线性代数各章课件第二章2

1、第二章 线性方程组 n维向量2.1 消元法解线性方程组2.2 n维向量2.3 向量组的秩2.4 矩阵的秩2.5 线性方程组解的一般理论线性表示，相关、无关概念极大无关组讨论向量组的工具【回顾】1线性方程组的向量表示2 线性表示的核心定理有解.线性方程组 可以由 线性表示3 等价的两向量组 . 秩相等【回顾】消元法解线性方程组(其中（2） ，有解有唯一解 有无穷多解， 恰有 个自由未知量. （1） ， 无解r 增广矩阵中元素不全为0的行数即r =增广矩阵中元素不全为0的行数即定理1有解线性方程组 推论1线性方程组(I)无解推论3线性方程组(I)有无穷多解齐次线性方程组()有非零解特别地, 齐次线

2、性方程组 () 一定有解.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩推论2线性方程组(I)有唯一解齐次线性方程组()仅有零解【注】则 线性无关表示法唯一.可以由线性表示一、线性方程组有解的判定定理与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较 解的状况 一定有解 解的判断定理1 如果方程个数m 小于未知量个数n，一定有非零解.【说明】当mn时,一定有 ,则齐次线性方程组一定有非零解.定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式 D0.【说明】 D0,一定有 ,则齐次线性方程组一定仅有零解.1. 齐次线性方程组解的性质解向量记作或性质1 是()的解也是()的解.性质2 是()的解也

3、是()的解.(c为任意常数)二、齐次线性方程组解的结构重要推论 是()的解也是()的解.定义 齐次线性方程组解向量组的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系. 2. 齐次线性方程组解的结构【注1】齐次线性方程组的基础解系不唯一.【注2】齐次线性方程组的基础解系 满足:是方程组的解;线性无关;解向量组的任一向量都可由 线性表示.【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.该方程组有基础解系，且任一基础解系中解向量的个数为 . 齐次线性方程组()系数矩阵的秩定理2【证明思路】对增广矩阵施以初等行变换(必要时可重新排列未知量的顺序)对应的齐次线性方程组与原方程组同解, 其中 为自由未知量.现对 取

4、下列 组数, 并代入(*)：依次得从而求得原方程组的 个解：下面证明 是齐次线性方程组的一个基础解系.由于 个 维向量线性无关, 所以 个 维向量 亦线性无关.“无关增维仍无关”代入与原方程组同解的方程组(*):即【注】基础解系的向量个数=自由未知量的个数.若()有基础解系,则一定有非零解, 故有令 ,则由必要性知, A经过初等行变换化成阶梯形矩阵,阶梯个数=r1, 则自由未知量的个数为n- r1, 又由【注】得基础解系的向量个数为n- r1, 则n- r1= n- r, 因此r1= r. 若 是齐次线性方程组的基础解 系，则其全部解(或一般解)可表示为 其中 为任意常数. 证明的过程给出了求

5、齐次线性方程组的一个基础解系的方法;【说明】 基础解系不唯一, 如果 ，则任意n-r个线性无关的解向量都是一组基础解系; 该方程组有基础解系，且任一基础解系中解向量的个数为 . 齐次线性方程组()系数矩阵的秩定理2例1 求齐次线性方程组的一个基础解系与一般解. 令得到基础解系一般解解(c1, c2, c3为任意常数.)解例2求齐次线性方程组的一般解令自由未知量，方程组的一般解为（为任意常数）所对应的方程组为基础解系为1. 非齐次线性方程组解的性质术语 非齐次线性方程组()的常数项全部换为0，得到齐次线性方程组()，称()为()的导出组. 性质(2) 如果 是(I)的解，则 是()的解.三、非齐

6、次线性方程组解的结构2. 非齐次线性方程组解的结构定理3 如果 是非齐次线性方程组(I)的一个解， 是(I)的导出组()的一个基础解系, 则方程组(I)的一般解为： ( 为任意常数.)方程组(I)的一个特解【注】当非齐次线性方程组(I)有解时(前提条件)非齐次线性方程组(I)有唯一解其导出组仅有零解.非齐次线性方程组(I)有无穷多解其导出组有非零解(即有无穷多解).导出组有解 (I)有解.【说明】例3 求非齐次线性方程组的一般解解已得到导出组的基础解系令自由未知量得到方程组特解方程组一般解为为任意常数求解非齐次线性方程组(I)的基本步骤 利用初等行变换将(I)的增广矩阵化阶梯形,通过 与 的大

