万有引力定律的发现与探究过程分析教学文案

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。万有引力定律的发现与探究过程分析-万有引力定律的发现与探究过程分析兼论如何在教学中展示知识形成过程北京教育学院吴剑平引言物理学的发端始于人类对理解星体运行的追求。三百多年前，万有引力定律的发现堪称人类文明与理性探索进程中最壮丽的诗篇，其所体现出的科学智慧的震撼力，至今仍为世人所叹服。李政道先生在回答是什么使他走上献身物理学研究的道路时曾说过，是物理学中那些具有普适性的物理法则和概念深深打动了他，激发了他深入探究的兴趣。万有引力定律就是这样一条具有简约性和普适性的自然法则，它第一次把看似毫不相关的地上与天

2、上运动统一起来，第一次揭示大自然的对称和谐与物理规律表达简洁而含蓄的内在美，并作为牛顿的“从运动现象研究自然力”的又一个科学思辨范例，而不断为历代科学家所效仿。因此万有引力定律的教学绝不能仅限于具体知识的讲解、记忆与实际的（习题）应用，更应强调人类对天体运动的认识以及建立万有引力定律的探究过程，把教学重点放在“引导学生体会万有引力定律发现过程中的思路和方法”上。然而，除了教材与教参已有的介绍外，我们对物理学史上这段辉煌史实真正了解多少？我们能否把握整个发现过程中的探索脉络，并将从中领悟到的思想精髓介绍给学生？由此看来，要教好新教材中的万有引力定律一章，适当扩展相应的知识背景，了解有关牛顿引力理

3、论的现代评述，就显得十分必要了。本专题将着重探讨以下几个问题：（1）如何正确评价“地心说”与“日心说”的作用？（2）开普勒是如何导出行星三定律的？（3）牛顿如何从开普勒三定律推导出引力的平方反比定律（圆轨道、椭圆轨道）？（4）牛顿是如何解决引力定律的普适性的？行星视运动及其天文观测常识讨论开普勒三定律与万有引力定律离不开人类对行星运动的天文观测，这其中涉及我们不十分熟悉的天文知识。天球及其坐标系研究天体位置和运动而引进的假想圆球。由于天体与观察者距离远大于地球的移动距离，可将其视作散布于以观察者（地球）为中心的一个圆球面上。实际应上是将天体投影到半径任取（可视作无穷大）的天球面上。为定量表示天

4、体投影在天球上位置和运动，需要建立以地球为中心的参考系，常用的坐标系有：（1）赤道坐标系：地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆称作天赤道，地轴（自转轴）延伸线与天球相交两点称作北南天极，过天极的大圆称为赤经圈，与天赤道平行小圆称作赤纬圈。（2）黄道坐标系：以地球绕太阳公转的轨道平面称为黄道面，其与天球相交的大圆称作黄道，地球轨道面的法线与天球交点称为北南黄极，该坐标系同样划分有黄经圈与黄纬圈。赤道面与黄道面有23027/的交角，两者相交的两点称作春分点与秋分点。如图1所示。黄极天极黄道天赤道图12行星视运动图2地球观测者所见的行星在天球上位置的移动。行星既有相对于恒星的视运动，又有相对于太阳的视

5、运动，是从地球角度描述行星的出没规律。行星的视运动情况可由两方面加以综合分析：一方面由于地球每天自西向东的自转，我们所看到的恒星、行星、太阳、月亮有自东向西的周日运动；另一方面由于地球每年相对太阳的由东向西的公转，太阳在遥远的恒星背景上有位于黄道面上的向东的周年运动，较近的恒星也呈现小椭圆状的周年运动，而九大行星几乎都在接近同一平面的近圆轨道，朝同一方向作绕太阳的公转，因而从地球上看，相对于自东向西遥远星空背景而言，其视运动轨迹均离黄道不远，且应呈现与太阳视运动方向一致的自西向东(称作顺行)运动。但实际观察到的行星运动却是时而顺行，时而逆行，有时甚至短时静止不动(称作留)的怪现象（如图2所示）

