大数定律与中心极限定理教案

1、 第五章大数定律与中心极限定理一教学目标及基本要求了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。二教学内容大数定律中心极限定理三本章教学内容的重点和难点大数定律和中心极限定理的含义；四本章教学内容的深化和拓宽中心极限定理的条件拓宽。五教学过程中应注意的问题1)大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式；2)注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题5.1大数定律大数定律是描述大量观测结果平均水平稳定性的一系列定理的总称。如当一种随机现象在相同的条件下大量重复出现时，或大量随机现象的共同作用时，所产生的平均结果实际上是稳定的、几乎非随机的，呈现出明显的规律性。定义5.1

2、设X,X，,X，是一个随机变量序列，X是一个随机变量或常数，若12n对于任意正数0，有limP勺X-X|e=1nnT8记为则称序列X,X，X，依概率收敛于X,TOC o 1-5 h z12nPlimX=XnnsXbx或n定理5.1(切比雪夫(Chebyshev)大数定律)设X，X，,X，是相互独立的随机12n变量序列，各有数学期望E(X)，E(X)，,及方差D(X)，D(X)，并且对于所有1212k=l,2,，都有D(X)0，有klimPng1Zx-1zE(X)1=1nknk=1k=15.1)证因X1，乂相互独立，所以f1ZxInk=1k丿=工D(X)0，有-Xx-工nknk=1k=1但又任何

3、事件的概率都不超过1，即1-丄Pn2因此limPngn*2fl1Zx-1Ze(x)1,Inkn，k=1k=1-Zx-1工E(X)|0，有nlimP牛-5.2)证引入随机变量limP0，由切比雪夫不等式可nnn得JnA-81-p(1-p)n82上式中令nx,并注意0p1,即得厂n.limP-A一p=1.nthn/n贝努利大数定律告诉我们，事件A发生的频率-A依概率收敛于事件A发生的概率p，nn因此，本定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件A发生的频率具有稳定性，正n因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义。贝努利大数定律还提供了通过试验来确定事件n的概率的方法，既然频率与概率p有较大偏差的可能

4、性很小，于是我们就可以通过试验n确定某事件发生的频率，并把它作为相应概率的估计。定理5.1中要求随机变量X(k=1,2,n)的方差存在。但在随机变量服从同一分布的k场合，并不需要这一要求，我们有以下定理。定理5.3(辛钦(Khinchin)大数定律)设随机变量X,X，,X，相互独立，服TOC o 1-5 h z12n从同一分布，且具有数学期望E(X)=卩(k=1,2,)，则对于任意80，有k HYPERLINK l bookmark70 o Current Document limP1EX-J=1.(5.3) HYPERLINK l bookmark72 o Current Document

5、ntJnk=1kJ证明略。显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况，辛钦大数定律在实际应用中很广泛。辛钦大数定律表明，对于独立同分布的随机变量序列，只要其数学期望存在，则对于充分大的n，随机变量X,X，,X的算术平均值1工X近似等于其数学期望卩，这为估12nnkk=1计数学期望提供了一条切实可行的途径。在同分布的条件下，辛钦大数定律与切比雪夫大数定律两者的结论相同，不过前者只要求数学期望存在，而后者要求方差也存在。在许多统计推断问题中，辛钦大数定律用起来更为方便。5.2中心极限定理大数定律描述了大量独立随机变量算术平均的稳定性，它满足TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

6、okmark76 o Current Document PJ1工X-1Inkk=1丿至于给定n和E的情况下，PJn工Xp-yvi究竟有多大，大数定律并不能解答。1k=1丿解答该问题需要知道独立随机变量和工X的分布，这个分布在n较小时可利用卷积公式kk=1求得，n较大时就很难求出，因此有必要讨论该分布的极限形式(渐近分布)。在客观实际中有许多随机变量X，它们是由大量相互独立的随机因素X的综合影响所k形成的，而每一个因素X在总的影响中所起的作用是很小的，如一门炮射击一指定目标，k弹着点与目标的偏差X是一随机变量，产生这种偏差的原因有很多，如瞄准的误差、炮身的震动、风力和风向的大小、温度和湿度的大小

7、、炮弹间的差异等，所有这些不同的随机因素所引起的局部误差可以看成是相互独立的，所观察到的总的偏差X是这些随机因素所引起的误差的总和，而它们当中每一个因素X在总的影响中是很小的。那么X的分布如何？k这种随机变量X往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。概率论中有关论证独立随机变量之和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理(CentralLimitTheorem)，现介绍几个常用的中心极限定理。独立同分布场合的中心极限定理定理5.5（林德伯格一莱维中心极限定理）设X,X，,X，是相互独立，服从同一12n分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望和方差E(X)=卩,D(X

