六年级奥数三角形等高模型与鸟头模型（一）教师版

1、 PAGE 页码 24 / NUMPAGES 总页数 244-3-1.六年级奥数三角形等高模型与鸟头模型（一）教师版例题精讲六年级奥数三角形等高模型与鸟头模型一教师版我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变,高越大小,三角形面积也就越大小；如果三角形的高不变,底越大小,三角形面积也就越大小；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍,底变为原来的,则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与

2、否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图；反之,如果,则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比你有多少种方法将任意一个三角

3、形分成： 3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 如下图,D、E是BC的三等分点,F、G分别是对应线段的中点,答案不唯一： 如下图,答案不唯一,以下仅供参考：如下图,答案不唯一,以下仅供参考：【答案】答案不唯一： 答案不唯一：答案不唯一：如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为

4、底时,它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的高相等于是：三角形ABD的面积高高三角形ABC的面积高高三角形ADC的面积高高所以,三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍【答案】、3如右图,和都是矩形,的长是厘米,的长是厘米,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半,即平方厘米【答案】6【巩固】2009年四中小升初入学测试题如图所示,平行四边形的面积是50平方厘米,则阴影部分的面积是 平方厘米【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答根据

5、面积比例模型,可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半,所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半,为平方厘米【答案】25【巩固】如下图,长方形和长方形拼成了长方形,长方形的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半,为【答案】120如图,长方形的面积是平方厘米,点、分别是长方形边上的中点,为边上的任意一点,求阴影部分的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接、,同理,平方厘米【答案】28【巩固】图中的、分别是正方形三

6、条边的三等分点,如果正方形的边长是,那么阴影部分的面积是 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答把另外三个三等分点标出之后,正方形的个边就都被分成了相等的三段把和这些分点以及正方形的顶点相连,把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形这个三角形的底边分别是在正方形的个边上,它们的长度都是正方形边长的三分之一阴影部分被分割成了个三角形,右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一,因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一正方形的面积是,阴影部分的面积就是【答案】48长方

7、形的面积为36,、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积是多少？ 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答法1特殊点法由于为边上任意一点,找的特殊点,把点与点重合如左上图,那么阴影部分的面积就是与的面积之和,而这两个三角形的面积分别为长方形面积的和,所以阴影部分面积为长方形面积的,为法2寻找可利用的条件,连接、,如右上图可得：、,而,即；而,所以阴影部分的面积是：【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与点连接,求阴影部分面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答法1特殊点法由于是正方形内部任意一

8、点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和,所以阴影部分的面积为平方厘米法2连接、由于与的面积之和等于正方形面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,所以阴影部分的面积为平方厘米【答案】15如右图,E在AD上,AD垂直BC,厘米,厘米求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时,AD是三角形ABC的高,ED是三角形EBC的高,于是：三

9、角形ABC的面积三角形EBC的面积所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍【答案】4如图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答AEC、AFC、ABF【答案】AEC、AFC、ABF【巩固】如图,在ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答3个,AEC、BED、DEC【答案】3个,AEC、BED、DEC【巩固】如图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等

10、的三角形共有哪几对？【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答ABD与ACD,ABC与DBC,ABO与DCO【答案】ABD与ACD,ABC与DBC,ABO与DCO如图,三角形的面积为1,其中,三角形 的面积是多少？【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】迎春杯连接,又,【答案】4如右图,已知阴影部分面积为5平方厘米,的面积是 平方厘米 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2008年,四中考题连接根据题意可知,的面积为面积的,的面积为面积的,所以的面积为面积的而的面积为5平方厘米,所以的面积为平方厘米【答案】30【巩固】图中三角形的面积是

11、180平方厘米,是的中点,的长是长的3倍,的长是 长的3倍那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答,等高,所以面积的比为底的比,有,所以=平方厘米同理有平方厘米, 平方厘米即三角形的面积是22.5平方厘米【答案】22.5【巩固】如图,在长方形中,是的中点,是的中点,如果厘米,厘米,求三角形的面积【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答是的中点,是的中点,又是长方形, 平方厘米【答案】24【巩固】如图,三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点求三角形DEF的面积【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答三

