新教材北师大版高中数学必修一 7.2.1古典概型的概率计算公式 教学课件

1、7.2.1古典概型的概率计算公式自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习课标定位素养阐释1.通过实例理解古典概型的两个基本特征.2.掌握古典概型的概率计算公式.3.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及其发生的概率.4.体会数学中解决实际问题思想,增加数学建模的素养养成. 自主预习新知导学一、事件的概率【问题思考】1.如何描述一个随机事件发生的可能性?提示:概率.2.抛掷一枚质地均匀的硬币,“出现正面向上”的可能性是多少?3.填空:对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0P(A) 1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.4.概率如何

2、刻画随机事件?提示:概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.二、古典概型【问题思考】1.试验E1:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数,试验E2:抛掷一枚质地均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况.在试验E1,E2中,样本点有怎样的共性?提示:有限性和等可能性.2.填空:(1)古典概型定义:一般地,若试验具有如下特征:有限性:试验的样本空间的样本点总数有限,即样本空间为有限样本空间;等可能性:每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等.则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.(2)古典概型的概率公式:对古典概型来说,如果样本空间包含的样本点总数

3、为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为5.做一做:根据古典概型的定义回答下列问题.(1)袋中有大小、质地相同的7个白球、4个黑球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型?(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个样本点,是否为古典概型?(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古典概型?分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为

4、所有球大小、质地相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型.(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型.(3)由于运动员击中每一环的可能性不相等,故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型.【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本空间的样本点是“发芽”与“不发芽”.( )(2)连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,观察正面、反面出现的情况.事件“两个正面”,“一正一反”,“两个反面”的概率相

5、等.( )(3)从1,2,3,4,5中不放回地依次随机取出两个数,其和为5的概率是0.2.( )(4)抛掷一枚均匀的骰子,观察掷出的点数,掷出的点数是偶数的概率为 .( )(5)对于任意事件A,满足0P(A)1.( ) 合作探究释疑解惑探究一探究二探究三探究一 样本点个数的求法【例1】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次,观察每次掷出的点数.计算:(1)一共有多少种不同的结果;(2)其中向上的点数之和是质数的结果有多少种.分析:用列举法列出所有结果,然后按要求进行判断即可.解:(1)用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,则所有可能的结果如下:(1,1),

6、(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36种不同的结果.(2)点数之和是质数的结果有(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3), (2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3

7、),(5,2),(5,6),(6,1),(6,5),共15种.列举法是探求样本点的常用方法,列举时必须按照某一标准进行,要做到不重、不漏.【变式训练1】 求下列各试验中样本点的个数,并指出包含哪些样本点.(1)从字母a,b,c中任取两个字母;(2)从装有大小、质地完全相同,且分别标有1,2,3,4,5的5个球的袋中任意取出2个球.解:(1)从三个字母中任取两个字母有3种等可能的结果,即样本空间样本点的个数为3,分别是(a,b),(a,c),(b,c).(2)从袋中任意取出2个球的等可能结果为球1和球2,球1和球3,球1和球4,球1和球5,球2和球3,球2和球4,球2和球5,球3和球4,球3和球

8、5,球4和球5.故共包含10个样本点,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).探究二 古典概型的概念【例2】 (1)在坐标轴区间0,3上任取一点,求此点的坐标小于1的概率,问此试验的概率模型是否为古典概型?为什么?(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数,求所取两数之一是2的概率,此试验的概率模型是古典概型吗?试说明理由.解:(1)此试验的概率模型不属于古典概型.因为在坐标轴区间0,3上任取一点,此点可以在0,3上的任一位置,且在每个位置的可能性是相等的,具备等可能性.但试验结果有无限多个,不满足试验结果

9、的有限性.(2)此试验的概率模型是古典概型.因为此试验的样本点总数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每个样本点的出现是等可能的,因此属于古典概型,所取两数之一是2的概率为判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否具备古典概型的两个特征:(1)试验的样本空间的样本点总数有限,即有限性;(2)每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等,即等可能性.【变式训练2】 下列试验是古典概型的是()A.在公交车站候车不超过10 min的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球,观察颜色C.向一个圆面内随机地

10、投一个点,观察该点是否落入圆内接正方形内D.向上抛掷一枚不均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况解析:用古典概型的两个特征去判断即可.对于选项A,因为10 min是个时间段,样本点的总数有无限个,所以不是古典概型;对于选项B,因为有摸到白球、摸到黑球两种可能的结果,且摸到白球与黑球的概率都是 ,所以是古典概型;对于选项C,因为样本空间的样本点总数有无限个,所以不是古典概型;对于选项D,因为硬币质地不均匀,所以正面、反面出现的可能性不相等,所以不是古典概型.答案:B探究三 古典概型的概率计算【例3】 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每名顾客从装有四个编号为0,1,2,3,大小、质地完全相同的小球的

11、抽奖箱中,每次随机取出一个球记下编号后放回,连续取两次.若取出的两个小球的编号相加之和等于6,则中一等奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.分析:分别写出样本空间的所有样本点,利用古典概型的概率计算公式求出概率.解:从四个小球中有放回地随机取球两次,则样本空间=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共有16个样本点,且每个样本点出现的可能性相等.(2)设“中奖”为事件B.由(1)知事件

12、“中三等奖”包含7个样本点;事件“中二等奖”,即两个小球的编号相加之和等于5,包含的样本点有:(2,3),(3,2),共2个;事件“中一等奖”,即两个小球的编号相加之和等于6,包含的样本点有:(3,3),共1个.解决古典概型问题时,要注意以下几个方面:(1)明确样本点是什么;(2)试验是不是等可能性的试验;(3)样本点总数是多少;(4)事件A包含多少个样本点.【变式训练3】 某校举行运动会,高二(1)班有男乒乓球运动员4名,女乒乓球运动员3名,现要随机选一名男运动员和一名女运动员组成混合双打代表本班参赛,试列出全部可能结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,求她参赛的概率.解:由题意知男生是

13、从4人中随机选取,女生是从3人中随机选取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果.如(A,1)表示从男生中选取的是男生A,从女生中选取的是女生1,可用列举法列出样本空间的所有样本点,如下表所示.由上表可知,样本空间的样本点总数是12,且每个样本点出现的可能性相等.设“国家一级运动员参赛”为事件E.不妨令该国家一级运动员的编号为1,则事件E=(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)含有4个样本点,故她参赛的概率易 错 辨 析因找不全样本点致误【典例】 已知集合M=-2,3,N=-4,5,6,从两个集合中各取一个元

14、素作为点的坐标,试写出所有样本点.错解 样本点有(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,集合N中的元素既可以作为点的纵坐标,也可以作为点的横坐标,错解中少了以下样本点:(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).正解:样本点共有12个,它们是(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).

15、弄清题意,避免遗漏. 随 堂 练 习1.下列随机试验的数学模型属于古典概型的是()A.在一定的条件下,移植一棵吊兰,它可能成活,也可能不成活B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C.某射手射击一次,可能命中0环、1环、2环、10环D.四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会答案:D2.先在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5,将它们混合后,再任意排成一行组成一个五位数,则得到的五位数能被2或5整除的概率是()A.0.2 B.0.4 C.0.6D.0.8解析:一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由1,2,3,4,5组成的五位数中,1,2,3,4,5出现在个位是等可能的,所以个位数字对应的样本点有1,2,3,4,5,共5个,“能被2或5整除”这一事件中含有个位数字对应的样本点有2,4,5,共3个,所以所求概率为 .故选C.答案:C 3.已知在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的饮料的概率是()A.0.2B.0.02C.0.1D.0.01答案:B4.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.解析:从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法,其中可以构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5