初三数学第四讲四边形教案

1、优质资料 欢迎下载四边形适用学科中学数学适用年级中学三年级120 分钟适用区域全国课时时长（分钟）学问点1 四边形以及特别四边形的概念、性质、判定2.三角形、梯形中位线定理及其运用3.梯形、等腰梯形、直角梯形的概念,把握等腰梯形的性质和判定,运用相关学问进行证明和运算教学目标 1.把握平行四边形及几种特别四边形的性质与判定2.敏捷运用有关性质及判定解决问题3.经受四边形基本性质,使同学学会“合乎规律地摸索” ,建立学问体系,获得肯定的技能基础4.让同学懂得平面几何观念的基本途径是多种多样的,感知和体验几何图形的现实意义,体验二维空间相互转换关系教学重点 懂得和把握几种常见特别四边形的性质、判定

2、教学难点 进展合情推理和初步的演绎推理才能优质资料 欢迎下载学问讲解1. 平行四边形性质及判定,列表归纳边平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等性角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角质对相互平分相互平分且相等相互垂直平分,且每条对 角线平分一组对角垂直平分且相等 ,每条角对角线平分一组对角线判定1.两组对边分别平行；1有三个角是直角的四 边形; 2有一个角是直角的平 行四边形; 3对角线相等的平行四 边形. 1.四边相等的四边形；2.对角线相互垂直的平 行四边形；3.有一组邻边相等的平 行四边形；4.每条对角线平分一组 对角的四边形；

3、1.有一个角是直角的菱2.两组对边分别相等；形；3.一 组对边 平行 且相2.对角线相等的菱形；等; 3 有一组邻边相等的矩对 称4.两组对角分别相等；形；5.两 条对角 线互 相平4.对角线相互垂直的矩分. 形；只是中心对称图形既是轴对称图形,又是中心对称图形性面积S= ah（a 为边, h 为S=abS=1d1d2对角线积 S=a2a 上的高）22. 直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴；3. 中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（有三条）

4、三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半；优质资料 欢迎下载梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线；（有且只有一条）梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半；4. 平行线之间的距离及特点平行线之间的距离定义：如两条直线相互平行,就其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离；平行线之间的距离特点平行线之间的距离特点1：平行线之间的距离到处相等；2：夹在两条平行线之间的平行线段相等；5. 梯形帮助线的添法口诀：梯形问题巧转换,变为 和 ；A平移腰,移对角,两腰延长作出高；假如显现腰中点,细心连上中位线；上述方法

5、不奏效,过腰中点全等造；作法图形平移腰, 转化为三角形、 平D行四边形BAEC平移对角线；转化为三角D形、平行四边形BCEE延长两腰,转化为三角形BAEDCC作高,转化为直角三角形和BAD矩形F中位线与腰中点连线ADBECF优质资料 欢迎下载6.图解学问点联系考点 /易错点 1平行四边形的性质和判定,恰当地应用 .考点 /易错点 2平行四边形的概念和面积的求法, 留意与三角形面积求法的区分. 考点 /易错点 3运用平行四边形是中心对称图形,过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分 . 考点 /易错点 4平行四边形中运用全等三角形和相像三角形的学问解题,突出转化思想的渗透 .考点 /易错点 5矩

6、形、 菱形、 正方形的概念、 性质、 判定及它们之间的关系,面积等的运算主要考查边长、 对角线长、优质资料 欢迎下载考点 /易错点 6四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题 . 三、例题精析【例题 1 】以下说法中,正确选项（）A. 同位角相等 B.对角线相等的四边形是平行四边形C.四条边相等的四边形是菱形【答案】 C D.矩形的对角线肯定相互垂直解： A、假如两直线平行,同位角才相等,故本选项错误；B、对角线相互平分的四边形是平行四边形,故本选项错误；C、四边相等的四边形是菱形,故本选项正确；D、矩形的对角线相互平分且相等,不肯定垂直,故本选项错误；【解析】 依据平行线的性质判定

