八年级几何辅助线专题训练

1、常 见 的 辅 助 线 的 作 法.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三 线合一”的性质解题.倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作 垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交， 形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的 位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作 连线，出一对全等三角形。.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条

2、线段长之和等于第三条线段的长，.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.角度数为30度、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为 30度或60度, 可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90的特殊直角 三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边 或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。.面积方法:在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各 顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、等腰三角形“三线合一”法.如图，已却 AABC 中，/A = 90, AB=AC, BE 平分/ AB

3、C , CELBD 于 E, 求证：CEmBD.中考连接：（2014?扬州，第7题，3分）如图，已知/ AOB=60,点P在边OA上，OP=12,点 M, N 在边 OB 上，PM=PN,若 MN=2,贝U OM =（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、倍长中线（线段）造全等例1、(“希望杯”试题)已知，如图 ABC, AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是.例2、如图，ZXABC中，E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CFW EF的 大小.A例3、如图，今/中。中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.中考连接E(0910：) WaWMA

4、B、AC为腰分别向外作等腰Rt ABC和等腰Rt ACE,BDCBAD CAE 90，连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的关系.(1)如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是,线段AM与 DE的数量关系是;(2)将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 (0 90)后，如图所示，(1) 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60 , ABC的角平分线 AD,CE相交于点O,求证：OE=ODB、D分别在AM、AN上,2、如图，已知点C是/MAN的平分线上一点，CELAB于E,中考连接:()如

5、图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等 三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ACB 是直角，/B=60 , AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由四，垂直平分线联结线段两端1. ( 2014?广西贺班17题3分)如图，等腰BC/ DBC=15RAC图图B中, DC的平分线，AD、CE相交于点Fo请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你则/ A的度数是2、如图

6、，4ABC中，AD平分/ BAC DGLBC且平分 BG DHAB于 E, DF，AC中考连接：A于F. （1）说明BE=CF勺理由；（2）如果AB=a , AC之，求AE BE的长.-AC 2出结果）(1)求/（2014年f；东汕尾八第19题7分）如图，在RtA ABC中，/ B=90,分别以点A、C为圆心，大于:画崎两弧相枳C点M、 N,连接 MN,与AC、BC分别交于点 D、E,连接AE.， D,，(2)当AB=3, AC=5时，求 ABE的周长.补充：尺规作图过直线外一点做已知直线的垂线 五、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CDL

7、AC2、如图，AD/ BG EA,EB分别平分/ DAB,/CBA CDS点 E,求证;AB = AD+BC003、如图，已知在AABC内， BAC 60 , C 40 , P, Q分别在BG CA上，并且AP,BAC, ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPA图，在四边形 ABCLfr, BOBA,AD= CD BD平分 ABC,B5.BQ分别是如4、AC 1800求证:Q如AF图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点, 平分/DAE.求证：AE BE = DF.如图，AABC中，/ABC=60 , AD、CE分另平分/ BAC, /ACB,判断AC的长与AE+CD 的大小关系

8、并证明.如图，RtAABC 中，/ ACB=90 , CD LAB 于 D, AF 平分/ CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且EG/AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明。六、综合BE+DF=EF 求/ EAF的度数.1、正方形ABCW, E为BC上的一点，F为CD上的一点,D 2、如图， ABC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM CN , AM与BN交于Q点。求 AQN的度数。3、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD, AB BC , Z ABC 120, Z MBN 60, /MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线

9、）于E, F .当/MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，4、EMC.(图 1) F系及AMN的图1(I)如图1(D(2)为等腰Rt ABC斜|点，DML DN,DM,D转动时证20 ,BD=DC.探究：当 M、AB=Z求四边形 ABC的两边C月U交 BC,CA于点 E,FoE=DFECF勺面为 VABC 外一点，且 MDN 60 , BD线上分别有两点M、N, D* A N（ft捌在直线AB、ACCi移动时，BM、NC、MN之间的数量关 周长Q与等边 ABC的周长L的关系.N当点M、N边AB、AC上，且