6、，难怪古希腊文将其称作“游荡者”。人类历史上一个最伟大科学探索篇章以及由此引发的日心说与地心说争议，乃至引力定律的发现就是从试图揭示行星视运动这一普通天文现象的成因而发端的。3恒星视差与秒差距视差是前景恒星相对于遥远恒星背景的恒星视位移。恒星视差与其距离的关系可以给出天文与宇宙学一个十分重要的概念秒差距（PC）。具体测量原理如图3所示。恒星在黄道面上C点，地球在三个月内公转位置从B到B/，此段时间恒星的视差角为，设恒星与太阳的距离为r，地太距离为一个天文单位（1.4961011m），而3600=1.296106弧秒（1弧秒=1/3600度），则有/1.296106=1天文单位/2r，=2.06

7、105天文单位/r=1PC/r，1PC=2.06105天文单位=3.091016m=3.27光年，图3而1百万秒差距=106PC=3.27106光年。二、“地心说”是怎样解释行星视运动的古代人们一方面从站在地球参考系观测天体，很自然认为地静而天动，地球是宇宙中心；另一方面天体是可望而不可及的另一类世界事物，其运动也应是神圣的，而匀速圆周运动曾被古希腊人认为是最完美和谐的运动，这也正是形成地心体系的最初的动因。托勒密的伟大之处在于他试图以地心说为基础，设计出能对行星在天球上十分复杂的视轨迹作出大致合理的解释模型，这就是通常所说的本轮与均轮模型，如图4所示。图4行星本轮地球均轮那么托勒密是如何解释

8、行星视运动极为重要的逆行问题呢？这一模型对木星退行现象的解释的示意参见图5所示。由于不同行星有不同的退行状况，故仅有一个本轮是难以将本均轮轨道运动叠加与实际情况相弥合，为此托勒密需要根据不同行星情况，叠套一个又一个的本轮，从而这个体系日趋复杂。但不管怎么说，既能说明以前的行星轨迹，又能较好地预言其未来位置。把这样一个限于观测手段的粗糙而有缺陷的观念体系简单地说成是唯心或反动的，是有违于科学史实的。我们应该告诉学生：以某种参考系来描述物体的相对运动，即使在今天也经常使用，而在地心说的建立和运用过程中，也仍能反映出历代学者那些富有启迪意义的理性思索，就如同后来不断出现的，诸如活力论、以太说那样的观

9、念，虽最终被扬弃，却仍然是最可宝贵的科学智慧的结晶。图5三、“日心说”是如何解释行星的视运动的哥白尼建立日心说源于对托勒密本均轮庞杂体系的强烈不满，他实际上只是改变地心说两个假设前提中的一个，或者说只是稍稍改变了描述的参考系（即“换一个角度来思考”），结果情况大变。这种转换观念而大获成功的事例在以后的物理学中屡见不爽，值得强调。在哥白尼体系中，太阳是宇宙的中心，六大行星以匀速圆周轨道绕日旋转，越靠近太阳的行星旋转速度越大。由于在日心坐标系中地球也在运动，此时地球观察者所看到的行星视运动似乎要复杂一些，但稍作分析发现，它竟能得出比地心说更简洁清晰的结论。下面以地外行星如木星为例，讨论日心说是如何

10、解释行星的退行现象的：如图6所示，由于木星比地球运动慢，当地球位于E1E7各点时，木星对应位置分别为J1J7，如果某一时刻地球观察者沿两者位置连线望去，将看到木星位置被投影到遥远星空背景上的不同点17上，于是当地球绕太阳一周，我们将看到木星好象在星空背景上走一个螺旋线，其中12、67是与木星实际公转同方向的顺向，而35则是逆行，并且在23与56之间会有短暂停顿的状态，这就是“留”。E6J63E5J54太阳E4J41E2J25E3E1J1J3图6四、开普勒是如何导出行星三定律的与哥白尼的日心说相比，开普勒归纳总结出行星三定律更具革命性，具体表现在：1根据精确的天文观测数据计算行星运动轨迹，而不是

