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1、4-4 三重积分的计算4-4-1三重积分在直角坐标系下的计算4-4-2三重积分在柱坐标系下的计算4-4-3三重积分在球坐标系下的计算4-4-4三重积分在一般坐标系下的计算第十一讲三重积的概念与计算课后作业：阅读：第四章 第四节三重积分的计算 pp.212-228含参变量积分 pp.231-240预习：第五节作业:习题 4:pp. 228-230 : 2;3;4;6; 7; 9; 13；15；17；19.4-2-6 综合例题例 10.将积分 f x, ydxdy 化成累次积分,其中Dx 2 y 2 2axD : x y 2ax 2ay , a 0 .22x y2sin x例 11.交换积分 dx

2、 f x, ydy 的积分次序.00例 12.求 I x ydxdy , 其中 D : 0 x 1,0 y 1,Dx y为取整函数.例 13.求4x 2 y 2 1与 z 1 y 及 z 0 所围区域的体积.axa例 14.证明 dxf ( y)dy (a x) f (x)dx(a 0)000证明: 本题可以用求导的方法, 现在用二重积分来证.交换积分次序axaadxf ( y)dy dyf ( y)dx000yaa(a y) f ( y)dy(a x) f (x)dx001例 15.求极限 limln(x 2 y 2 )dxdy . 0 2 x2 y 2 1解: 用极坐标 limln(x 2

3、 y 2 )dxdy 0 2 x2 y 2 1 lim 2 ln e 1 21ln d limd2 0 2 00例 16.计算由曲面 z1 2 x y 与 z x y22222所围成的空间的体积.解: D (x, y) x 2 y 2 1 (,) 0 2 ,0 1V (z1 z2 )dxdy 2(1 x y )dxdy22DD21 2d(1 ) d .200例 17.求闭曲线x 2 y 2 3 x 4 y 4 所围区域 D 在第一象限部分图形的重心.解: 闭曲线x 2 y 2 3 x 4 y 4 的极坐标方 cos4 sin 4 ,0 2 .cos4 sin4 /2 S dxdy d d 00

4、D11222 /2 cos sin d440 31 3 /2 sin d 0.589049 .44 2 2160cos4 sin4 /2 Mx M y x dxdy 0cosd 0 d 2D1coscos4 sin4 3 d13 /2 03 11 41 t tdt 0.309924 ;2430 x y M y 0.526143 .S21 yxy40.5-1-0.5-0.5-10.51x2 y2 3 x41x2 y 2 例 18.计算二重积分： I y1 xe 2dxdy ,D其中是由三直线: y x, y 1及 x 1围成的平面 区域。解 1：利用关于坐标轴的对称性：1 x2 y 2 I1 y

5、 xe 2dxdy 0D1 D2D3 D4D I I1 y dxdy y dxdyDD I 1 2D33解 2：利用关于 y x 的对称性：因为D 关于 y x 的对称;1 x2 y2 1 y2 x2 f (x, y) y x e2f ( y, x) xy e21 x2 y2 1 x2 y2 I1 y xe2dxdy 2y x e2D1 D2dxdy 0D例 19.设 f (x) 在a,b上连续, 利用二重积分证明:2bbf (x)dx (b a)f (x)dx2aa其中等号当且仅当 f (x) 为常数时成立.证明: 因为 f (x) 在a,b上连续, 所以 D (x, y) a x b, a

6、 y b上的连续函数 f (x) f ( y)2 0 ,等号当且仅当 f (x) 为常数时成立.0 I dx f (x) f ( y)2 dybbaabbbbbbdxf (x)dy dxf ( y)dy 2dxf (x) f ( y)dy22aaaaaabbbb (b a)f (x)dx (b a)f ( y)dy 2dxf (x) f ( y)dy22aaaa 2bb 2(b a)f (x)dx 2f (x)dx2 aa3y-1x-1y=xD110D2D3D4 D2bb故f (x)dx (b a)f (x)dx ，2 aa其中等号当且仅当 f (x) 为常数时成立. f (x) d例 20.