10、DM=DN时，BM、NC、MN之间的此时QL（II）如图2, 成立吗?点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还 写出你的猜想并加以证明；（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若 AN= x ,则 Q=（用x、L表示）.上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明.中考连接：（2014?抚顺 第25题（12分）已知：RtAAz BC RtAABC, /A C B=/ACB=90 , /A BC =/ABC=60 , RtAAz BC可绕点B旋转，设旋转过程中直线 CC和AA

11、相交于点D.（1）如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段AD和线段A D之间的数量关系， 并证明你的结论；（2）将RtA BC由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成 立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将RtA BC由图1的位置按顺时针方向旋转 a角（00 a 120当A、C、A 三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数.参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1A

12、D4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DE，DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BG, EG, A显然BG= FC,在AEFG中，注意到DE! DF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC快J 3、如图， ABC中，BD=DC=AC E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BG, DG,显然 DG= AC,/GDCM ACD由于 DC=AC故 /ADC力DAC在人口8与4 ADG中，BD =

13、 AC=DG AA AD,/ ADB=/ ADC吆 ACD=/ ADC吆 GDC= / ADG故AD A AD(G 故有/ BAD之 DAG 即 AD 平分 / BAEABC Rt ABD 和等腰 Rt ACE ,应用：BAD1、（09崇文二模）以的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰CAE 90，连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时， AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 ;（2）将图中的等腰 Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0 BA,AD= CD, BD平分 ABC,求证： A C 1800解：

14、(补短法)延长 BA至F,使BF= BC,连FD BDF BDC (SAS)故/ DFB= / DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DFB= / DAF故有/ BAD+Z BCD= 1805、如图在 ABC中，AB AC, / 1 = / 2,P为AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PCBCBC解：(补短法)延长 AC至F,使AF= AB,连PD ABP AFP (SAS)故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF- PC CF = AF- AC= AB- AC应用:分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质

15、通 过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接AC,过E作EF BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE EF , AEF AFE 60CFE 120又 ADBC, B 60BAD 120又 DEC 60 AED FEC在ADE与 FCE中EAD CFE , AE EF , AED FEC ADE FCE AD FC BC AD AE点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60 , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD DC+AE

16、=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)/ B=60度, 贝叱 BAC+ / BCA=120 度;AD,CE均为角平分线，WJ / OAC+/ OCA=60 s = Z AOE= ZCOD;/AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF.则，OAE0 AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60 度.则 / COF= / AOC-/AOF=60 度=/COD;又 CO=CO; /OCD= /OCF.故，OCD0 AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，

17、ABC中，AD平分/ BAC, DGL BC且平分 BC, DE! AB于 E, DF, AC于 F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果 AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端 ）连接BD, DCDG垂直平分 BC,故BD= DC由于 AD平分/ BAC DELAB于E, DFAC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC （HL）故有BE= CFoAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2应用:1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以 考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：OP所在直线为对称轴的全

18、等三角形。请你参（1）如图，在 ABC中，/ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点Fo请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解：（1）FE与FD之间的数量关系为 FE FD（第23题图）（2）如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论12 , AF为公共边,AEF AGF AFE AFG , FE FG B 60 , AD、CE分别是 BAC、BCA的平分线23 60 AFE CFD AFG 60 CFG 60- 34及FC为公

19、共边CFG CFDFG FDFE FD证法二：如图2,过点F分别作FG AB于点G, FH B 60 , AD、CE分别是 BAC、BCA的平分线可得 23 60 , F是ABC的内心 GEF 601, FH FG又 HDF B 1 GEF HDF.,可证 EGF DHF FE FD图1BC于点H图2五、旋转例1正方形 ABC叶，E为BC上的一点，F为CD上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形WJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / B

20、AE+ / GAB= / BAE+ / DAF又 / EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交（1）当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DFABG若AB=2,求四边形DECF的面积解：（计算数值法）（1）连接DGD为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CDL AB, CD= DACD平分/BCA = 90 , / ECD=/DCA = 45由于 DML DN,有/ EDN= 90由于 CDLAB,有/ CD= 90从而/ CDE= / FDA = 故有 CD昭A ADF (ASA 故有DE=DF$