11、在先验模型基础上拟合修补。典型的作法是利用第谷丰富的火星观测资料，以各种几何图线去反复拟合，终于发现火星轨道是一个椭圆，而太阳位于其中一个焦点上（开普勒第一定律），破除了天体必须是完美的圆周运动的观念。2从天文资料发现火星近日点速度快，远日点速度慢，打破行星运动必为匀速的传统束缚。为解释这一非匀速的现象，他利用了当时的一个假定：行星速率与离太阳的距离成反比，即在任一相等的时间内行星走过的弧长S应该和这一距离r成反比，因而有S1/S2=r2/r1，S1r1=S2r2，即1/2(S1r1)=1/2(S2r2)，或者曲线三角形面积1=2，这就是行星第二定律。不言而喻，当时开普勒的推算谈不上严格，且更

12、具有猜测性，但是一个开创性的科学成果并非必然要有严密的逻辑的推理过去，有时可能只是一种跳跃性的领悟，而最关键之处则在于它是否获得最终的实验验证。开普勒死后的几十年间，人们不仅在天文观测上，而且也在理论推证上对行星运动第二定律加以确认，这其中最具有思想启迪意义的是牛顿运用几何方法的证明。下面简要介绍牛顿的证明过程：如图7所示。设太阳位于A点，行星从B点开始在相等的时间间隔t1、t2、t3、t4分别到达折线上的B、C、D、F，若在t1间隔行星匀速由BC，如不受力将沿BCMFLEKIDCAB图7至I，且CI=BC，但在C点受到指向A的力，故它沿CD运动。从I作平行CA的直线ID，D是t2末时位点。由

13、于ACD与ACI同底（AC）等高，面积相等，又ABC与ACI也同底等高，所以t1掠过面积ABC与t2掠过面积ACD相等。同理可证其它相等时间间隔掠过面积均与ABC相等。若t足够小，折线面积变为曲线面积。这正是行星第二定律。I3开普勒的最重要贡献在他给出了具有定量意义的行星运动第三定律。这一定律揭示了各行星运动所遵循的一种更普遍的规律。这种简洁的数学表达最终成为万有引力定律发现的前奏。为获得这一定律，开普勒历经十年之久，他深知这一发现来之不易，以至于他自豪地写到：“我也许要整整等上一个世纪才会有读者，对此我毫不在意。”开普勒是以归纳行星观测数据，通过作图获得该定律的，新教材教学参考书上有一道参考

14、题：如何由牛顿的万有引力定律和向心力公式证明作圆周运动的地球卫星轨道参数满足开普勒第三定律，可增强对这一定律的认识，建议留给学生去做。五、牛顿如何导出万有引力定律的科学的研究总是遵循这样一种传统：在获得对某一自然规律正确的乃至定量化的描述之后，就必须回答为什么会有这种规律。这既是一种满足人类探究天性的、十分自然的理性诉求，也是科学理论得以建立和发展，从个别认识走向完整逻辑体系的必经途径。“从发现行星运动规律转而研究其动力学成因”无疑是建立近代科学思想体系最初的几块奠基石之一，值得深入探讨其中所蕴含的科学方法。为此，新教材增加较大篇辐介绍当时人们围绕行星运动成因提出的种种假设，例如伽利略的物体运

15、动趋向合并论，开普勒的太阳磁力论，笛卡尔的以太作用模型以及胡克的只规定作用效果，却不知其内涵的“引力说”（就如同我们把同性相吸的电磁力也称作引力一样）。千万别小看这些现在看来十分幼稚的假定，它们是激发当时科学家创造性思维的源泉。一个正确的理论的产生，并不必然要求其假设前提一定正确，因为一个革命性观念是无法从原有的理论框架中逻辑性地导出，最初的假定作为一种猜测可以被抛弃，但由此导出的结果却因实验确认而长存于世，并重新被赋予新的科学内涵。事实上，牛顿发现万有引力定律并非一帆风顺，他也和其它人那样经历了从朦胧认识到逐渐清晰的过程，其间的思辨方法也极富启迪意义。下面我们分几个具体专题剖析牛顿当时的探索

