中考数学专题复习圆压轴八大模型题(一)弧中点的运用

1、圆压轴题八大模型题(一)泸州市七中佳德学校易建洪往往位于许多省市中考题中的倒数第二题一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论，破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用c在OO中，点C是AD的中点，CELAB于点E.(1)在图1中，你会发现这些结论吗？AP = CP = FP;CH = AD;AC2 = AP - AD = CF CB = AE AB.h (2)在图2中，你能找出所有与 ABC相似的三角形吗？CDAB(图1)P(1)由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：/ CAD

2、 = / B = /ACE;/PCF = / PFC,所以 AP= CP=FP.由垂径定理和弧中点的性质得,dc=ac = ah,再由弧叠力口得：CH=AD,所以CH = AD.(1)由共边角相似易证： ACEcAABC, AACPAADC, AACFABCA,进而得AC2 =2AEAB;AC =APAD;AC (2)垂径定理的推论得：RtAACGRtACGF.CFCB;C0LAD,易证：RtAABCRtAACERtACBERtAACFRtABDFc此外还有Rt AAPE s RtAAOG s RtAABD RtA CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习

3、题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。(2018 湖南永州)如图，线段 AB为OO的直径，点C, E在OO上,CD1A&P CE垂足为点 D,连接BE ,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF = BF;若 cos/ABE =,在AB的延长线上取一点M,使BM = 4, OO的半径为6.求证:引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。（图 1-1）直线CM是OO的切线.【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到宸=而，再由BC=工元得到CE= 筋=前，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC，BE,再由锐角三角函数得

4、到边BH、OH的长度，由对应边成比例得 BE/CM,由/ MCO =（图4）/BHO=900证得结论。证明：（1）延长CD交OO于G,如图，. CDLAB,诧=前，BC= CE, CE= BG,./CBE=/GCB, /.CF=BF;（2）连接OC交BE于H,如图，; BC= CE, ocbe,DU| A在 RtOBH 中，cos/OBH= ,OB 5bhT=。g护樗）消18.0H_T_ 3 03_ 6 _3 865 0M 6+4 后他1=迺，而/ HOB = / COM ,OC 01 .OHBsOCM , ./ OCM =/OHB=90 ,/.OCXCM,直线 CM是。的切线.【点拔】弧中点

5、得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。 可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。E【变式运用】（2018 四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DELAB于点E即 3且DE交AC于点F, DB交AC于点G,筐彳=,图9(图 1-3)C是AD的中点，弦* CELAB于点(图 1-4)贝CG =GB (2010 泸州)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且 AE与DE分别平分/ BAD和/ADC。(1)求证：AEL

6、DE; (2)设以AD为直径的半圆交AB于F ,连接、 一.FG DF交AE于G,已知CD = 5, AE = 8,求 值AF证明：在乎BCD中，. AB/CD,，/ BAD + / ADC =180 AE 与 DE 平分/ BAD 和 / ADC，/ EAD = L BAD , / EDA = 1 N ADC , 22，/AED = 180 (/ EAD+/ EDA)= 180 - (I / BAD + 1y ADC )22= 180 -J (/BAD+/ADC) 2= 180 -90 = 90/. AE IDE(2)解：在ABCD中，: AD / BC ,. / EAD = / AEB ,

7、且/ BAE=/ DAE./ BAE =/ AEB ,，AB = BE , 同理：DC = EC =5又AB = DC,，AB = BE = DC = EC=5, ，BC=AD = 10在RtAED中，由勾股定埋口得：V -= A =DE= AD2 AE2102 82 6,/ BAE = / EAD , / AFD = / AED = 90/. AAFGA AED ,，AFAE 84FG ED 633. (2012 泸州)如图， ABC内接于O O, AB是OO的直径, H,连结AD,分别交CE、BC于点匕 Q,连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；J2-(2)若OO的半径为5, AQ=

8、，求弦CE的长。(1)证明：AB是。O的直径，弦CE1AB ,CCCCC.AC = AE.又C 是 AD 的中点，AC=CD,.AE = CD. / ACP = / CAP . .PA = PC,. AB 是直径./ ACB = 90 ./PCQ=90 -/ACP, /CQP = 90 -/CAP,. / PCQ = / CQP . /. PC = PQ. .PA = PQ,即P是AQ的中点;c c(2)解：AC = CD, ./CAQ=/ABC.又. /ACQ = /BCA, .CAQsZCBA.AC AQ 1253BC AB 104X/AB=10, /.AC = 6, BC = 8.AC?

