(全国通用)2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教师

1、第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理abcC2R.(R为ABC外内容sinAsinBsin接圆半径)(1)a2sin，2sin，2sin；RAbRBcRC变形(2)abcsinAsinBsinC；形式abc(3)sinA2R，sinB2R，sinC2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_CcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ca；a2b2c2cosC2ab已知两角和任一边，求另一角和其他两(1)已知三边求各角；解决条边；(2)已知两边和它们

2、的夹问题(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边角，求第三边和其他两个角和其他两角三角形常用面积公式1Saha(ha表示边a上的高)；2111S2absinC2acsinB2bcsinA.S1r(abc)(r为内切圆半径)21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a43，b42，则B45或135.()asinabc(4)在ABC中，sinsinsin.()AABC解析(1)正确AB?ab?sinAsinB.b2c2a2(2)错误由cos

3、A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形2bc(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定C由正弦定理，得asin，bsin，csin，代入获得222，由余弦2RA2RB2RCabca2b2c2定理得cosC2ab0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a5，c2，2cosA3，则b()A.2B.3C2D322D

4、由余弦定理得5b42b23，1解得b3或b3(舍去)，应选D.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A6，a1，b3，则B_.2ab323或3由正弦定理sinAsinB，代入可求得sinB2，故B3或B3.5在ABC中，A60，AC4，BC23，则ABC的面积等于_23由题意及余弦定理得cosAb2c22216121ac24c，解得c2，所以S2bc21sin142sin6023.2bcA2利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，BAC4，AB6，AC32，点D在BC边上，ADBD，求AD的长【导学号：31222129】解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，

5、由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(32)2622326cos341836(36)90，所以a310.6分又由正弦定理得sinbsinBAC310，Ba31010由题设知0B4，所以cos1sin211310.9分BB1010在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得ABsinB6sinB310.12分AD2B2sinBcosBcosB规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只需知道其比值或等量关系就能够运用正弦定理经过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其余边角的问题时，首先必须判

6、断是否有解，如果有解，是一解仍是两解，注意“大边对大角”在判断中的应用变式训练1(1)(2017郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sinA30C60BsinC)(a3c)sinA，则角B45D120B的大小为()4(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA5，cos5C13，a1，则b_.21abc(1)A(2)13(1)由正弦定理sinAsinBsinC及(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA得(bc)(bc)(a3c)a，即b2c2a23ac，a2c2b23ac.又a2c2b23cosB2ac，cosB2

7、，B30.45在ABC中，cosA5，cosC13，31235412sinA5，sinC13，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5135136365.63abasinB16521又sinAsinB，bsinA313.5判断三角形的形状(1)(2017东北三省四市二联)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，知足acosAbcosB，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2016安徽安庆二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不

8、充分也不必要条件(1)D(2)A(1)因为acosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三2角形或直角三角形，应选D.由ABC，ABC，可得C2，故三角形ABC为钝角三角形，反之不建立故选A.规律方法1.判断三角形形状的途径：(1)化边为角，经过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，经过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转变的桥梁2不论使用哪一种方法，都不要任意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有遗漏一种形状的可能变式训练2设的内角，所对的边分别为，若2sincossinABCABC

9、abcABC，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aa2c2b222ab.2acc?ab?与三角形面积相关的问题(2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinAsinC.若ab，求cosB；(2)设90，且a2，求的面积BABC解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.2分又ab，可得b2c，a2c.Ba2c2b21由余弦定理可得cos2ac4.

