计量经济学-第五部分联立方程模型

1、联立方程模型的概念和构造 对于大多数金融、经济现象而言，许多变量之间存在的是交错的双向或多向因果关系，单向的因果关系是没有多大意义的。例如货币需求的变化会影响均衡利率水平，而利率水平的变化也会影响货币需求。为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个相互联系的单方程组成的多方程模型，即联立方程模型（simultaneous equation model）。1但联立方程模型并不是单方程的简单重复或堆砌，它有其自身的特殊理论问题，其中主要是模型的identification和estimation问题。 2第一节 联立方程模型的基本概念首先考虑一个由三个方程组成的简单的市场供需模型（假定市场总是

2、出清）(模型1）： 供给方程： 需求方程： 均衡方程：3一、内生变量、外生变量、前定变量 (一) 内生变量（endogenous variables） 由模型系统决定其取值的变量称为内生变量。在模型1中， 、 、 的值是由模型决定的，因而是内生变量。 第一节 联立方程模型的基本概念4（二）外生变量（exogenous variables） 由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量。在模型1中，t期的收入 是由模型外的因素决定的， 因而在该模型中是外生变量。 第一节 联立方程模型的基本概念5（三）前定变量（predetermined variables） 所谓前定变量是指独立于变量所在方

3、程当期和未来各期随机误差项的变量。在模型1中， 作为滞后的内生变量， 作为外生变量都属于前定变量。 第一节 联立方程模型的基本概念6二、完备方程组 如果一个模型中方程的个数等于内生变量的个数，则称这个模型为完备方程组（complete system of equations）。我们可以估计完备方程组中的所有参数，但对于非完备方程组，我们不能估计或只能估计它的一部分参数。第一节 联立方程模型的基本概念7 在上述市场供需模型中，共有 、 、 三个内生变量，同时有三个方程，因此该模型是一完备方程组，所有参数均可估计。三、随机方程式、非随机方程式 联立方程模型中的方程可以分为两类，一类是含有随机误差项

4、和未知参数的方程，称为随机 第一节 联立方程模型的基本概念8 方程式，也即行为方程（behavior equation）；另一类是不含随机误差项和未知参数的方程，称为非随机方程式，主要是恒等式，非随机方程式不需要估计参数。在模型1中，供给方程、需求方程是随机方程式，即行为方程。而均衡方程则属于非随机方程式。 第一节 联立方程模型的基本概念9四、结构式模型、简化式模型 所谓结构式模型，是指在一定的经济理论基础上建立的，能够反映经济变量之间结构形式的一类联立方程模型。模型1即为结构式模型， 对于模型1，若将常数项看作变量1的系数，则模型可以表示为： 第一节 联立方程模型的基本概念10第一节 联立方

5、程模型的基本概念11因此结构参数矩阵为： 1 第一节 联立方程模型的基本概念12对于模型1，若以表示t时刻供给量和需求量的均衡值，则模型1可表示为模型2：供给方程： 需求方程：若将模型2中的内生变量 、 只用模型中的前定变量和随机误差项表示出来，则可得: 、 第一节 联立方程模型的基本概念13 （3.1） （3.2）模型3就是结构式模型1或2所对应的简化式模型。 第一节 联立方程模型的基本概念14 一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一样，模型3中的简化式参数矩阵可表示为： 第一节 联立方程模型的基本概念15第一

6、节 联立方程模型的基本概念16五、联立性偏误 若仍对结构式模型中的每个结构方程分别运用OLS进行估计，所得到的参数估计值将是有偏和不一致的，即存在联立性偏误（simultaneity bias）或联立方程偏误（simultaneous equations bias）。 第一节 联立方程模型的基本概念17以下我们将以模型2为例证明解释变量与随机误差项的相关性。 首先假定 满足 ， ， 且 不相关，由3.2以及协方差的性质， 第一节 联立方程模型的基本概念18由外生变量及前定变量的定义，得原式 ，则 是相关的。第一节 联立方程模型的基本概念19下面将证明由于 、 的相关性， 的最小二乘估计值 将是

7、不一致的，为简化分析，将模型2中供给方程中的滞后价格项去掉 ，记 、 分别为P与Q的样本均值，可得： 第一节 联立方程模型的基本概念20对等式两边取期望值，可得 考察当样本容量n趋于无限大时 的性质，即考察 是否具有一致性。由一致性的定义， 第一节 联立方程模型的基本概念21对上面等式两边取极限概率，可得： 第一节 联立方程模型的基本概念22当样本容量n趋向于无限大时，则原方程等于 因此 的概率极限并不等于它的真实值，即是个有偏估计量，并且这个偏误不会随样本容量的增大而消失。 第一节 联立方程模型的基本概念23第二节 联立方程模型的识别 所谓识别问题，是指结构方程参数的数值估计，是否能够从估计

