年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试 (四十)

1、PAGE 第PAGE 页码12页/总NUMPAGES 总页数12页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题55 立体几何 空间几何体的表面积和体积 【考点讲解】具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.二、知识概述：1.体积公式： 柱体：，圆柱体：。 斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）； 锥体：， 圆锥体：, 台体： 圆台体： , 球体：。正方体的体积 ；正方体的体积 .2.侧面积：直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：；圆柱

2、侧面积：，圆锥侧面积：，圆台侧面积：，球的表面积：。 3.几个基本公式：弧长公式：（是圆心角的弧度数，0）；扇形面积公式：； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；球面上两点间的距离公式：。4.几何体的表面积：圆柱的表面积 ；圆锥的表面积 ；圆台的表面积 球体的表面积 .柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合

3、体的表面积应注意重合部分的处理2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解4.求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图

4、形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系【真题分析】1.【2015高考课标2】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=900,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O

5、的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C【答案】C2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【答案】C3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. B. C.90 D.81【解析】由三视图该几何体是以侧视图为

6、底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B【答案】B4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）AB C D【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.【答案】A5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱

7、一半的体积为：.几体的体积为：【答案】6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高.观察图形可得底面四边形是边长为的正方形，面积为.顶点到底面四边形的距离为，所以四棱锥的体积为.【答案】7【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形

8、的边长等于，所以该多面体的体积为.【答案】8【2018年全国卷II】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线所成角的余弦值为，可求得母线所成角的正弦值，由的面积为，设母线的长为，可知，由三角形的面积公式可得，所以可得，又因为与圆锥底面所成角为45，底面半径为，圆锥的侧面积为.【答案】【模拟考场】1. 【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

9、)A B C D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D【答案】D2.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D【解析】因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.【答案】B3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）A.1 B.2 C.4 D.8【解析】由正视

10、图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是，圆柱的高为2，表面积为.可得.【答案】B4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题） 如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。【解析】由题可设长方体的长、宽、高分别为；a, b, c.则，而长方体体积为；剩下几何体体积为；，则；【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。5. 【原题】（必修2第37复习参考题B组2）一个长

11、、宽、高分别是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000.线放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？【解析】水槽的容积V=806055=264000(cm3)，木球的体积，水不会从水槽中流出【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体水中部分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。同时可延伸拓展为球体与多面体内接域外切问题.6.一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这容器内注入水并且放入一个半径为的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将圆锥

12、内的铁球取出后,圆锥内水面的高是多少?分析:欲求取出后圆锥内水面的高度为,先求出因为【解析】设球未取出高PC=h,球取出后水面高PH=x 球取出后水面下降到EF,水的体积为而即 所以球取出后水面的高为.7. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的

13、高为, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为 .因此.8.【原题】（必修2第29习题1.3 B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果分别精确到1cm，1cm，可用计算器）。【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，可知球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4 =422=16（），V球=43R3=4323=323（）而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：S四棱柱=（84+420+820）2=2722=544

14、，V四棱柱=8420=640。该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AECD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=412+20225+1212+2020=（1285+544），V四棱台=131212+1212+2020+20202=23544+434表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积应将相加起来的和减去四棱柱的两个