12、角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半,所以三角形FED的面积【答案】3【巩固】如图,在三角形ABC中,厘米,高是6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答是的中点同理平方厘米【答案】6如图所示,、都是正方形边的中点,比大平方厘米。的面积为 平方厘米。【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,5年级,决赛,第8题,10分,所以,。【答案】7.5如图ABCD是一个长方形,点E、F和G分别是它们所在边的

13、中点如果长方形的面积是36个平方单位,求三角形EFG的面积是多少个平方单位 【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答如右图分割后可得,平方单位【答案】9【巩固】如图,长方形的面积是,是边的中点,在边上,且.那么,阴影部分的面积是多少？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯,决赛连接,因为是中点所以的面积为又因为,所以的面积为,又因为面积为,所以阴影部分的面积为：.【答案】如图,大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答如图,将大长方形

14、的长的长度设为1,则,所以,阴影部分面积为【答案】5图中ABCD是个直角梯形DAB=ABC=90,以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P,再连接PC。则图中阴影部分的面积是平方厘米。A6.36B3.18 C2.12D1.59【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第5题如图,连接AE,BD。因为ADBC,则：,又ABED,则：,所以,平方厘米说明：答案和直角梯形形状无关,可以让BC边趋近AD边,直到和AD边重合,此时,P与A重合,PE是ADEF的对角线,所以,阴影部分的面积是ADEF面积的一半,等于3.18平方厘米。【

15、答案】如图,是半径为的圆上的弦,且的长度与圆的半径相等,是圆外的一点,的长度为,且与平行,那么图中阴影部分的面积是 。【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】学而思杯,6年级,第11题由于与平行,如果连接、,的面积是等于的面积,于是把求阴影部分的面积转化为扇形的面积。如图,连接、。由于与平行,根据面积比例模型,是等边三角形,那么为,扇形的面积为。【答案】18.84【巩固】在下图中,A为半径为3的0外一点。弦BCA0且BC=3。连结AC。阴影面积等于 .=3.14【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,6年级,决赛,第3题,10分D为OA与圆0

16、的交点,连接OC,OB,BD见下图. CBOD,CB=OD=3, 四边形CBDO是平行四边形,COB是等边三角形. =阴影面积等于扇形COB的面积,=r2=323.14=4.71.【答案】4.71如图,三角形中,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形的面积是多少？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答,；又,平方厘米【答案】120如图,在三角形中,已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89,28,26那么三角形的面积是 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】希望杯,复赛,六年级根据题意可知,所以,那么,故【答案】如图,梯形ABCD被它的一条对角线BD分成

17、了两部分三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,它们的差是5分米求梯形ABCD的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小数报如右图,作AB的平行线DE三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等,三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差10平方分米从而,可求出梯形高三角形DEC的高是：分米,梯形面积是：平方分米【答案】30图中AOB的面积为,线段OB的长度为OD的3倍,求梯形ABCD的面积【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答在中,因为,且,所以有因为和等底等高,所以有从而,在中,所

18、以梯形面积：【答案】80如图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法,如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处,ABD与 面积相等,从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点具体做法： 连接BD； 过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A 连接AD,则ACD与四边形ABCD等积【答案】具体做法： 连接B

19、D； 过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A 连接AD,则ACD与四边形ABCD等积一个长方形分成4个不同的三角形,绿色三角形面积占长方形面积的,黄色三角形面积是问：长方形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长,高相加为长方形的宽,所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的,而绿色三角形面积占长方形面积的,所以黄色三角形面积占长方形面积的已知黄色三角形面积是,所以长方形面积等于【答案】60是长方形内一点,已知的面积是,的面积是,求的面积是多少？【考点】三角形的等高模型 【难度】3星

20、【题型】解答由于是长方形,所以,而,所以,则,所以【答案】3如右图,过平行四边形内的一点作边的平行线、,若的面积为8平方分米,求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答根据差不变原理,要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差,相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差如右上图,连接、由于,所以而,所以平方分米【答案】16如右图,正方形的面积是,正三角形的面积是,求阴影的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答连接交于点,并连接如下图所示, 可得,所以与面积相等同底等高,所以有：, 因为,所以【答案】10【巩固】