8、的简化式参数求得。如果能够求得，我们就说此结构方程是可以识别的，特别的，如果能够得到结构参数估计值的唯一解，则称该结构方程是恰好识别的；如果可以得到结构参数估计值的多个解，则称该结构方程是过度识别；如果不能够通过简化式参数估计值求得结构式参数值，则称该结构方程是不可识别的或不足识别的。 24（一）不可识别和过度识别 对于模型2做修改，可以得到以下模型4： 供给方程： 需求方程：将内生变量表示成前定变量与随机误差项的函数，可得： 25其中 的各值表示为各变量前的系数，26根据上述关系式，若已知 ，则可得：= 或 = ， = ，但我们却无法求得 的值，也无法求得它们的估计值。 27（二）恰好识别

9、让我们回到模型2供给方程：需求方程： 其对应的简化式模型3 28由上述关系式，若已知 ， 可以求得： ， ， ， ，分别用OLS估计简化式模型的两个方程，可得无偏估计值，相应地，模型2中的参数的一致估计量也相应可得。 29由结果可以看到，模型2中供给方程和需求方程参数估计值的唯一解，因此两个结构方程及模型都是恰好识别的。30二、识别规则: 阶条件可识别性的阶条件是一个必要但非充分条件，阶条件有多种表述方式 ：表述1：令G表示模型中结构方程的个数，如果某结构方程中所不包含的内生变量和前定变量的个数为G-1，则该方程是恰好识别的；若不包含的变量个数大于G-1，则该方程是过度识别的；若不包含的变量个

10、数小于G-1，则该方程是不可识别的。 31 表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别的；若大于，则该方程是过度识别的。 32可以证明两种表述方式是等价的。下面通过一个例子说明可识别性的阶条件。（模型6） (6.1) (6.2) (6.3) 在该模型中， 表示外生变量， 表示内生变量， 33 根据阶条件表述1：方程6.1：不包含2个变量，因此该方程是恰好识别的。方程6.2：是过度识别的。方程6.3：不可识别

11、。 根据阶条件表述2：方程6.1：不包含1个前定变量，方程右边包含一个内生变量，因此该方程是恰好识别的。方程6.2：是过度识别的。方程6.3：不可识别。 34二、秩条件 秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该结构方程是可识别的，若秩小于G-1则该结构方程是不可识别的。对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判断其可别性，可按以下步骤进行： 35写出结构模型对应的结构参数矩阵删去第i个结构方程对应系数所在的一行。删去第i个结构方程对应系数所在行中非零系数所在的各列。对余下的子矩阵，如果它的秩

12、等于方程个数减去1，则第i个结构方程就是可识别的；如果它的秩小于方程个数减1，则第i个结构方程就是不可识别的。 36下面举例说明阶条件和秩条件的结合运用。（模型7） (7.1) (7.2) (7.3) (7.4)同模型6， 表示内生变量， 表示外生变量，首先写出模型的结构参数矩阵： 37方程7.1：按阶条件，是恰好识别的。按秩条件，得子矩阵如下， 它的秩为23,因此秩条件不满足，该方程是不可识别的。 38 方程7.2：按阶条件，恰好识别。按秩条件，得子矩阵如下，它的秩为3满足秩条件，因此该方程是恰好识别的。 39方程7.3：按阶条件，是过度识别的。按秩条件，得子矩阵如下，它的秩为3，满足秩条件

13、，因此该方程是 过度识别的 。方程7.4：按阶条件，是不可识别的，则不用考虑秩条件，该方程一定是不可识别的。 40三、联立性检验由于某些内生变量作解释变量，从而与随机误差项存在相关性而产生的，因而联立性检验就归结为可能是内生变量的解释变量与随机误差项的相关性检验。通常用Hausman设定误差检验（Hausman specification test）检验联立性。考虑前面提到的模型4： 供给方程： 41需求方程：第一步，求得模型的简化式形式 （模型8） （8.1） （8.2）其中 、 为相应的系数， 、 为随机误差项。42第二步，应用普通最小二乘法估计方程8.1，得到 的估计值 。第三步，将 作

14、为附加变量加入到方程4.1中，得 ，对其应用普通最小二乘法进行回归，并设： 43 第四步，对 的估计值做t检验，若它是显著的因而应将作为内生变量，即存在联立性；若不显著，则不能拒绝原假设，即不存在联立性。 44第三节 联立方程模型的估计根据是否同时对所有的结构方程进行估计，可把常用的估计方法分为单一方程法与系统方程法两类。单一方程法又称有限信息法（limited information method）,是对结构方程逐个进行估计的方法。系统方程法又称为完全信息法，是对整个联立方程模型中的所有结构方程同时进行估计，一次估计出模型全部系数的方法 45一、单一方程法 对单一方程法我们将主要介绍间接最小