21、abC=2, S 四 DEC= S ACE=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 120 ,以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN则 AMN的周长为；解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点 F,在线段CF上取点E,使CE=BM .ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30 =90 ,Z DCE=180 -Z ACD=180 -Z ABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD ,. CDEA BDM

22、,/ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=120 -60 =60 ,.在 DMN 和 DEN 中， DM=DE/ MDN= / EDN=60 DN=DN. DMN DEN , MN=NE在 DMA 和 DEF 中， DM=DE/ MDA=60 - / MDB=60 - / CDEW EDF (/ CDE= / BDM)/ DAM= / DFE=30 . DMN DEN (AAS),MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB

23、AD,BC CD , AB BC , / ABC 120, /MBN 60o,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC (或它们的延长线)于 E, F .当/MBN绕B点旋转到AE CF时(如图1),易证 AE CF EF .当/ MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，线段AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.ABECBF (SAS);ABEBE BFABCMBN 60ABECBF30BEF为等边三角形 BEEFCF1AE - BE2 AECFBEEF(2)图2成立，图3不成立。证明图2

24、,延长DC至点K,使CK AE,连接BK2、BAE BCKBE BK , ABE KBCFBEFBCFBCKBFKBFKFEFKCAECFCF3不成立,ABEKBCFBEEBFEFEFABC 120606060AE、CF、EF的关系是 AE(西城 09年一模)已知：PA=近,PB=4,CF EF以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.分析：(1)作辅助线，过点 A作AE PB于点E,在Rt PAE中，已知 APE , AP的值，根据三角函

25、数可将AE, PE的值求出，由 PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 PAB,可得 PAD PAB,求PD 长即为求PB的长，在Rt APP中，可将PP的值求出，在 Rt PPB中，根据勾股定理可将 PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于 F,交PB于G,在Rt AEG中，可求出AG, EG的长,进而可知PG的值，在 Rt PFG中，可求出 PF,(2)将PAD绕点A顺时针旋转90在Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出；P AB, PD的最大值即为 PB的最大

26、值，故当 P、P、B三点共线时, 解：(PB取得最大值，根据PB1)如图，作 AE PB于点PPPB可求PB的最大值，此时 APB 180APP 135 .RtPAE 中， APB 45 , PAAEPE PB BEPBPE 3在 Rt ABE 中， AEB 90AB . AE2 BE2.10解法一：如图,因为四边形ABCD为正方形，可将将PAB,得 PAD PAB,PD PBPA P APAP 9045 , P PB90PP 2,PA .2PD P B.PP 2 PB2.2242解法二：如图,过点P作AB的平行线,DA的延长线交于PAD绕点A顺时针旋转90得到F,在RtAEG 中,可得AGA

27、Ecos EAGAE10cos ABEEGPG PE在RtPFG 中,可得PFPG cos FPG PG cosABE105FG在RtPDF 中,可得(2)如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90 ,得到PAB, PD的最大值，,1015ED IAB的最为值PPB 中,PBPP PB , PP 72PA 2 ,PB4且P、D两点落在堂绯 AB的两侧B当 P、P、3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点B三点共线时，P B取得最大值(如图)P B的最大值N, D为VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM

28、、NC、MN TOC o 1-5 h z 之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系. 图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是;此时Q.L(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明；(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= X ,则Q= (用X、L表示).分析：(1)如果DM DN , DMN DNM ,因为BD DC ,那么 DBC DCB 30 ,也就 有 MBD NCD 60 30 90 ,直角三角形 MBD、N

29、CD中，因为BD DC , DM DN ,根据HL 定理，两三角形全等。那么BM NC , BMD DNC 60，三角形NCD中， NDC 30 , DN 2NC ,在三角形DNM中，DM DN ,MDN 60 ,因此三角形 DMN是个等边三角形，因此MN DN 2NC NC BM ,三角形 AMN 的周长 Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2AB ,三角形 ABC 的周长 L 3AB,因此 Q :L 2:3 .(2)如果DM DN ,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E,使CE BM ,连接DE.(1)中我们已经得出,MBD NCD 90 ,那么三角形 MBD和ECD中，有了一组直角， MB CE ,BD DC ,因此两三角形全等，那么DM DE , BDM CDE , EDN BDC MDN