7、A 即可；依据平行四边形的判定判定 B 即可；依据菱形的判定判定 C 即可；依据矩形的性质判定 D 即可【例题 2 】如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O,且 BD 平分 AC ,如 BD=8 ,AC=6 , BOC=120 ,就四边形 ABCD 的面积为 .（结果保留根号）【答案】12 3【解析】 BD 平分 AC ,所以 OA=OC=3 ,由于 BOC=120,所以 DOC= A0B=60 ,过 C 作 CH BD 于 H,过 A 作 AG BD 于 G,在 CHO 中, C0H=60 ,OC=3 ,所以 CH=3 23,SABDSCBD833123；同理： AG=

8、33,2所以四边形ABCD 的面积 =2优质资料 欢迎下载【例题 3 】如图,在矩形 ABCD 中, AD=2AB ,点 M 、N 分别在边 AD、 BC 是,连接 BM 、DN ,如四边形MBND 是菱形,就AM 等于 MD（4）A M D A 3 8B2 3C3 5DN 5C B 【答案】 C 【解析】 矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题, 菱形的性质应用较常见的是四条边相等或者对角线的性质应用；此题中求的是线段的比值, 所以在解决过程中取特别值法较为简洁；设 AB=1 ,就 AD=2 ,由于四边形 MBND是菱形,所以 MB=MD ,又由于矩形 ABCD ,所以 A=

9、90 ,设 AM=x, 就 MB=2-x ,由勾股定 理 得 ： AB 2+AM 2=MB 2, 所 以 x 2+1 2=2-x 2 解 得 ：x 3, 所 以 MD= 2 3 5,4 4 43AM 4 3MD 5 54【例题 4 】如图,在ABC中, AC=BC,点 D、 E分别是边 AB、AC的中点,将ADE 绕点 E旋转 180得 CFE,就四边形 ADCF肯定是（）A矩形 B菱 形 C正方形 D梯形【答案】 A解：ADE 绕点 E 旋转 180得 CFE,AE=CE ,DE=EF ,四边形 ADCF 是平行四边形,AC=BC ,点 D 是边 AB 的中点, ADC=90,四边形 ADC

10、F 矩形优质资料 欢迎下载【解析】 依据旋转的性质可得AE=CE ,DE=EF ,再依据对角线相互平分的四边形是平行四边形判定出四边形 ADCF 是平行四边形,然后利用等腰三角形三线合一的性质求出ADC=90,再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答【例题 5】如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折,点 B 恰好落在 AD 边的 B处,如 AE=2,DE=6 ,EFB=60 ,就矩形 ABCD 的面积是（）C. 123D. 163A.12 B. 24 【答案】 D【解析】 由两直线平行内错角相等,知DEF EFB=60 ,又 AEF= A EF120 ,所以,A E B =60,A EAE

11、2,求得 A B 2 3,所以, AB 2 3 ,矩形 ABCD 的面积为 S2 3 816 3 ,选 D；【例题 6 】如图,在 . ABCD中,对角线AC与 BD 相交于点 O,过点 O 作 EFAC交 BC于点E,交 AD 于点 F,连接 AE、CF就四边形AECF是（）D正方形A梯形B矩 形C菱形【答案】 C 四边形 AECF 是菱形,在 . ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO=CO , AFO= CEO,在 AFO 和 CEO 中优质资料 欢迎下载, AFO CEO （AAS ）,FO=EO ,四边形 AECF 平行四边形,EFAC,平行四边形AECF 是菱形A

12、O=CO , AFO= CEO ,进而得出AFO 【解析】 第一利用平行四边形的性质得出CEO,再利用平行四边形和菱形的判定得出即可【例题 7 】如图菱形 ABCD 中, B=60 ,AB=4 ,就以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（）B 15 C16 D17 A14 【答案】 C 解：四边形 ABCD 是菱形,AB=BC , B=60 , ABC 是等边三角形,AC=AB=4 ,正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4 4=16,【解析】 依据菱形得出 AB=BC ,得出等边三角形 ABC ,求出 AC 长,依据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4 ,求出即可