15、二乘法、工具变量法、两阶段最小二乘法。前者只适用于恰好识别的结构方程，后两者还可应用于结构方程过度识别的情况。（一）普通最小二乘法在递归模型中的应用。 考虑如下模型：46 （9.1） （9.2） （9.3）其中 表示内生变量， 表示外生变量，假定同期各方程的随机误差项互不相关，即：47 该模型中实际并不存在联立方程系统中各内生变量之间的相互依赖性，而是存在一种单向的因果依赖性，这种模型被称为递归模型或三角模型，也因其单向因果性而被称为因果性模型。 (二)间接最小二乘法 其具体步骤如下： 48 第一步：将结构式模型转化为简化式模型。 第二步：对每个简化式方程应用普通最小二乘法，得到简化式参数的估

16、计值。第三步：根据简化式参数与结构式参数之间的关系式以及简化式参数估计值求得结构式参数估计值。 49(三)工具变量法以国民收入模型10为例，说明工具变量法的应用：消费函数： 投资函数： 国民收入定义式： 第一步，选择合适的工具变量。一般而言，联立方程模型中的前定变量可以作为工具变量，因此选择政府购买支出作为工具变量。50运用普通最小二乘法估计估计方程 ，得到拟合值 。第三步，将消费方程中的Yt 用其拟合值 代替，得 ，由于 与 是不相关的，因此用普通最小二乘法估计该方程，就可以得到 、 的估计值 、 。51（四）两阶段最小二乘法 下面仍以模型10为例说明两阶段最小二乘法的应用：第一阶段，由结构

17、式模型求得简化式模型： 并用普通最小二乘法分别估计各方程，求得各内生变量的拟合值 52 第二阶段：将原结构方程右边的内生变量替换为它的拟合值，得如下模型(11)。由于 与 、 是渐进不相关的，因此可以用普通最小二乘法分别估计模型11的方程，从而求得结构方程的参数估计值。 模型(11) 53五、间接最小二乘法、工具变量法、两阶段最小二乘法的比较 两阶段最小二乘法实际上是工具变量法的一种特殊形式。 在恰好识别的情况下，可以证明三种方法是等价的。在过度识别的情况下，间接最小二乘法不能应用；按照工具变量选择的不同，工具变量法可以得到多个估计值；而两阶段最小二乘法则可以充分利用模型信息，得到结构参数的唯

18、一估计值。 54二、系统方程法 系统方程法，其中最重要的一种方法是三阶段最小二乘法。它的基本思想是：两阶段最小二乘法只使用了模型的部分信息，而忽视了模型结构对其它方程的参数值所施加的全部约束条件，特别是当联立方程模型各方程的随机误差项同期相关时，两阶段最小二乘法将不再有效，此时需要引入广义最小二乘法（GLS），以克服各方程之间的联立性偏误。 55第一阶段：利用普通最小二乘法估计结构式模型对应的简化式模型，并求得各内生变量的拟合值。第二阶段：将结构方程右边的内生变量用其拟合值代替，再利用普通最小二乘法估计替代后的方程，得到结构参数参数估计值。然后计算各方程的残差值，利用残差值求得误差项方差以及跨

19、方程协方差的一致估计值。GLS的基本步骤56第三阶段：根据第二阶段得到的误差项方差估计值以及跨方程协方差估计值，应用广义最小二乘法得到三阶段最小二乘估计值。尽管系统方程估计值比单一方程估计值更为有效，但在实际中系统方程法并不常用。 （1）系统方程法常常导致参数的高度非线性解，以至于有时难以确定。 （2）系统方程法对设定误差很敏感。 （3）计算量较大。 57第四节、实例联立方程模型在金融数据中的应用 一、理论分析 （一）理论上，货币供应量对股票价格影响的途径 由理论可以看出，货币供应量既可以影响当期的股票价格，也可以影响后期的股票价格。根据国内外的研究，货币政策的时滞一般在6个月，因此取股票价格

20、58作为被解释变量时，取当月和前第六个月的货币供应量为解释变量，建立如下方程：其中 表示第t月的上证综合指数， 表示第t月的货币供应量， 表示第t-6月的货币供应量。 （二）股票价格也会对货币需求也存在财富效应、交易效应和替代效应。59 因此若以货币需求量为被解释变量，可以建立如下的方程： 其中 代表t月的货币需求量， 代表t月的工业增加值， 代表第t月的通货膨胀率， 代表第t月的一年期定期存款利率。从总体上来说，货币需求和货币供给还是保持均衡的。60因此，可以建立如下的联立方程模型（模型12） (12.1) （12.2） 61二、实证分析 本文采用了从1997年1月到2004年3月各变量的月度数据。我们将分别检验流通中现金、狭义货币、广义货币作为货币量与上证指数的关系。我们将在Eviews5.0中利用两阶段最小二乘法估计上述联立方程模型，这个过程主要分两个步骤：首先利用普通最小二乘法求得内生变量的拟合值，然后用拟合值代替内生变量再利用两阶段最小二乘法求得结构参数估计值。62我们以代表货币量说明模型，打开Eviews5.0，建立相应的工作组并输入数据，然后在菜单中选择“Quick”“Est