7、设 f (x) 在 1,1上连续的正函数,证明x2 y 2 1 f ( y)f (x)f (x)x2 y 2 1x2 y 2 1df ( y) d 2 0f ( y) 2证明: f (x) f ( y)2f (x)f ( y)x2 y 2 1f ( y) 2d 0 f (x)d 0 .f (x) f ( y)x2 y 2 1 例 21 设 f (x) 在0,上连续且 f (x) 0 ，并满足22x2xt 22f (t x) f (t)dt cos dt ，求f (x)dx 。20解：等式两边在0,上积分2202x20t 2t 22212tdt 右边cos dt cos dx dx0202x20

8、tdt f (t) f (t x)dx左边f (t x) f (t)dt dx02201 20tf (t)dt f (x)dx 1dt f (t) f (u)du 2 200ff1 y x x y d , 其中例 22 求: Ix y 22DD x, y x 2 y 2 R 2.x Cos解：考虑极坐标系 y Sin ,d d d . D x, y x 2 y 2 R 2ff1fy1 y x =xy x, y x y 2 x 241f, 1fyy1 f = =.因为： x, y x , x, y x, x, y 1 Cos Sin 1 yyyx, y x , xSin Cos = x 1 Co

9、s Sin 1 y00= Cos x = Sin 1ff 1 f1 D= dd y x x y dIx y 22 RR2 fR= d d = f , 2 , 0 d 0 .f000例 23 设函数 f (t) 在0,) 上连续，且满足x y22f dxdy ，求 f (t) f (t) e4 t22x y 4t2 22解： f (0) 1 x 2 y 2f 20002 22x y 4tf d f t e4 t2t 2 2 0 f (t) 8 te 8 tf (t) 4 t 2f (t) (4 t 2 1)e4 t2 f (0) 0sin(x 2 y 2 )1x y 022arctanx 2 y

10、 2x 2 y 2例24 设 f (x, y) 2x 2 y 2 01Df (x, y)d , D： x 2 y 2 2( 0)求： lim 0 2(0,0) 21D解：lim 0 25limf (x, y) lim sin t arctan 1 f (0,0)tt2t 0( x, y )(0,0)故 f (x, y) 在(0,0)的某个邻域内连续，可以在 x 2 y 2 2 内使用二重积分的积分中值定理。例 25 求V (t) (t 2) y 2 dxdy 在4,6上的最大值，其中D2D : x 2 y 2 1, y t 21 y 21 2 解：V (t) (t 2) y 2dxdy Ddy

11、(t 2) y 2dx1 y 2t 21 2(t 2) y 2 1 y 2 dy 2 t 2 11 2ty 1 y dy 42(1 y) 1 y 2 dy 2 t 2 2 t 28t(t 2)34(t 2)21V (t) 2y 1 y2 dy 1 2 t 24 1 2241 t 2 (t 2)(t 2)223 112 2 2 y 1 y 2 dy (1 y 2 ) 23t 2 2 t 23 2 t(t 4)2 0,4 t 6(t 2)23V (t) 在4,6单调增， t 6 时达到最大V (6) (4 y 2)dxdy 3 3 4 .23x2 y 2 1y 1264-4-1 三重积分在直角坐标

12、系下的计算I f x, y, zdv直角坐标系下的体积元素：dv dx dy dz ,I f x, y, zdxdydz不同积分次序的选择下的计算公式：z2 x, y I dxdy f x, y, zdzDx, y z1 x, y bI dz f x, y, zdxdyaDz x y 0,z 0,I z dv , y x y 2, x 2 y 6,例 1：计算 zy z 4,22 7ADBCdzdxdy Dzv=dxdydzD(z)yxD(x y)4 y 2解 1： I z dv = dxdy zdz =4 y 2 dxdy12 x2 y6 x y2Dx, y 04 ydy 26 ;=3 A(

13、 xA , yz) x,A 2 y解 2： I z dv ， A( x , yz) x, 6 2 yBA4 z 2 ， Dz x x 4 y , y yBA2 4, 4 y 4 4 z 2 .CDAB2I z dv = z dz dxdy ,0Dz 22 8 4 z 2= z D dz = 04 z zdz2z202=4 z zdz 222 322631 4024 zzdz = 2 304-4-2 三重积分在柱坐标系下的计算(1) 柱坐标系下的体积元素： x Cosn y z zSidv d d dz ,I f x, y, zdxdydzf Cos, Sin, z d ddz 。= , ,z

