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文档简介

1、*二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义 全微分一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微

2、由微分定义 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:定理2 (充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 例2. 计算函数的全微分. 解: 内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续思考与练习1. P130 题 1 (总习题八)函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题答案: 3. 已知在点 (0,0) 可微 .Ex:在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1)因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数所以同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续

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