13、此题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质 和判定的应用,关键是求出 AC 的长优质资料 欢迎下载【例题 8 】如图,点 E 在正方形 ABCD 内,满意 AEB=90 ,AE=6 ,BE=8 ,就阴影部分的面积是（）B60 C76 D80 A48 【答案】 C 解： AEB=90 , AE=6,BE=8 ,在 Rt ABE 中, AB2=AE 2+BE 2=100,S阴影部分 =S正方形 ABCD S ABE =AB 2AE BE=1006 8=76【解析】 由已知得 ABE 为直角三角形,用勾股定理求正方形的边长 AB ,用 S 阴影部分 =S 正方形 ABCD S ABE 求面积【

14、例题 9 】【题干】 如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上, AEF 是等边三角形,连接 AC 交 EF 于 G,以下结论： BE=DF , DAF=15 ,AC 垂直平分 EF,BE+DF=EF ,S CEF=2S ABE其中正确结论有（）个C4D5A2B3【答案】 C 解：四边形 ABCD 是正方形,AB=BC=CD=AD, B= BCD= D=BAD=90 AEF 等边三角形,AE=EF=AF , EAF=60 BAE+ DAF=30优质资料欢迎下载在 Rt ABE 和 Rt ADF 中,Rt ABE Rt ADF （ HL ）,BE=DF ,正确BAE= DA

15、F , DAF+ DAF=30,即 DAF=15 正确,BC=CD ,BC BE=CD DF,（及）即 CE=CF ,AE=AF ,AC 垂直平分 EF正确设 EC=x,由勾股定理,得EF= x, CG= x,AG= x,AC=,AB=,BE= x=,BE+DF= x xx,错误,S CEF=,S ABE= =,2S ABE= =S CEF,正确综上所述,正确的有 4 个,应选 C【解析】 通过条件可以得出 ABE ADF 而得出 BAE= DAF ,BE=DF ,由正方形的性质就可以得出 EC=FC ,就可以得出 AC 垂直平分 EF,设 EC=x,由勾股定理就可以表示出优质资料 欢迎下载B

16、E 与 EF,利用三角形的面积公式分别表示出 结论 . S CEF和 2S ABE再通过比较大小就可以得出【例题 10 】如图小亮用六块外形、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形,就图中 的度数是（）A 60B55C 50D45【答案】 A 【解析】 此题考查等腰梯形的性质及镶嵌学问.以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析,三个相等的底角和为 360 度,所以每个上底角等于 120 度,下底角为 60 度 .【例题 11 】 已知：菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OE DC 交 BC 于点 E,AD=6cm ,就 OE 的长为（）A 6 cm B4 cm C3 cm

17、D 2 cm 【答案】 C 【解析】 此题考查菱形的有关性质及相像三角形的判定及应用 .解题关键：线段 OE 的一个端点 O 为对角线的中点,要求 OE 长,只需证明 OE 是中位线 .菱形 ABCD 中, AD=CD=6 ,由于 OE DC,所以 BEO BCD ,所以 BO BD=OE CD ,又由于 O 是 BD 中点,所以OE1CD3；2【例题 12 】如图, 在梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=DC ,AC 与 BD 相交于点 P；已知 A2, 3,B1, 1, D4, 3,就点 P 的坐标为（,）；y 【答案】 3, 7 3 P 的横坐标为3,O B A P D C x 【解析

18、】 如图,由对称性可知PEBE,即PE2优质资料,4 3欢迎下载,所以, PE4 317 3 DFBF23故 P 的坐标为（ 3,7 3 ）；四、课堂运用【基础】1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行 B对角线相等C对角线相互平分 D两组对角分别相等【答案】 B【解析】 A矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误；B矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确；C矩形与菱形的对角线都相互平分,故本选项错误；D矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误依据矩形与菱形的性质对各选项分析判定后利用排除法求解2. 如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形,点

19、 B 在 EF 边上,如矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S1、S2的大小关系是（）AS1S2 BS1=S2 C S1S2 D3S1=2S2【答案】 B【解析】由于矩形 ABCD 的面积等于2 个 ABC 的面积,而 ABC 的面积又等于矩形AEFC的一半,所以可得两个矩形的面积关系3. 如图,菱形 ABCD 的两条对角线相交于O,如 AC=6 ,BD=4 ,就菱形 ABCD 的周长是（）A24 优质资料C4欢迎下载D2B16 【答案】 C【解析】 四边形 ABCD 是菱形, AC=6 ,BD=4 ,AC BD ,OA=OC=3 ,OB=OD=2 ,AB=BC=CD=AD,在 R