16、心路，以补教材内容的不足。引力平方反比律的发现（圆轨道与椭圆轨道）牛顿最初只是考虑要使行星以圆或椭圆轨道绕太阳旋转而不作匀速直线运动，太阳所提供的吸引力是什么性质的力，并未涉及这种力与什么因素有关。为简化问题首先讨论行星绕太阳的匀速圆周运动。由于牛顿已用几何方法导出向心力公式，再结合开普勒第三定律，很容易得出F1/R2。具体推导过程新教材已有介绍，这里不再重复。需要指出的是：上述结论仍有两个不足，一是要推广到行星实际运行的椭圆轨道，二是未能证明为什么可以把两个天体看作全部质量集中于中心的质点来看待。现介绍第一个问题的基本处理思路，后一问题则要用到引力场理论的知识，这里从略。基于椭圆轨道的平方反

17、比律更严格推导见于一般理论力学教程有关“质点在有心力场中的运动”一节，这里介绍一种相对简单的作法，这只是对当时牛顿几何证法的近似模拟，。如图8所示，考虑某种特例，即质点在一个焦点为F的椭圆两个顶点A、C的运动。设在一个微小的时间间隔内，质点分别从A、C到E、D，再分别从E和D作过A和C切线的垂线EM、ND。因为时间间隔足够小，可视弧长为直线，且有AMAE，CDCN，EM0、ND0。因而根据开普勒第二定律，有即（1）考虑类地行星的椭圆轨道偏心率很小，与圆轨道相差不大，则在AEC中，根据几何知识可知（AEAM，AMAC）：同理，在CDA中，有：CD22aDN。（2）。将（2）式代入（1）式，于是有

18、：当质点在两顶点A、B不受力时，将沿切线AM、CN运动，但由于F点的引力作用，质点实际上分别向焦点下落了距离EM与DN，这两个距离显然是与所受的引力fA和fC成正比的，故有，即行星作椭圆运动的引力与行星到位于焦点的太阳距离平方成反比。DENAMD/BF图8E/依据相类似的方法，可以证明行星在椭圆上任意一点受到的引力均具有平方反比律的特性，这里从略，有兴趣者可阅读牛顿的自然哲学之数学原理一书。(二)地月验证-走向引力普适性的第一步如果说导致行星运动的引力平方反比律特性的发现并非牛顿一人做出的，那么把行星运动涉及的引力概念扩展到地球，将其与地球表面上的重力相联系，并赋予质量和一般力的明确内涵，则只

19、能是牛顿所独创的，这其中蕴含着极为深刻的科学领悟。新教材作为补白的地月验证就是展示牛顿天才思想的生动案例。当时，牛顿是这样来展开他的想法的。首先无论是苹果落地，还是最高建筑物顶或最高山颠上，都未发现重力有明显减弱，那么这个重力也会对月球有影响，并为月球绕地运动提供必要的向心力；接着牛顿利用一个理想实验进一步论证了作用于月球上的力与地球表面的重力是同一性质的力：“如果有一个小月亮很靠近地球，以至触及到地球上最高的山顶。这时如果小月亮突然失去了运动，它就会像山顶上的物体一样以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不是重力，那么它将在这两种力的共同作用下以更大的速度下落，这是与我们的经验不符的。因此使

20、月亮保持在它轨道上的力就是我们通常称为重力的那个力。”最后，牛顿想到，地月作为两个天体，其间的引力服从平方反比律，如果重力就是这种引力，那么提供给月亮的向心力强度与地面上物体受到重力相比，应接平方反比律衰减。于是牛顿作了如下的定量证明：如图9所示。设想月球处于轨道任意点A，若不受力，它将沿切线AB进行。然而它实际走弧线AP=S，如果O是地心，则月球在这段时间下落了距离y，则而地面物体自由下落的距离为y/=1/2gt2，利用月球绕地周期T=27。3日=2。36106s，g=9。8m/s2，月地距离r=3。84105=60R地，R地=6400km，代入上式有y/y/=1/3600。设地面重力与地月

21、吸引力分别为f/、f，且f/y/，fy，地面物体距地心距离r/R地，故f/f/=y/y/=1/3600=R地2/（60R地）2=（r/）2/r2。ByNsPrO图9这表明地面上的重力与地月间的天体引力，乃至行星太阳间的引力一样都服从平方反比律，它们实际上是同一性质的力。天体间引力的普适性被揭示出来，而地面物体所受重力的大小是与物体质量成正比的，这就启发牛顿对引力的本质赋予更深刻的、与物体表观运动无关的内涵，最终导出万有引力定律的简洁表达式：有关引力定律的导出，新教材给出比原有课本更严格清哳的阐述，这里就不再赘言。（三）天文学应用成就引力定律普适性的全面确认万有引力定律产生于对太阳系内行星运动的

