数字信号第二章第2章1ok

1、第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 2.1引言 信号和系统的分析方法： 时域分析方法 频域分析方法 连续时间信号与系统 信号用时间 t的函数表示 系统用微分方程描述 频域用傅里叶变换或拉普拉斯变换表示 离散时间信号与系统 信号用序列表示 系统用差分方程描述 频域用傅里叶变换或Z变换表示2.2时域离散信号傅里叶变换的定义及性质 Discrete Time Fourier

2、Transform, DTFT DTFT（2.2.1） 序列x(n)的傅里叶变换定义为:X(ej)的傅里叶反变换为:IDFT（2.2.3） 2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义(2.2.3)(2.2.4) 式中 因此 证明:FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2） 说明：有些函数（如周期序列）不满足（2.2.2）式，说明它的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来。【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解：图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 2.2.2时域离散信号傅里叶变换

3、的性质1 FT的周期性说明：(1）时域离散信号傅里叶变换（DTFT）是频率的周期函数，周期是2。（2）由于周期是2，一般只分析之间或02范围的FT。(2.2.5) 为整数频域周期连续时域离散非周期特别注意：时域离散信号的频谱低频、高频区域的划分1、在=0和=2M附近的频谱分布相同（M取整数），=2M，M=0，1, 2, 点上表示序列的直流分量；2、 =（2M+1），M=0，1, 2, ,附近区域为高频分量。最高频率为=。3、时域直流信号：不随n变化的分量 最高频率信号：变化最快的正弦信号例如，x(n)=cosn，当=2M, M取整数时，代表一个直流信号；当=(2M+1)时，x(n)波形如图2.

4、2.2（b）所示，代表最高频率信号。图2.2.2cosn 的波形 时域直流信号 最高频率信号2 线性设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么 a，b为常数。 (2.2.6) 3时移与频移设X(ej)=FTx(n), 则(2.2.7) (2.2.8) 时域的移位导致频域的相移时域的调制对应频域的位移4 时域卷积定理设（2.2.31）则证明：令k=nm，则求系统的输出信号时，可在时域用卷积公式计算，也可以先在频域按照（2.2.31）式，求出输出的FT，再作逆FT，求出输出信号y(n)。时域相乘，频域卷积 证明： (2.2.33) 5 频域卷积定理设(2.2.32) 则

5、交换积分与求和的次序，得到：时域相乘（加窗），频域卷积。 (2.2.34) 6 帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35） 证明： 信号的能量谱结论：信号时域的能量与频域的能量关系： 1、信号在时域的总能量等于其在频域的总能量； 2、频域的总能量等于能量谱在一个周期内的积分再乘以1/2 。7 序列的反转证明： 令 时域反转对应频域反转8 序列的共轭证明： 时域取共轭对应频域的共轭且反转9 FT的对称性(一)序列的共轭对称性质（1）共轭对称序列的性质：实部是偶函数，虚部是奇函数（2.2.9） 共轭对称序列：共轭反对称序列：（2.2.12） 将xe(n)用实部与虚部表示：将上式两边n用n代替

6、，并取共轭，得：（2.2.10） （2.2.11） 对比上面两公式，因左边相等，得：共轭对称序列：实部是偶函数，虚部是奇函数将xo(n)表示成实部与虚部：（2）共轭反对称序列的性质：实部是奇函数，虚部是偶函数可得：（2.2.13） （2.2.14） 上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。【例2.2.2】试分析 的对称性。解：因为所以x(n)是共轭对称序列。将其展成实部与虚部，得到：（3）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示：将上式中的n用n代替，再取共轭, 得到：（2.2.15） （2.2.16） 式中，xe(n)和xo(n)可分别用原序列x(n)求出。利用（2.2.

7、15）和（2.2.16）式，得到：利用上面两式，可以用x(n)分别求出xe(n)和xo(n)。 （2.2.17） （2.2.18） 式中，Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，满足：（2.2.20）（2.2.21）（4）频域函数X(ej)：其概念和结论与上面类似（2.2.19）（2.2.22）（2.2.23）同样有下面公式成立：性质：序列的DTFT的共轭对称部分，其实部是偶函数，虚部是奇函数。序列的DTFT的共轭反对称部分，其实部是奇函数，虚部是偶函数。证明：将上式中的 用 代替，再取共轭, 得到：对比上面两公式，因左边相等，得：偶函数奇函数同理可得共轭反对称部分的性

8、质。(1) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即(二)序列傅里叶变换（DTFT）的共轭对称性 (2.2.24)上式两边进行傅里叶变换，并将其分成实部与虚部，得：由于：得：序列x(n)共轭对称部分的傅里叶变换对应着X(ej)的实部。实部共轭对称部分共轭反对称部分的傅里叶变换对应着X(ej)的虚部(包括j)。虚部（含j）共轭反对称部分 (2) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即将上式进行傅里叶变换，并将其分为共轭对称部分和共轭反对称部分，得到:则：所以：序列实部的傅里叶变换具有共轭对称性。实部共轭对称部分序列虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。同理可证明： 虚部和j