7、小关系判定解的状况; , 无解. 唯一解.无穷多解.选定自由未知量, 回代非自由未知量, 写出(I)的同解方程组,求出特解 ;写出(I)导出组的同解方程组, 求出导出组的基础解系写出(I)的全部解:( 为任意常数)【注】有关自由未知量的 选取: 见教材P82 例3 例4 设线性方程组问取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解?当有无穷多解时,求出全部解.【法一】基本方法:对增广矩阵化阶梯形,讨论解的状况.【法二】利用cramer法则:系数行列式不为零 有唯一解.先求出取何值时有唯一解.然后再讨论无解和无穷多解的情况.(该方法只适用于方程个数=未知量个数的线性方程组)答案: 有唯一解;

8、无解;无穷多解(c为任意常数)例5 有方程组 问为何值时，方程组无解? 有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求出全部解 讨论当解方程组有唯一解；方程组无解； 即，方程组有无穷多解令得导出组的基础解系 令得方程组特解（为任意常数）方程组一般解为【注】由于本题方程组方程个数=未知量个数,故讨论解的情况也可采用例4的方法二.【总结】线性方程组的解法比较(1) 应用cramer法则(2) 利用初等变换特点：只适用方程个数等于未知量个数的方程组且系数行列式不等于零的情形. 如例4,例5可先利用cramer法则讨论解的情况. 但具体用其求解时, 当阶数较高时, 计算量大，容易出错. cramer法则有重要

9、的理论价值，可用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法作业: P88 28(3), 29(3), 30 36 基本概念：基础解系、导出组基本定理：线性方程组解的判定定理及推论齐次线性方程组解的性质与结构定理非齐次线性方程组解的性质与结构定理基本方法：解线性方程组，求一般解讨论带参数线性方程组解的状况.【小结】注意 35题打印错误; 36题是新版教材补充题目,旧版没有,请同学们注意!思考题【注】本题中矩阵A指非齐次线性方程组的系数矩阵.则一般解为第二章习题 P85 9, 18, 19, 2

10、0, 21, 22, 23(其中19,21,22题结论可作为常识直接应用)第二章 知识点回顾基本概念：系数矩阵、增广矩阵、矩阵初等变换自由未知量、非自由未知量基本定理：解的状况 如果方程个数m小于未知量个数n，齐次线性方程组 一定有非零解. n个未知量，n个方程的齐次线性方程组 系数行列式 仅有零解 2.1 消元法解线性方程组基本方法：消元法解线性方程组 增广矩阵化阶梯形 判断解的情况 回代求解2.2 n维向量一、n维向量及其线性运算二、向量间的线性关系 基本概念： 线性表示(或线性组合), 线性相关与线性无关基本定理： 可以由 线性表示有解.线性方程组定理1 不能由 线性表示无解.线性方程组

11、推论1推论2表示法唯一方程组有唯一解.推论3表示法不唯一 方程组有无穷多解.将 写成列向量形式构成矩阵A（相当于对应线性方程组的增广矩阵);对矩阵A施以初等行变换化为阶梯形矩阵; 判断解的情况 有解无解可由线性表示, 且表示法唯一.不可由线性表示.【总结】判断向量 能否由向量组 线性表示 基本步骤 r=s (阶梯个数=向量个数)rs可由线性表示, 且表示不唯一.定理2向量组 线性相关齐次线性方程组有非零解.仅有零解.推论1向量组 线性无关齐次线性方程组推论2 n个n维向量 线性相关 线性无关将 写成列向量形式构成矩阵A（相当于对应齐次线性方程组的系数矩阵);对矩阵A施以初等行变换化为阶梯形矩阵

12、; 判断解的情况 【总结】判断向量组是否线性相关(无关)的基本步骤有非零解（阶梯个数向量个数）线性相关线性无关仅有零解（阶梯个数=向量个数）推论3 有m个n维向量 , 线性相关.推论4 无关增维仍无关, 相关减维仍相关.推论5 部分相关, 则整体相关; 整体无关, 则部分无关.定理3 向量组 线性相关 中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 向量组中每个向量都不能由其余向量线性表示.推论向量组 线性无关 可以由线性表示,且表达式唯一.且 线性无关表示法唯一.可以由线性表示定理4另述定理4线性无关,线性相关基本方法：讨论是否相关(无关); 是否可线性表示; 表示法是否唯一.2.3 向量组的秩基本