14、8z ddABCDAB(2) 不同积分次序的选择下的计算公式：z2 , f Cos, Sin, z dzI d dD , z1 , bI dz f Cos, Sin, z d d .Dz a(3) 举例：例 2， I dv ,其中 由曲面:半球面:z 16 x 2 y 2 ,柱面: y 2 4xx 2及平面 z 0 ,所围成.16 204Cos 16 2 d 解： I dv = 4Cosdz = d d d0064 643Sin 1 d =3 43= 904-4-3 三重积分在球坐标系下的计算(1) 球坐标系下的体积元素： x r Sin Cosr 0 y r Sin Sin , 0 z r

15、Cos0 2dv r2Sin dr d d ,I f x, y, zdxdydz=9r sin ddrr dr sin zyxf r Sin Cos, r Sin Sin, rCos r2drddr, , (2) 举例：例 3， 是上半空间中球面: y 2 z 2 4 与锥面 x 2 y 2 1 z 23x 2所围的区域。则：I dv =r2 sin drdd=r, , 262= 4 d Sin d r2dr000= 8 2 33262rCos r2drMz dv = 4dSin d= ,xy000 3 2 3.M xy重心 z 坐标: z V84-4-4 三重积分在一般坐标系下的计算(1)一

16、般曲线坐标系下的体积元素：x xu, v, wu ux, y, z y yu, v, w或者 v vx, y, z,z zu, v, ww wx, y, zx, y, zx, y, z u, v, w1u, v, w x, y, z dv u, v, w du dv dw ,I f x, y, zdxdydzf xu, v, w, yu, v, w, zu, v, w x, y, z du dv dw .=u, v, wu ,v,w柱坐标系： x CosCos Sin0 Sin Cos0001 x, y, z , z y Sin ; ; z z10 x, y, z , z dv d ddz d

17、 ddzI f x, y, zdxdydz =f Cos, Sin, z d d dz . , ,z x r Sin Cos球坐标系： y r Sin Sin ;z r CosSin Cos Sin Sin Cosr Sin Sin r Sin Cos0r Cos Cos r Cos Sinr Sin x, y, z r, = r2Sin x, y, z r, dr d d r2Sin dr d ddv x 2y 2z 2 xdxdydz , 其中： : 1a 2b2c 22例 4， I x a r Sin Cos y br Sin Sin ;解：设：z cr CosaSin Cos bSin

18、 Sin cCosar Sin Sin br Sin Cos0ar Cos Cos br Cos Sincr Sin x, y, z r, = abc r2Sindv abc r2Sin drddar Sin Cos 2 r2abcSin dr ddI x 2dxdydz =r, , 12= a3bc r4dr Cos2 d Sin3 d000= a3bc 1 4 2 2 a3bc 。454315114-4-5 综合举例例 5，设 是由曲面S1 : z x y 122在点M 0 1,1,3 的切平面,与S2 : z x y , 所围的区域，22求V xd v 。解：图形所围之域：S11 : 2

19、(x 1) 2( y 1) (z 3) 0 : S: z x2 y2 2S11 : z 2x 2 y 1 : S: z x2 y22z 2x 2 y 1S 与S 的交线：x 1 y 1 1112222 x2 y1x2 y2V xd v = x12 y 12 1x dx dydzx 2x 2 y 1 x2 y2 dx dy x12 y 12 1=1 ( x 1)2 ( y 1)2 x 1 1 dx dy= x12 y 12 11 u2 v2 u 1 du dvu2 v2 1u 1 u2 v2 dudv 1 u2 v2 du dvu2 v2 1u2 v2 11 u2 v2 du dv = .= 0

20、 2u v 12 2例 6，求 I x zdv ,由曲面z x 2 y 2 和 z 1 x 2 y 2所围图形的区域.( )812zz x 2 y 2z 2x 2 y 1y0 x解: I x zdv z dv 421解 1: I z dv = d d r cos r 2 sin dr0002 41 11= d sin cosd r3 dr = 2 sin2 =2 4 480001 x 2 y 2dxdy z dz解 2: I z dv x 2 y 2 1 / 2x 2 y 21 2x2 2 y2 dxdy 1 2 1 x2 dxdy22x y 1 / 22222 y 1/ 2x1 22 1解