9、BC=AB?CH, .6X8=10CH.根据直角三角形的面积公式，得：24.CH=-.又= CH=HE,548.CE = 2CH = .一54.(2014?泸州)如图，四边形 ABCD内接于。O, AB是。O的直径，AC和BD相交于点 E,且 dc2=ce?ca .(1)求证：BC=CD;(2)分别延长AB, DC交于点P,过点A作AF，CD交CD的延长线于点F,若PB = OB,CD =2闻用求DF的长.(1)证明：: dc2=ce?ca ,DC ca. =r ACDEACAD,CE DC./CDB = /DAC, 四边形ABCD 内接于OO,. BC = CD;(2)解：方法一：如图，连接

10、 OC,. BC = CD,./DAC = /CAB,又AOmCO,./CAB = /ACO,DAC =/ACO,.AD / OC,PCPOPD PAVPB = OB,CD = 2PC4 .PC = 4 2PC22又PC?PD =PB?PA=OB?3OB.OB = 4,即 AB = 2OB = 8, PA = 3OB = 12,在 RtAACB 中，Jf 厂 rAC = AB2-BC2 =48- 322)2= 214,.AB是直径,.AADB = /ACB = 90/ FDA + / BDC=90/CBA + / CAB =90/BDC = /CAB,FDA = /CBA, 又/ AFD =

11、/ACB = 90 ,.AFDs/XACBAF ACFD CB21422在 RtAAFP 中，设 FD = x,则 AF=J7x ,在 RUAPF 中有，（7x）2/（xk 002=122求得DF = 3 42方法二；连接 OC,过点O作OG垂直于CD,PC易证PCOs/XPDA,可得=PO,PD PAPG PGOsPFA,可得 _ POPF PA尸图bPC PG一可得， 二 ，由方法一中 PC = 4 J2代入PD PFPCPC 2PC22即可得出DF = 3短.5. (2015?泸州)如图， ABC 内接于OO, AB = AC, 线AE与DC的延长线交于点E, AD与BC交于点F.BD为

12、。O的弦，且AB / CD ,过点A作。O的切（图 1-6）（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若 AE = 6, CD = 5,求 OF 的长.【解答】（1）证明：.AE与。O相切于点A,./EAC = /ABC, . AB = AC./ABC = /ACB, ./EAC = /ACB,AE / BC, v AB / CD,四边形ABCE是平行四边形；(2)解：如图，连接AO,交BC于点H,双向延长OF分别交AB, CD与点N, M, . AE是。O的切线，由切割线定理得，AE2 = EC?DE ,. AE = 6, CD = 5,.62 = CE (CE + 5),解得：CE =

13、 4,(已舍去负数)，由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD = CE=4,又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分 BC, MN垂直平分 AB, DC,设 OF=x, OH=y, FH = z,. AB = 4, BC = 6, CD = 5,1，BF= _BC FH = 3 z,DF = CF =易得 OFH1BC + FH=3 + z, 72“DFMs/XBFN ,DF DMBF BMOFOHOF OH即3z图c3z2xy69+得：3z,+得：5工,2y3z 46_x解32y得z- 5y . 3x4. x2=y2+z2,x2169.47一X .-.OF47*21AB

14、= 13, AC =5.（图 1-7）216.如图，AB是OO的直径，C、P是弧AB上的两点, (1)如图，若P是弧AB的中点，求PA的长；(2)如图，若P是弧BC的中点，求PA的长.解：(1)如答图，连接PB,.AB是。O的直径且P是AB的中点，./PAB=/PBA=45 , / APB = 90 又;在等腰三角形 ABC中有AB = 13,(2)如答图，连接BC,与OP相交于M点，作PHLAB于点H,. P 点为 BC 的中点，.二 OPBC, /OMB=90又. /ACB=/OHP=90 , .ACBsoHPAB AC13二 一=一又 AB = 13,AC=5,OP =,OPOH25=1

15、3 0H二一，一5二2，解得匚OH2.AH = OA+OH =9.在 RtOPH 中，有 HpiOP1 QH = 36二在 RtZXAHP 中有 PA=ABS-HP = 781=PA7.如图， ABC内接于。O,且AB为。O的直径. 的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE (1)求证：DP /AB;e Hr图eo-36=麻=3 而./ ACB的平分线交。于点D,过点D作。O CD于点E,过点B作BFCD于点F.又.AB 为直径，./ ACB=90 . / ACB = / OMB. . .OP / AC. . CAB = / POB.(2)若AC = 6, BC=8,求线段PD的长.解：(1)证明：如图，连接OD,.AB 为OO 的直径，./ ACB=90 .一/的平分线交Oc于点 ，：/=/=45ACBODACDBCD./ DAB=/ABD =45 。.DAB为等腰直角三角形。.DO MB.PD 为OO 的切线，. ODXPD. .DP / AB.在 RtZXACB 中，皿=+牌”=|DAB为等腰直角三角形，一亦10 ， Fir .AECD,.ACE为等腰直角三角形。AE =