22、研究，但它对物质运动的适用性却要广泛得多。，可以这样说，宇宙中凡有引力参与的一切复杂的现象，无不要归结到这样一条十分简洁的定律之中，这不能不使人惊叹宇宙万物超乎寻常的和谐以及人类理性思考所具有的统摄力。既是在今天，广义相对论作为牛顿引力理论的新版本也仍在宇宙学中发挥重要作用，万有引力概念的普适性甚至超越了整个可观测的宇宙！为使大家对万有引力定律有更深刻的认识，除了教材所介绍的三个应用（计算天体质量、发现未知天体、第一宇宙速度）外，现再举几例：1.逃逸引力束缚的宇宙速度计算问题(1)运用平抛公式推导第一宇宙速度课本在人造卫星一节介绍了牛顿当初设想作抛体运动的物体可以成为地球卫星或逃离地球吸引的原

23、理图，但在导出第一宇宙速度时却因其过于麻烦而未采用。为使学生了解前人杰出的思想成果，现介绍牛时当时使用的方法。如图10所示，设地球是一理想球体，半径为R，现将一物体从A上方某一点A/以速度v1水平发射，该点距球心为r，则rR；若t时间内物体水平飞行距离A/D/=AD=L，自由下落距离D/Dy（yr，此时由于地球是球体，地球表面在D点也相对于过AD的水平面下降了DB=y，从而保证了物体离地高度不会改变。在下一个t时段也有相应情况，依此类推下去，物体无终点自由下落就可以在一个恒定高度上成为地球卫星。由平抛的运动方程有因为ABEACB，故将其代入平抛公式，有A/A/DCE2RD/图10B（2）第二与

24、第三宇宙速度推导第二与第三宇宙速度分别为物体脱离地球和太阳引力的速度，考虑其运行轨道为椭圆以及学生未学过能量一章，课本没有给出表达公式。但为使引力定律和后面内容的综合，教师仍有必要知道这两个速度的推算。计算v2最方便的方法是引入引力势能，即相对于无穷远点，地面上物体具有引力势能GM0m/R0，M0、R0分别为地球质量和半径（参见引力场专题）。根据机械能守恒定律，我们有：计算摆脱太阳引力的v3，可分两个阶段来考虑第一阶段：尽管航天器已脱离地球引力，处于离地球相对较远的位置，但与地太距离相比，仍可近似看作处于地球公转轨道上。以太阳为参考系，其位置为r=1。51011m，根据机械能守恒，我们有第二阶

25、段：v是相对于太阳的绝对逃逸速度，实际发射要折算成相对地球的速度vr。设地球的公转速度为V0，其大小可由下式确定：再由速度的叠加原理，v=vr+V0因此vr=v-V0=1。24104m/s。现设地面上发射飞行器相对于地球的初始速度为v3，则在地球参考系中，地面发射点与能够逃逸地球引力，同时又具有摆脱太阳吸引速度vr那一点的机械能相等，即而GM0m/R0=1/2mv22，v2为第二宇宙速度，故（3）行星大气分子的逃逸速度。方法如求v2，逃逸速度太小的星球无大气。（4）黑洞大小的的经典计算。课本阅读材料给出说明黑洞特性的经典分析，对拓展学生思路很有益处。但需要说明的是，这种说法并不确切，由于光子有

26、动质量，它根本不能离开黑洞表面而被发射。下面再举一例：如果地球成为黑洞，它的经典半径有多大？由计算第二宇宙速度公式当v2=C，有R0=2GM0/C2=26。6710-115。9761024/（3108）2=8。8610-3m1cm。潮汐现象的起因问题解释潮汐现象是牛顿万有引力定律最成功的应用，其基本思想甚至推广到广义相对论、黑洞物理学和宇宙学研究领域。然而由于历史原因，在大学物理教育甚少涉及，使许多中学教师对这一熟悉的自然现象只具有粗浅的常识性了解，为此有必要作一较为深入的探讨。首先从潮汐现象的认识疑难谈起：（1）古语道：“昼涨称潮，夜涨称汐”，表明一天有两潮涨潮落，为什么会有这种周期现象？（