21、如右图,正方形的面积是,正三角形的面积是,求阴影的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答连接交于点,并连接如右上图所示, 可得,所以与面积相等同底等高,所以有:, 因为,所以【答案】2在长方形内部有一点,形成等腰的面积为16,等腰的面积占长方形面积的,那么阴影的面积是多少？【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答先算出长方形面积,再用其一半减去的面积长方形面积的,再减去的面积,即可求出的面积根据模型可知,所以,又与的面积相等,它们的面积和等于长方形面积的一半,所以的面积等于长方形面积的,所以【答案】3.5如右图所示,在梯形中,、分别是其两腰、的中点,是上的任意一

22、点,已知 的面积为,而的面积恰好是梯形面积的,则梯形的面积是 【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答【关键词】陈省身杯,六年级如果可以求出与的面积之和与梯形面积的比,那么就可以知道的面积占梯形面积的多少,从而可以求出梯形的面积如图,连接、则,于是要求与梯形的面积之比,可以把梯形绕点旋转,变成一个平行四边形如下图所示：从中容易看出的面积为梯形的面积的一半也可以根据,得来那么,根据题意可知的面积占梯形面积的,所以梯形的面积是小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形,其面积等于梯形面积的一半,这是一个很有用的结论本题中,如果知道这一结论,直接采用特殊点法,假设与重合,

23、则的面积占梯形面积的一半,那么与合起来占一半【答案】100如图所示,四边形与都是平行四边形,请你证明它们的面积相等 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起在平行四边形中,边上的高,同理,平行四边形与面积相等【答案】证明：连接我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起在平行四边形中,边上的高,同理,平行四边形与面积相等【巩固】如图所示,正方形的边长为厘米,长方形的长为厘米,那么长方形的宽为几厘米？ 【考点】三角形的

24、等高模型 【难度】3星 【题型】解答本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起在正方形中,边上的高,三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半同理,正方形与长方形面积相等 长方形的宽厘米【答案】6.4如图,正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2长方形EFGH的面积为 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,5年级,决赛,第8题,10分,6年级,决赛,第9题,10分连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角

25、形DEF面积的二倍。三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积：66-61.5+4.54+262=16.5,所以长方形的面积为33。【答案】33如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答连结AF、CE；又AC与EF平行, 平方厘米【答案】4【巩固】如右图,在平行四边形中,直线交于,交延长线于,若,求 的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等或夹在一组平行线之间的三角形面积相等和等量代换的思想连接,同理,又, ,

26、即【答案】1梯形ABCD中,AE与DC平行, .【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,初赛,六年级,第4题连结DE,因为AE与DC平行,根据蝴蝶定理易知,同样可知,所以 ,那么。【答案】15图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【答案】8如图,有三个正方形的顶点、恰好在同一条直线上,其中正方形的边长为10厘米,求阴影部分的面积【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答对于这种几个正方形并排放在一起的图形,一般可以连接正方形同方向的对角线,连得的这些对角线互相

27、都是平行的,从而可以利用面积比例模型进行面积的转化如右图所示,连接、,则,根据几何五大模型中的面积比例模型,可得,所以阴影部分的面积就等于正方形的面积,即为平方厘米【答案】100【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是厘米,求三角形的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接见右上图,可以看出,三角形与三角形的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等因为三角形是三角形与三角形的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形与三角形面积仍然

28、相等根据等量代换,求三角形的面积等于求三角形的面积,等于【答案】8【巩固】如图,与均为正方形,三角形的面积为6平方厘米,图中阴影部分的面积为 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】西城实验如图,连接,比较与,由于,即与的底与高分别相等,所以与的面积相等,那么阴影部分面积与的面积相等,为6平方厘米【答案】6【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米？ 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答方法一：三角形BEF的面积,梯形EFDC的面积三角形BEF的面积,而四边形CEFH是它们的公共部分,所以,三角形DHF的面积三角形BCH的面积,进而可得,阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积平方厘米方法二：连接CF,那么CF平行BD ,所以,阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积平方厘米【答案】50【巩固】已知正方形边长为10,正方形边长为6,求阴影部分的面积 【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】人大附中考题如果注意到为一个正方形的对角线或者说一个等腰直角三角形的斜边,那么容易想到与是平行的所以可以连接、,如上图由于与平行