堂互动讲练课堂互动讲练(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a8a959. 12分第21页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练课堂互动讲练-256B-10第22页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日1根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r1项系数最大，则它比相邻两

11、项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得考点三求二项展开式中系数最大的项课堂互动讲练课堂互动讲练第23页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日例3(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】根据二项式系数的性质，列方程求解n，系数绝对值最大问题需要列不等式组求解【解】由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.第24页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日(2)设第r1项的系数的绝对值最大，则TrTr1，且Tr1Tr2.课堂互动讲练课堂互动讲练第25页，共32页，2022年，5

12、月20日，8点33分，星期日课堂互动讲练课堂互动讲练第26页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日【思维总结】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，本例中是求“系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项比较这两项的系数C10228与C10426大小即可课堂互动讲练第27页，共32页，2022年，5月20日，8点33分

13、，星期日1二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理规律方法总结第28页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cnkankbk，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题(3)在通项公式Tk1Cnkankbk(nN*)中，要注意有nN*，kN，kn，即k0,1,2，n.规律方法总结第29页，共32页，2022年，5月20日，8点33分，星期日2项的系数与项的二项式系数的区别利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等)或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展