13、概念: 向量组的极大无关组; 向量组等价; 向量组的秩基本定理：定理 设 可以由 线性表示，若 线性相关. 推论2 两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同.推论3 向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同. 线性无关，并可由推论1线性表示 线性无关等价向量组的秩相等. 线性相关【重要结论】 设向量组 的秩为r, 则中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.行秩与列秩相等，等价标准形，矩阵经初等变换(行, 列)可化为等价标准形.基本概念：矩阵的秩 (行秩、列秩)2.4 矩阵的秩基本定理： 初等变换不改变矩阵的秩 初等行变换，列向量间的线性关系不变【结论】行满秩 矩阵的行向量组线性无关.

14、列满秩 矩阵的列向量组线性无关.矩阵的秩行向量个数矩阵的秩列向量个数矩阵的行向量组线性相关.矩阵的列向量组线性相关.行列向量组都线性无关行列向量组都线性相关 矩阵秩的判定定理定理 矩阵A存在r阶子式不为零,而所有高于r阶的子式均为零.基本方法：求矩阵的秩借助矩阵研究向量组： 求向量组的秩和一个极大无关组， 将其余向量用极大无关组线性表示.将向量写作矩阵的列向量，作初等行变换，化阶梯形，得到极大无关组；继续作初等行变换，将极大无关组对应的列向量化为基本单位向量，以得到其余向量用极大无关组的线性表示.基本步骤2.5 线性方程组解的一般理论基本概念：基础解系、导出组.基本定理：线性方程组有解的判定定

15、理定理1有解线性方程组 推论1线性方程组(I)无解推论3线性方程组(I)有无穷多解齐次线性方程组（）有非零解特别地, 齐次线性方程组()一定有解(即恒有 ).推论2线性方程组(I)有唯一解齐次线性方程组（）仅有零解齐次线性方程组解的性质与结构定理该方程组有基础解系，且任一基础解系中解向量的个数为 . 齐次线性方程组()系数矩阵的秩定理2【注】基础解系的解向量个数=自由未知量的个数. 若 是齐次线性方程组的基础解 系，则其全部解(或一般解)可表示为 其中 为任意常数. 非齐次线性方程组解的性质与结构定理定理3 如果 是非齐次线性方程组(I)的一个解， 是(I)的导出组()的一个基础解系, 则方程

16、组(I)的一般解为： ( 为任意常数.)【注】当非齐次线性方程组(I)有解时(前提条件)非齐次线性方程组(I)有唯一解其导出组仅有零解.非齐次线性方程组(I)有无穷多解其导出组有非零解(即有无穷多解).基本方法：求解线性方程组，求一般解.求解非齐次线性方程组(I)的基本步骤 利用初等行变换将(I)的增广矩阵化阶梯形,通过 与 的大小关系判定解的状况; , 无解. 唯一解.无穷多解.选定自由未知量, 回代非自由未知量, 写出(I)的同解方程组,求出特解 ;写出(I)导出组的同解方程组, 求出导出组的基础解系写出(I)的全部解:( 为任意常数)讨论带参数线性方程组解的各种状况.【法一】基本方法:对

17、增广矩阵化阶梯形,讨论解的状况.【法二】利用cramer法则:系数行列式不为零 有唯一解.先求出取何值时有唯一解.然后再讨论无解和无穷多解的情况.(该方法只适用于方程个数=未知量个数的线性方程组)线性方程组的表示系数矩阵解向量常数项（2）若向量组，线性无关； ，线性相关，则（ ） （A）必可由，线性表示； （B）必不可由，线性表示； （C）必可由，线性表示； （D）必不可由，线性表示.补充题 一、选择题 （A）（B）反例（4）设A为mn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是 ( )(A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向

18、量线性相关.AD(6) 设A是mn矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 ( )（A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解；（B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解；（C）若AX=B有无穷多个解，则AX=0仅有零解；（D）若AX=B有无穷多个解，则AX=0有非零解.（7）非齐次线性方程组AX=B中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ） (A) r=m时，方程组AX=B有解； (B) r=n时，方程组AX=B有唯一解； (C) m=n时，方程组AX=B有唯一解； (D) rn时，方程组AX=B有无穷多解。A（9）设1，2，S均为n维向量，下列结论不正确的是：（ ）（A）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,kS,都有k11+k22+kSS0，则1,2，,S线性无关；（B）1，2，S线性相关，则对于任