10、5分(2)由(1)知b22ac.7分因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca2.9分1所以ABC的面积为2221.12分规律方法三角形面积公式的应用方法：111关于面积公式S2absinC2acsinB2bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式与面积相关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转变变式训练3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.求C；3若c7，ABC的面积为2，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosC

11、sin(AB)sinC，3分故2sinCcosCsinC.1可得cosC2，所以C3.5分(2)由已知得1sin33.2abC2又C3，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，进而(ab)225.所以ABC的周长为57.12分思想与方法ABC中互补和互余1在解三角形时，应娴熟运用内角和定理：ABC，2222的情况，联合诱导公式能够减少角的种数2判断三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角变换3在ABC中，AB?ab?sinAsinB.易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其余边或角可能有一解、两

12、解、无解在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinbsinAaababAb解的个数一解两解一解一解在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，免得漏解课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()【导学号：31222130】A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定B由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)

13、，sinA0，sinA1，即A2.2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()【导学号：31222131】A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定bcC，C由正弦定理得sinBsin403bsin2C31.sinBc20角B不存在，即知足条件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC中，若AB13，BC3，C120，则AC()A1B2C3D4A2222由余弦定理得ABACBC2ACBCcosC，即13AC92AC3cos2120，化简得AC3AC40，解得AC1或AC4(舍去)应选A.4(2017重庆二次适应性测试)在中，内角，的对边分别为，且ABCABCabca

14、2b2c2ab3，则ABC的面积为()33A.4B.433C.2D.2a2b2c2111B依题意得cosC2ab2，C60，因此ABC的面积等于2absinC233324，应选B.15(2016全国卷)在ABC中，B4，BC边上的高等于3BC，则sinA()310A.10B.10C.53105D.10a过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD3.B4，ADBD，BDAD5a，DC2a，ACa25a，在ABC中，由正弦定理得aa2a23，33333sinBACsin4510sinBAC10，应选D.二、填空题6(2017郴州模拟)在中，a15，10，60，则cos_.ABCbAB6由正弦定理可

15、得1510，所以sinB33，再由ba，可得B为锐角，3sinB32所以cos1sin26.BB37(2016青岛模拟)如图3-6-1所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sin222，3，则的长为_，3BACABADBD3图3-6-1223sinBACsin(90BAD)cosBAD3，22BAD，在ABD中，有BDABAD2ABADcos222BD189232333，BD3.8已知ABC中，AB3，BC1，sinC3cosC，则ABC的面积为_.【导学号：31222132】3C3cosC得tanC30，所以C2由sin3.根据正弦定理可得BCAB13，即sin2，sinAsinC

16、A321所以sinA2.因为ABBC，所以AC，所以A6，所以B2，即三角形为直角三角形，13.ABC故S2312三、解答题39在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c5，cosB5.【导学号：31222133】(1)求b的值；求sinC的值解(1)因为b2a2c22accosB425225317，所以b17.5分5(2)因为cos3，所以sin4，7分B5B5bc175由正弦定理，得4，sinBsinCsinC5417所以sinC17.12分10(2017云南二次统一检测)的内角，的对边分别为，(sinABCABCabcmB,5sinA5sinC)与n(5sinB6si

17、nC，sinCsinA)垂直求sinA的值；(2)若a22，求ABC的面积S的最大值解(1)m(sinB,5sinA5sinC)与n(5sinB6sinC，sinCsinA)垂直，5sin26sinsin5sin25sin20，mnBBCCA2226sinBsinC分即sinBsinCsinA5.32226bc根据正弦定理得bca，222bca3A是ABC的内角，sinA41cos2A5.6分由(1)知b2c2a26bc，562222bc5bca2bca.8分又a22，bc10.12bcABC的面积S2bcsinA54，ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2

18、016山东高考)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知bc，a22b2(1sin)，则()AA3A.4B.3C.4D.6bc，BC.A又由ABC得B22.由正弦定理及222(1sin)得abAsin2A2sin2B(1sinA)，22A即sinA2sin22(1sinA)，22A即sinA2cos2(1sinA)，2A2A2AA)，即4sin2cos22cos2(1sin整理得cos2A1sinA2sin2A0，222AAsinA)0.即cos2(cosAA0A，022，cos20，cosAsinA又0A，A4.2如图3-6-2，在中，45，D是BC边上的点，5，7，3，ABCBADACDC则AB的长为_图3-6-256在ADC中，AD5，AC7，DC3，22221cosADCADDCA