21、3: I z dv d d z dz 2 1 2d d 2 1 / 2 2 1 / 21 / 2解 4: I z dv z dz1dxdy + z dzdxdyx 2 y 2 z 21 / 2x 2 y 2 1 z 201 / 21z z dz + z 1 z 22dz .01 / 2例 7，空间区域 为平面 z 8 与由曲线 y 2 2z绕 z 轴旋转一周而成的曲面所围成，x 0 x 2y 2 dv .( 1024 )求 I3I x y dv 2 8 d z d22d 2 16 22 3 8 2 2d d 2 16例 8，设有一半径为 R 的球体， P0 是该球表面上的一个定点，球面上任一点

22、的密度与该点到P0 距离的平方成正比(比例常数k 0 ), 求球体的重心位置。解：设 P (R,0,0) , 则密度 px, y, z k x R2 y2 z2 ;013zz 8y2 2zy0 xzz x2 y20yxz 1 x2 y2M k x R2 y2 z2 dv22 dvk2k x2 y2 z2 dv k R2 dv222R d sin d 2 22 4k r r dr k R R33000R5432 2 2 k k R k R .555315k x R2 y2 z2 xdvMyz2x2 y2 z2 dv 2kx2 dv 2k3222k 22k 48 d sin d rR2 2 r d

23、r R kR .1555335000重心坐标： MM R , y z 0 .xyz4x 2 y 2 z 2 2 5 8 1 (x y )dxdydz , :x y 122例 9，计算。zz 1 51 解: 利用函数与域的对称性， I dV8z5122 2108d 1用柱坐标： Iddzz0545112(2 2 ) 4 1d (2 )111 222dd44000 5 495454 (21) 1 2。4 54r 2 sin58202 1 cosd用球坐标： I ddr4r cos040sin5432 1 cos dr 2 dr cos402sin545250cosd2 245 cos 453451

24、59 2 4 2 2 4 。4414例 10，设函数 f ( x) 连续且于零， f (x 2 y 2 z 2 )dv(t ) f (x 2 y 2 )d f (x 2 y 2 )dD(t ) F (t) ， G(t) ，tf (x 2 )dx1D(t ) 其中(t) (x, y, z) x 2 y 2 z 2 t 2， D(t) (x, y) x 2 y 2 t 2.F(t)在区间(0,) 内的单调性.(1)2(2) 证明当 t0 时， F (t) G(t).2ttddf (r 2 )r 2 sin dr2f (r 2 )r 2dr解: (1)F (t) 0000，2ttdf (r 2 )r

25、drf (r 2 )rdr000ttf (t )f (r 2 )r(t r)dr2， (0,) 上 F (t) 0 ，F (t) 20tf (r 2 )rdr20故 F (t) 在(0,) 内单调增加.tf (r 2 )rdr（2） 因 G(t) 0，tf (r 2 )dr0要证明t 0 时 F (t) 2 G(t) ，2只需证明 t0 时， F (t) G(t) 0 ，tttf (r )r drf (r )dr f (r 2 )rdr2 0.222即000ttt令g(t) f (r )r drf (r )dr f (r 2 )rdr2 ，222000t则g (t) f (t )f (r 2

26、)(t r)2 dr 0 ，20故 g(t)在(0,) 内单调增加.因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0). 又 g(0)=0, 故当 t0 时，g(t)0,2因此，当 t0 时， F (t) G(t).15例 11 求半径为 R 密度为常数 0 的球体, 所产生的引力场。 dv dv z a解： dFz cos r 2r 2rx2 y2 z a 2z ar dvdF 3zx2 y2 z a2 z a dvF x2 y2 z a 2 z3Rdxdyx2 y2 z a2 = z a dz R322 22x y R z2R2 z20d dxdy d0 x2 y2

27、z a2 2 z a2 33x y R z2 2 22d 2 z a2 R 2z2R2 z20 2 z a 2 3 0 2 11 R2 z2 z a2R z az aFz 2 dzR 2az a22R 2R,a Ra RR z aRdz signz a dz 2a,Rz aR 2R 2 4 R3 , a R12R, a R 3a 2Rz a3a 2Rdz 2az a 2 , Fz.443R 2 a,a Ra Ra,316z az a2 2 z a2z a(x,y,z)Ryx在球坐标系下：dF dv cos cos dvr 2 a 2 2ra cos,zr 22 cosR r 2sin dr2a 2 2ra cos r000Rr 2 2 cos sin d r 2 a 2 2ra cos dr .00例 12， I