21-22版 全称量词与存在量词

1、1.5.1全称量词与存在量词第一章1.5全称量词与存在量词1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断 它们的真假.学习目标同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，”也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业，”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论.导语随堂演练课时对点练一、全称量词与全

2、称量词命题二、存在量词与存在量词命题三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围内容索引一、全称量词与全称量词命题问题1下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ,2x1是整数.提示语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.知识梳理全称量词与全

3、称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示_全称量词命题含有的命题形式“对M中一个x，p(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”全称量词任意注意点：(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定；(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”；(3)要判定全称量词命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；(4)要判定全称量词命题“xM，p(

4、x)”是假命题，只需举出一个反例即可.例1判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假.(1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin Acos B；解含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.真命题；(2)自然数的平方大于或等于零；解全称量词命题.表示为nN，n20.真命题；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解全称量词命题.对于任意二次函数，它的图象的开口都向上.假命题.反思感悟(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别.(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每

5、一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可.跟踪训练1判断下列全称量词命题的真假.(1)每个四边形的内角和都是360；解真命题；(2)任何实数都有算术平方根；解负数没有算术平方根，假命题；(3)xy|y是无理数，x2是无理数.解x 是无理数，但x22是有理数，假命题.二、存在量词与存在量词命题问题2下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个xR，使2x13；(4)至少有一个xZ，x能被2和3整除.提示容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取

6、值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.知识梳理存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的符号表示_存在量词命题含有的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“”存在量词xM，p(x)注意点：(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题；(3)要判断存在量词命题“xM，p(x)”是真命题，只需要在集合

7、M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立.例2判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假.(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；解存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除.真命题.(2)某个四边形不是平行四边形；解存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形.真命题.(3)方程3x2y10有整数解；解可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立.故为存在量词命题.真命题.(4)有一个实数x，使x22x40.解存在量词命题，由于2244120，因此方程无实根.假命题.反思感悟(1

8、)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别.(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立.跟踪训练2判断下列存在量词命题的真假.(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；解菱形的对角线互相垂直，真命题；(2)至少有一个整数n，使得n2n为奇数；解n2nn(n1)，故n和n1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题；(3)xy|y是无理数，x2是无理数.解当x时，x2仍是无理数，真命题.三、依据含量词命

9、题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围.解由于命题p：“xB，xA”是真命题，解得2m3.即m的取值范围为m|2m3.延伸探究1.把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围.解p为真，则AB，因为B，所以m2.解得2m4.2.把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.解由于命题p：“xA，xB”是真命题，所以不存在实数m，使命题p是真命题.反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词

10、的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围.解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则(4)24a0，解得a4.即实数a的取值范围为a|a4.1.知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念.(2)含量词的命题的真假判断.(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围.2.方法归纳：定义法、转化法.3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”

11、.课堂小结随堂演练1.(多选)下列命题是全称量词命题的是A.任意一个自然数都是正整数B.有的菱形是正方形C.梯形有两边平行D.xR，x2101234解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.12342.下列命题中是存在量词命题的是A.任何一个实数乘以0都等于0B.任意一个负数都比零小C.每一个正方形都是矩形D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是存在量词命题.12343.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数a，b，若ab0，则abD.存在一个实数x，使

12、等式x22x10成立解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxc(a0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.12344.命题p：xR，x22x50是_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是_命题(填“真”或“假”).解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22453”的另一种表述方式的是A.有一个xR，使得x23B.对有些xR，使得x23C.任选一个xR，使得x23D.至少有一个xR，使得x23解析“”表示“任意的”.162.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是A.xR,2x10 B.若2x为偶数，则xNC.菱形的四条边都相等 D.是无理数123

13、45678910111213141516解析对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.123456789101112131415163.下列命题中的假命题是A.xR，|x|0 B.xR,2x101C.xR，x30 D.xR，x210解析当x0时，x30，故选项C为假命题.123456789101112131415164.下列存在量词命题是假命题的是A.存在xQ，使4x20B.存在xR，使x2x10C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数1234567

14、891011121314155.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x20C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使 216123456789101112131415解析A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x0时，x20，所以B既是存在量词命题又是真命题；16123456789101112131415166.(多选)下列命题中是存在量词命题的是A.有些自然数是偶数B.正方形是菱形C.能被6整除的数也能被3整除D.存在xR，使得|x|012345678910111213141516解析选项A是存在量词命题；选项

15、B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而选项D是存在量词命题.123456789101112131415167.命题“有些负数满足不等式(1x)(19x)20”用“”写成存在量词命题为_.x0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”.123456789101112131415168.给出下列命题(1)xR，x20；(2)xR，x10；(3)aRQ，bRQ，使得abQ.其中真命题的个数为_.2解析(1)当x0时，x20，是假命题；(2)存在x2，使得x10，真命题；1

16、23456789101112131415169.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.解为全称量词命题，且为假命题，如取t1，(2)存在实数x，使得x23x40；解为存在量词命题，且为真命题，因为判别式b24ac250，所以存在实数x，使得x23x40.12345678910111213141516(3)存在实数对(x，y)，使得3x4y50；解为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x4y50成立.(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.解为全称量词命题，且为真命题.1234567891011121314151610.已知命题“3x2,3ax

17、20”为真命题，求实数a的取值范围.解由3ax20，得3a2x，3x2，2x3，123456789101112131415综合运用1611.下列命题中形式不同于其他三个的是A.xZ，x29x2B.xR，x22x10C.每一个正数的倒数都大于0D.x2，x31 B.a1C.a1 D.a112345678910111213141516解析依题意方程x22xa0无实根，所以必有44a0，解得a3，xa恒成立，则a的取值范围是_.a3解析对于任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a3.拓广探究1234567891011121314151615.已知Ax|1x2，命题“xA，x2a0”是真命题的一个充分不必要条件是A.a4 B.a4 C.a5 D.a512345678910111213141516解析当该命题是真命题时，只需