对雨中人跑步淋雨量问题的探讨

1、 3.模型的分析与求解 对雨中人跑步淋雨量问题的探讨摘要：当人在雨中跑步，要使得在一定的距离内跑步的淋雨量最小，速度 需要取到一定的合适值。该模型属于优化模型。针对问题1,直接给出了人的跑步速度以及雨的速度和方向，故直接使用公式 Q st计算即可。针对问题2, 雨从迎面吹来，与人成一定的角度，我们将雨的速度分解为水平方向和垂直的 方向，那么人的淋雨面只有顶部和迎面的那个面，这样，我们分别计算两个面 的淋雨量，再利用数学对淋雨量 Q关于v进行求导，可以得出Q随着v的增大而减小，于是当v Vm 5m/s时，Q取到最小值，再代入当0时，可得到Q 1.15L;当 30时，可得Q 1.55L。针对问题3

2、,雨从背面吹来，与问题2类似，不同的只是雨从背面吹来，采取同样的方法，将雨的速度分解，而此时 人的淋雨面只有顶部和背面的淋雨面，但不同的是需要考虑雨速的水平速度 usin与人的跑步速度v的大小关系，我们可以分别得到当 usin v和usin v时的Q与v的关系（见（3.3-6）,再考虑雨线方向对Q的影响，利用数学对淋雨量Q关于v进行求导可以得出当tan - , v usin时，总淋雨 a量Q最小；当v vm 5m/s,总淋雨量Q最小。针对问题4,使用MATLAI图工具对式（3.3-6 ）画图即可。针对问题 5,与问题2和3的本质一样，只是需要对雨速v分解成3个方向的量，淋雨面积也多求一个面即可

3、。最后，对模型的建立客观的分析了优点和缺点。关键词：淋雨量优化模型速度分解数学求导与画图1.问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立 数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 a 1.5m ,宽b 1.5m ,厚c=0.2m。设跑步距离d =1000m ,跑步最大速度vm 5m/s，降雨量 =2cm/h ,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论.不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步。估计跑完全程的总 淋雨量.雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数，a b, c, d , u,之

4、间的关系，问速度v多大， 总淋雨量最少.计算30时的总淋雨量.雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a b, c, d , u ,之间的关系，问速度v多 大，总淋雨量最少.计算 30时的总淋雨量.以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑 的影响）,并解释 结果的实际意义.若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？2.问题假设和符号说明模型假设：.雨速为常数且方向不变.人的全身淋雨量均匀且单位面积内淋雨量相同.人的跑步速度保持不变.符号说明：a:人体简化成长方形后的高.b:人体简化成长方形后的宽.c:人体简化成长方

5、形后的厚.d:跑步的距离.v :跑步的速度.Vm：人跑步的最大速度.U ：雨速：降雨量：雨从迎面吹来时与人体的夹角.：雨从背面吹来时与人体的夹角.S:人的全身面积.Q :总淋雨量.Qi:顶部淋雨量.Q2 ：迎面淋雨量.t：淋雨时间.对问题1的分析与求解由于问题中假设了降雨淋遍全身，则人的全身面积为S 2ac 2ab bc(3.1-1 )人在雨中的淋雨时间为t (3.1-2 )vm则人的淋雨量为Q st(3.1-3 )联立(3.1-1 ) - (3.1-3 )并代入 a 1.5m, b 1.5m, c= 0.2m , d =1000m ,vm 5m/s, =2cm/h 得Q 2.44L .对问题

6、2的分析与求解由于雨是从迎面吹来的，故只有迎面和顶部会淋到雨，将雨速分解为水平分 量和竖直分量，同样的，将淋雨量分成顶部淋雨量和迎面淋雨量。于是顶部的 淋雨量为(3.2-1 )(3.2-2 )(3.2-3)5m/s时，Q取到最小值。_ bcd cos Q1v迎面的淋雨量为abd (u sin v) Q2uv于是总淋雨量为Q Qi Q2经计算，并求Q关于v的导数，可以得出当v vm当 0 时，代入 a 1.5m , b 1.5m, c= 0.2m , d = 1000m, v vm 5m/s,=2cm/h ,可得 Q 1.15L。当 30 时，代入 a 1.5m , b 1.5m, c = 0.

7、2m , d = 1000m, v vm 5m/s,=2cm/h ,可得 Q 1.55L。对问题3的分析与求解止匕问与问题2类似，所不同的只是雨的方向变成了从背面吹来 故人顶部的淋雨量为bcd cosQ (3.3-1)v此时在水平方向上的合速度为v水平 |usin v|(3.3-2 ) abd (usin -v)(3.3-3)于是，当usinv时，有uv当usin u sin uvbd u(ccos asin ) av,v usin uv(3.3-6 )对于式（3.3-6 ）,讨论当ccos asin 0时，即tan c ,对Q关于v进行求 a导可以得出Q随着v的增大而先减小后增大，临界点为

8、v usin ,故当 v usin 时，总淋雨量Q最小。c而当ccos asin 0,即tan ,对Q关于v进行求导可以得出Q随着v的 a增大而减小，于是，当v vm 5m/s,总淋雨量Q最小。当 30时，此时属于第一种情况，tan -,故当v usin 2m/s时，有最 a小淋雨量Q 0.24L。对问题4的分析与求解当ccos asin 0时，即tan -,使用MATLABB图工具可以得到图像为a图 3.4-1是人体的背面不被淋雨，只有顶部淋雨，此时当当ccos a sin 0,即tan ,使用MATLABB图工具可以得到图像为 a,几乎可以认为av usin 时，总淋雨量Q最小。而当carctan- 7.6时，在条件允许的情况下, a人的速度v越大，即跑得越快,Q越小。对问题5的分析与求解当雨线的方向和跑步方向不在同一个平面时，建立一个三维的坐标系，将雨 的速度分解成三个互相垂直的方向的速度，另取一个角度来表示侧面分解速度 的方向，然后再运用上述方法来进行求解即可，只是在原先的基础上多求了一 个侧面淋雨的情况，由于问题中没有要求求出具体数值，故此处不作求解。4.模型评价优点：该模型的优点在于：将人