20、t AOB 中, AB= =,菱形的周长是：4AB=4由菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O,AC=6 ,BD=4 ,即可得 AC BD ,求得 OA 与 OB的长,然后利用勾股定理,求得AB 的长,继而求得答案4. 如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为 120 的菱形,剪口与其次次折痕所成角的度数应为（）A15或 30 B 30或 45C45或 60D30或 60【答案】 D【解析】 四边形 ABCD 是菱形, ABD=1/2 ABC , BAC=1/2 BAD ,AD BC, BAD=120, ABC=180 BAD=180 120=60 , ABD=30

21、, BAC=60剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 60折痕为 AC 与 BD , BAD=120,依据菱形的性质： 菱形的对角线平分对角, 可得 ABD=30,易得 BAC=60,所以剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 605. 如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,如两个小正方形的面积分别为 S1,S2,就 S1+S2 的值为（）A16 B17 C18 D19【答案】 B 解：如图,设正方形优质资料欢迎下载S2 的边长为 x,依据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,AC=2CD ,CD=2 ,EC2=22+22,即 EC=；=8；S2 的面积为 EC2=S1

22、 的边长为 3,S1 的面积为 3 3=9,S1+S2=8+9=17 【解析】 由图可得, S1的边长为 3,由 AC= BC,BC=CE=CD ,可得 AC=2CD ,CD=2 ,EC=；然后,分别算出 S1、S2 的面积,即可解答【巩固】1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB BC,AC ,BD 相交于点 O,就图中等腰三角形的个数是（）A8B6C4D2【答案】 C 解：四边形 ABCD 是矩形,AO=BO=CO=DO , ABO , BCO , DCO, ADO 都是等腰三角形,【解析】 依据矩形的对角线相等且相互平分可得AO=BO=CO=DO ,进而得到等腰三角形2. 已知：线段 AB

23、,BC, ABC = 90 . 求作：矩形 ABCD . 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业,以下说法正确选项（）A两人都对 B两人都不对C甲对,乙不对 D甲不对,乙对优质资料 欢迎下载【答案】 A【解析】 对于甲： 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B 为 90 度, 知 ABCD 是矩形,正确；对于乙：对角线相互平分的四边形是平行四边形及角 B 为90 度,可判定 ABCD 是矩形 . 4. 如图,四边形 ABCD 、AEFG 均为正方形,其中 E 在 BC 上,且 B、E两点不重合, 并连接 BG依据图中标示的角判定以下的大小关系何者正确？（）1、2、 3、4A 1 2 B

24、 1 2 C 3 4 D 3 4 【答案】 D解：四边形 ABCD 、AEFG 均为正方形, BAD= EAG=90, BAD= 1+DAE=90,EAG= 2+DAE=90, 1=2,在 Rt ABE 中, AE AB,优质资料 欢迎下载四边形 AEFG 是正方形,AE=AG ,AG AB , 3 4【解析】 依据正方形的每一个角都是直角求出BAD= EAG=90 ,然后依据同角的余角相等可得 1=2,依据直角三角形斜边大于直角边可得 AEAB ,从而得到 AG AB ,再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出3 45. 如图为正三角形 ABC 与正方形 DEFG 的重迭情形,其中 D

25、、E 两点分别在 AB 、BC 上,且 BD=BE 如 AC=18 , GF=6,就 F 点到 AC 的距离为何？（）A2 B3 C12 4 D6 6 【答案】 D解：如图,过点 B 作 BH AC 于 H,交 GF 于 K, ABC 是等边三角形, A=ABC=60,BD=BE , BDE 是等边三角形, BDE=60 , A=BDE ,AC DE,四边形 DEFG 是正方形, GF=6,DE GF,AC DE GF,KH=18 6 6=9 3 6=6 6,F 点到 AC 的距离为 6优质资料欢迎下载 6【解析】过点 B 作 BH AC 于 H,交 GF 于 K,依据等边三角形的性质求出A=