27、2）天文观测表明，任何时刻的海平面总有两处隆起，一处离月球最近，另一处离月球最远，如果潮汐由月球引力所致，又应如何解释远端海水的突起？（2）按万有引力计算公式，对地球而言太阳的引力效应远大于月球，为什么在讨论潮汐时太阳的影响常可忽略？（4）除海水外，地球还有其它形式的潮汐现象吗？引潮力对其它天体有何影响？在下面的讨论中，为使问题简化，取地心为除引力外不受其它力的理想惯性参考系，假定海水均匀分布于地球表面，且不考虑地球自转、海水的环流以及海水与陆地的摩擦力。引潮力的定性分析：以月球为例，在地月引力系统中，地、月均绕它们的共同质心转动，质心位于地月连线d距地心073R处，由于地心绕公共质点旋转时，

28、地球上各点处于平动状态，所以在不同地方均受到大小相等、方向相同的惯性离心力f作用。另一方面月球对地球各处还有引力作用，各点位置不同，受到月球引力F的大小和方向不同，其中最近点A引力最大，最远点C引力最小。因此，在任何时刻，地球除地心外的各点均受到两个非等大反向力的作用，两者的合力效果会使各处的海水产生不尽相同的移动，这就是所谓月球的引潮力。如图11所示。BFDf月FAfFfC图11引潮力的定量计算：仍如图11所示，考虑四个特殊的点A、B、C、D，在A处，质量为m的物体受到引力F大于惯性离心力f，这两个力的合力，即引潮力为同理在C处有fF，在B和D点，万有引力和惯性离心力的合力可以证明都是指向地

29、心，其效果造成海水向下运动，结果地球表面海水形状为一椭圆。若考虑地球自转，则除两极外的任一点都分别经历上述四点位置的情况，因此一天会有两次潮涨潮落。太阳与月球引潮力的比较：设地球到太阳的距离为D，则已知M月=7351022kg，M日=201030kg，d=384108m，D=151011m，代入后有F月/F日=22，这表明地球潮汐现象起因主要来自月球的引力。太阳潮虽不易单独观察到，但仍能影响潮汐的大小，当农历初一或十五时，地、月、日几乎在同一直线，两者叠加会出现大潮：而农历初七、八或二十二、三时，月球与太阳引潮力相互垂直，消弱了潮汐效果，形成小潮，实际会因海水流动与其它地理条件推迟一段时间。海

30、洋潮汐能量估算：已知地球的转动惯量I=2/5(mR2)，转动动能由于潮汐作用使海水与海底摩擦加剧，地球自转减慢，自转周期增加。设自转周期增加T后，其转动动能为，故因自转减慢而损失的动能Ek=Ek-Ek/因TT，故海洋潮汐能功率为据观测，每百年地球一天增加10-3s，即平均每天增加T=10-3/10036586400s将有关数值代入后，有N=Ek/T=21012w。固体潮：发生在地球固态地壳的潮汐称作固体潮，其原理与海洋潮类似固体潮能引起地壳应力的变化，并可能诱发地震。固体潮对天体运动与存在形态影响较大，现举两例：（1）为什么月球总有一面固定朝向地球：由于地球质量是月球的81倍，月球半径是地球的0。273倍，代入引潮力公式可算出地月引潮力之比为22倍。又因为月球转动惯量较小，因此潮汐摩擦造成的自转速度减慢更为明显，当月球自转慢到月周日相当地球的一个月，就会出现月球一面永远朝向地球的情况。此时月球表面凸起也被固定下来，一处在面向地球的正中央，另一处则正好相反，因而也不再有摩擦效应来改变月球的自转周期了。此外，在地月系统中由于角动量守恒，即M2r1=C，当地球自转变慢时，必将导致地月距离的增大，故月球终将离我们而去。（2）是否会发生地月相撞大灾难:小行星撞击灾难问题一直为世人所关注。月亮离地球最近，它能否撞击地球？答案是否定的，原因有二：一是如前面所说，潮汐使地球自转变慢，地月距离