8、)=q2丰0(k=1,2,)kk则随机变量艺X-EkY二an严(S)耳k=1艺X-npkkS的分布函数F（x）对于任意x满足nlimF(x)=limPnngnsEx-npk=亠e-fdt.g2n5.4)证明略。从定理5.5的结论可知，当n充分大时，近似地有EX-npN(0,1),kY=-k=i=nno或者说，当n充分大时，近似地有no2).(5.5)k=1如果用X,X，,X表示相互独立的各随机因素。假定它们服从相同的分布（不论服12n从什么分布），且有有限的期望与方差（每个因素影响有一定限度）。则（5.5）式说明，在实际中，当n很大时，大量随机变量的和EX近似地服从正态分布。kk=1在许多实际

9、问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布。这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因。面介绍另一个中心极限定理。二、二项分布的极限是正态分布定理5.6(棣莫佛-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)中心极限定理)设X,X，,X，是独12n立同分布的随机变量列，且X(k=1,2,)服从参数为p(OVpVl)的两点分布。则对于任意的x，k5.6)证明略。这个定理表明，当n充分大时，二项分布可用正态分布来近似。令X=EX，一般地，如果XB(n,p)，贝ykk=1Px=k=Ckpk(1-p)n一k.kn所以PaXb=工Ck

10、pk(1-p)nk.nakb当n充分大时，二项分布的计算是非常困难的。由于二项分布的极限分布是正态分布。于是可以近似的选用正态分布计算。即：PaX、Jnp(1-p)yjnp(1-p)np(1-p)b-npa-np7()(.)np(1-p)np(1-p)下面举例说明中心极限定理的应用。例5-1一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm,均方差是0.05mm,规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解设部件的总长度为X,每部分的长度为 i X,X，,X，则E(X)=2,a2(X)=D(X)=0.05,X=昱X1210iiiii=1

11、由定理5.5可知：X近似地服从正态分布N(10 x2,10 x0.052)，即N(20,0.025)则产品合格的概率为P勺X-20|0.1=P19.9X20.1胡3L70.025丿-of1G/0.025丿=2oU0.Q25丿-1沁0.4714.例5-2对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量其期望值是2，方差是1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。解令第i次轰炸命中目标的炸弹数为X,100次轰炸中命中目标炸弹数X=畀X，iii=1应用定理5.1，X渐近服从正态分布E(X)=n-E(X)=200,D(X)=n-D(X)=169.ii所

12、以P180X220=PX-20020TOC o 1-5 h z和X-20020、=P1313q2(1.54)=0.87644.例5-3设某妇产医院出生男孩的概率为0.515，求在10000个新生儿中，出生的女孩不少于男孩的概率。解设X为10000个新生儿中男孩个数，1，第i个是男孩X=i0,第i个是女孩则X=込X，且X,X，X独立同分布。i1210000i=1卩=E(X)=1x0.515+0 x(1-0.515)=0.515b2=D(X)=E(X2)-(E(X)=12X0.515-0.5152二0.249775iii而EX二n-E(X)二10000 x0.515,DX二n-D(X)二10000

13、 x0.249775ii则女孩不少于男孩的概率为P(X5000)PX-10000X0.5155000-10000 x0.515)L.;，10000X0.249775-J10000 x0.249775丿(5000-10000 x0.515J10000X0.249775丿u(-3)二0.00135.例5-4根据抽样调查，得到大学生月生活费平均消费情况，其中80%的学生月消费在1500元以上，现从上海财经大学浙江学院任取100名学生，试求其中至少有30名学生月生活费低于1500元的的概率。解设100名学生中月生活费不低于1500元的为X,则XB(100,0.8)所求概率为px70=PX-100 x0

14、.870-100 x0.885=1-PX0.8n)=0.95，求满足条件的n，其中XB(n,0.9),E(X)=0.9n,D(X)=0.09n，同(1)解法,Px0.8n=1-Px0.8n0.09n0.09n=0.95查正态分布表可得：-3-=1.65,nn=24.5，取n=25即可.例5-6某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。1)写出X的概率分布；2)根据棣莫弗-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值.解(1)X服从二项分布，参数：n二100,p二0.2，即XB(100,0.2)

15、，其概率分布为P(X=k)=Ck0.2k0.8100-k,k=0,1,，100100E(X)=np=20,D(X)=np(1p)=16，根据德莫弗-拉普拉斯定理P14X30=P14-20X-2030-20、4一4一4一=P卜1.50.997,或Px+X+X2200n0.003,12n由林德贝格列维中心极限定理知，2200n-2250n.250丽丿0.003，冲5x2.75=13.75nn189,即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时。习题五(A)设在每次实验中事件A以概率0.5发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内？将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X，估计概率P10X3。i=1已知随机变量X的数学期望为E(X)二卩，方差D(X)=c2,当=2Q和=3Q时，试用切比雪夫不等式求概率P(|X-8)的近似值.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少