信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场

1、信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场Sinc 函数标准型：xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0 x0特点: 最大值 sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x曲线下面积 S=1；0点位置 x=n (n=1, 2, 3)等间隔；偶函数Sinc 函数数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射把戏是sinc函数Sinc函数的重要性:二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)三角形函数底宽: 2最大值：tri(0)=1曲线下面积: S=1底宽:2|a|, 面积: S= |a|又写成：

2、L(x)南京邮电大学 光电工程学院 赵新彦符号函数 Signum x01Sgn(x)-1用途：代表“ ”相移器、反相器阶跃函数 Step Function x01Step(x)用途：开关；无穷大半平面屏与符号函数关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1圆柱域函数 Circular Function 特点：circ函数是不可别离变量的二元函数用途：描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率 函数 函数-性质 筛选性质 函数是偶函数 比例变换性质 梳状函数Comb Function傅里叶1768-1830 9岁父母双亡， 被教堂收养。12岁由主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学。26岁

3、到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。30岁随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，33岁回国后任伊泽尔省地方长官。51岁中选为科学院院士，54岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 1822年?热的分析理论?中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题 1807年?热的传播?推导出热传导方程 ，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 法国数学家、物理学家在你的理解中，一段音乐是什么呢？频域时域：频域：你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶级数傅里叶级数周期为 的函数 可以展开为三角级数

4、由正弦和余弦函数线性组合成的无穷级数理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。指数傅里叶级数1.傅里叶变换正变换逆变换傅里叶变换把非周期函数分解为复指数函数在整个连续频率区间上的积分和极坐标下的傅里叶变换 正变换 逆变换傅里叶-贝塞耳变换 傅里叶变换广义傅里叶变换周期函数：1. 只有有限个极值点和连续点， 2. 绝对可积非周期函数：延拓为周期函数，光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函数等，不能满足以上条件，因此必须把以上傅里叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式 函数 不存在狭义傅里叶变换，但有：广义傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换和函数的傅里

5、叶变换1极限意义下的傅里叶变换且：那么：2 函数的傅里叶变换广义傅里叶变换根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换广义傅里叶变换2 广义傅里叶变换举例阶跃函数：广义傅里叶变换2 广义傅里叶变换举例梳状函数：特例：原函数频谱函数缝函数 二维矩形函数 高斯函数 函数 (x) 1常数 1圆函数 傅里叶变换对傅里叶变换的意义数学意义:从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。应用意义:把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义：把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色

6、电磁波(光)的叠加。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种对待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。傅里叶变换的意义时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。 傅里叶变换的意义 傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波或者余弦波信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何所需要的信号。 傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的根本正弦余弦信号组合而成。傅里叶变换的目的就是找出这些根本正弦余弦信号中振幅较大能量较高信号对应的频率，

7、从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。例如：减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的比照，可以快速判断哪级齿轮损伤。 在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是随空间变化的函数。一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种分布的特征可用空间频率说明。把图像看作是由各种方向、各种间距的线条组成。傅里叶变换与光学例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开光栅常数：透射率 ：-空间周期为d 的函数 -空间位置 x 有确定的函数关系傅里叶变换与光学0其他展开为傅里叶级数空间频率：单位长度内变化的次数。傅里叶变换与光学表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率

8、 及 许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。令以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱一样。在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点代表光栅的一个空间频率。傅里叶变换与光学卷 积rect(x)*rect(x) -1 0 1 g(x) x 11. 画出 二个 rect(t)2. 将rect(t)折叠后不变;3. 将一个rect(-t)移位至给定的x, rect-(t -x)= rect(t - x);4. 二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x).rect(t)1t -1/20 1/2rect(t)1t -1/20 1/2 x-1/2x x+

9、1/2rect(t)1t -1/20 1/2翻转、平移、相乘、积分 平滑：被积函数经过卷积运算，其微细构造在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。卷 积 效 应展宽：一般来说，卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。1.交换律2.分配律3.结合律卷 积 运算定律即任意函数与函数卷积后不变由 1. -函数是偶函数, 2. -函数的筛选性质, 有:任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的构造.包含函数的卷积-函数的移位包含函数的卷积*=ldxyt (x, y)d (x+d/2) + d (

10、x-d/2 ) =*x0dlxyy相 关 运 算correlation1. 互相关 cross correlation与卷积的关系： 1. 当且仅当 f*(-x)=f(x) ，相关才和卷积一样。 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭；运算时 f(x) 不需折叠2.互相关不满足交换律相 关 运 算correlation2. 自相关 auto-correlation互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关那么在位移到重叠时出现极大值自相关与互相关的比较互相关自相关线性系统分析线性平移不变系统Linear Shift-Invariant System输入和输出的变换关系不随空间

11、位置而变化H仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向的相对间距 和 ，与坐标本身的绝对数值无关。 8/24/2022那么此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统。时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.tt0d (t-t)t0d (t)例：时不变(一维)系统 : RC电路th(t)0th(t-t)t0实际物理系统大多可近似为平移不变系统.线性系统分析线性平移不变系统8/24/2022线性系统分析线性不变系统的传递函数通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数空域：傅里叶变换求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，再对该乘积取逆傅

12、里叶变换求得输出函数。频域：空域频域8/24/2022线性系统分析线性不变系统的传递函数线性平移不变系统的传递函数输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力；其模改变输入函数各种频率基元成分的模；其辐角改变基元成分的初位相；8/24/2022线性系统分析线性不变系统的本征函数对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函数与一个复常数 的乘积，此输入函数就是此系统的本征函数。例 输入函数：那么 输出函数：本征函数通过系统时不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。8/24/2022二维光场分析单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点 P 在 t 时刻的光振动：振幅初相位 时间频率Define：复振幅光强：光振动的空间分布完全由复振幅随空间位置的变化确定空间位置时间 8/24/2022二维光场分析球面波的复振幅P(x,y,z)点离开光源的距离r1处的振幅 波数8/24/2022二维光场分析球面波的复振幅当：常相位因子 二次相位因子 等相位线方程：8/24/2022二维光场分析平