26、 ABC=60 ,然后判定 BDE 是等边三角形,再依据等边三角形的性质求出BDE=60,然后依据同位角相等,两直线平行求出 AC DE,再依据正方形的对边平行得到 DE GF,从而求出AC DE GF,再依据等边三角形的边的与高的关系表示出 相等即可得解课程小结KH ,然后依据平行线间的距离1.精确把握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定,这些都是应考的重要前提；2.中位线定理3.梯形帮助线添加方法4.用转化思想求解数形结合题、方案设计题,以及一些综合题；课后作业【基础】1. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F 分别是 AO 、AD

27、 的中点, 如 AB=6cm ,BC=8cm ,就 AEF 的周长 = cm【答案】9【解析】 先求出矩形的对角线AC ,依据中位线定理可得出EF,继而可得出 AEF 的周长在 Rt ABC 中, AC=10cm,点 E、F 分别是 AO 、AD 的中点,EF 是 AOD 的中位线, EF=OD=BD=AC=,AF=AD=BC=4cm ,AE=AO=AC=, AEF 的周长 =AE+AF+EF=9cm 2.如图,矩形ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、 CD 的中点,连接 DE 和 BF,分别取 DE、BF 的中点 M、N,连接AM,CN,MN ,如 AB=2优质资料欢迎下载2 ,BC=2

28、3,就图中阴影部分的面积为【答案】 2 6 . 【解析】 此题考查了阴影部分面积的求法,涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积运算公式等学问,解题思路方法多样,运算也并不复杂, 如分别运算再相加,就耗时耗力,认真观看不难发觉阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即 事半功倍,所以平常要加强数学思想、方法的学习与积存【巩固】2 6）,这种 “ 整体思想 ”1. 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形A B C D 的位置,旋转角为 0 90 ；如D 1=110 ,就= ；A DBB 1 C C【答案】 20 依据矩形的性质得B=D= BAD=90,依据旋转的性质得 D = D=90

29、 , 4= ,利用对顶角相等得到1= 2=110 ,再依据四边形的内角和为360 可运算出 3=70 ,然后利用互余即可得到 的度数2. 如图, ABCD 是对角线相互垂直的四边形,且 OB=OD, 请你添加一个适当的条件_,使 ABCD 成为菱形 .（只需添加一个即可）【答案】 OA=OC 或 AD=BC 或 AD/BC 或 AB=BC 等【解析】 此题属于开放题型,答案不唯独.主要考查了菱形的判定,关键是把握菱形的判定优质资料 欢迎下载定理3.如图,菱形ABCD 中,AB 4,B60o,AEBC AFCD , 垂足分别为E,F, 连接EF,就 AEF的面积是. 【答案】 3 3【解析】 依

30、题可求得： BAD 120 ,BAE DAF 30 ,BEDF2,AE AF 2 3 ,所以,三角形AEF 为等边三角形,高为3,面积 S1 23 2 3 3 3EF；如4. 如图,将菱形纸片ABCD 折迭,使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处,折痕为菱形 ABCD 的边长为 2 cm,A=120 ,就 EF= cm；【答案】3 【解析】 点 A 恰好落在菱形的对称中心O 处,如图, P 为 AO 中点,所以 E 为 AB 中点, AE 1,EAO=60 ,EP3,所以,2EF3 5. 如菱形的两条对角线分别为2 和 3,就此菱形的面积是【答案】 3 【解析】 由题意,知： S菱形=23=3,

31、菱形的面积是对角线乘积的一半. 优质资料 欢迎下载【拔高】1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 3,点 E,F 分别在边 AB , BC 上, AE=BF=1 ,小球 P 从点 E 动身沿直线向点 F 运动,每当遇到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角当小球 P 第一次遇到点 E 时,小球 P 与正方形的边碰撞的次数为,小球 P 所经过的路程为【答案】 6, 6解：依据已知中的点 E,F 的位置,可知入射角的正切值为 1/2,第一次碰撞点为 F,在反射的过程中,依据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相像可得其次次碰撞点为 G,在DA 上,且 DG=1/6DA ,第三次碰撞点为 H,在 DC 上,且 DH=1/3DC ,第四次碰撞点为 M ,在 CB 上,且 CM=1/3BC ,第五次碰撞点为 N,在 DA 上,且 AN=1/6AD ,第六