2020届高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形学案

1、第2讲三角恒等变换与解三角形年份卷别卷2018卷卷考查内容及考题位置利用正、余弦定理求边或角T17利用余弦定理求边长T6三角恒等变换T15倍角公式T4三角形的面积公式T9命题分析1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2若无解答题，一般在选和的余弦公式T17公式T172017卷卷正、余弦定理、三角形的面积公式及两角择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积角形，难度一般，一般出现在第49题或第1315题卷卷余弦定理、三角形的面积公式T17正、余弦定理、两角和的正弦公式T17位置上3若以解答题命题形式出诱导公式、三角恒等变换、给值求值

2、问2016卷题T9正弦定理的应用、诱导公式T13现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置卷正、余弦定理解三角形T8上，难度中等.(3)tan().(3)tan2.三角恒等变换与求值(基础型)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.tantan1tantan二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.2tan1tan2三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1的代换，1sin2cos2tan45等(2)项的分拆与

3、角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等11已知0，2，tan2，则cos4_解析：因为0，2，tan2，所以coscoscossinsin2255310.答案：3102已知cos，cos()，且，0，2，则cos()_解析：因为0，2，所以2(0，)因为cos1，所以cos22cos217，所以sin21cos2242，又，0，422223.答案：233已知sin2，且sin()cos，则tan()_解析：因为sin，且，(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦考法全练所以sin25，cos5，5544425510101

4、1333992所以(0，)，所以sin()1cos2（）22，3所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()719393272735352243所以cos，tan.(2)若BC边上的高等于a，求cosA的值在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2RsinA，sinA，abcsinAsinBsinC等变形：bca2bccosA，cosA.22254因为sin()sincoscossincos，所以tan1，2tantan所以tan()2.1tantan答案：2正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)正弦定理及其变形abcsinAsinBsinCa2R余弦定理及其变形

5、在ABC中，a2b2c22bccosA；b2c2a22bc三角形面积公式111eqoac(,S)ABC2absinC2bcsinA2acsinB.典型例题命题角度一求解三角形中的角已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosCbsinCa.(1)求角B的大小；14【解】(1)由bcosCbsinCa，得sinBcosCsinBsinCsinA.因为ABC，所以sinBcosCsinBsinCsin(BC)，即sinBcosCsinBsinCsinBcosCcosBsinC，因为sinC0，所以sinBcosB.3因为B(0，)，所以B.(2)设BC边上的高为AD，则ADa.因

6、为B，所以BDAD1a，所以CD3a，所以ACAD2DC210a，AB2a.由余弦定理得cosA5.2ABAC1，E为AC的中点，AE，cosB，ADB.41444444AB2AC2BC25利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角(2)已知三边，直接由余弦定理求角(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况命题角度二求解三角形中的边与面积如图所示，在ABC中，点D为BC边上一点，且BD3272273(1)求AD的长；(2)求ADE的面积【解】(1)eqo

7、ac(,在)ABD中，因为cosB27，B(0，)，727221，所以sinB1cos2B177所以sinBADsin(BADB)2127321.BDsinB7由正弦定理知AD，得AD2.DC22ADDCcosADC，即94DC222DCcos，1277214211BDsinBsinBADsinBAD2114(2)由(1)知AD2，依题意得AC2AE3，在ACD中，由余弦定理得AC2AD23所以DC22DC50，解得DC16(负值舍去)，41ADDCsinADC12(16)3，所以eqoac(,S)ACD3322222.从而eqoac(,S)2ADE1eqoac(,S)ACD3324BD由题设

8、知，5，所以sinADB2.sin45sinADB利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解对点训练1(2018高考全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC22，求BC.AB解：(1)eqoac(,在)ABD中，由正弦定理得.sinAsinADB251223.5由题设知，ADB90，所以cosADB(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB2.255eqoac(,在)BCD中，由余弦定

9、理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825222525.所以BC5.2(2018山西八校第一次联考eqoac(,)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sinBsin(CA)2sin2eqoac(,A)，求ABC的面积解：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，5由余弦定理得cosBac1，因为0B0，232ab2又c23，所以a2b212ab，22即(ab)248(当且仅当ab23时等号成立)所以ab43，abc63.所以ABC周长的最大值为63.2(2018武汉调研eqoac(,)在锐角ABC

10、中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos2A66(1)求角A的值；(2)若b3且ba，求a的取值范围9解：(1)由cos2Acos2B2cos6Bcos6B0，得2sin2B2sin2A13eqoac(,，又)ABC为锐角三角形，故A24cos2B4sin2B0，化简得sinA3.(2)因为b3a，所以ca，所以C，B，所以sinB.解析：选B.易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos2x，则f(x)在eqoac(,2)ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsinBasinAasin23133263223由正弦定理ab，得a

11、3，所以a2，sinAsinB3sinBsinB2由sinB1，3得a3，3)22A组夯基保分专练一、选择题1(2018高考全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为433352222的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.12C，则sinB为()43A.C.74733B.1D.解析：选A.由bsinBasinAasinC，a2c2b2a24a22a23因为cosB，12且c2a，得b2a，2ac4a2410所

12、以sinB327.c成等比数列，且a2c2acbc，则()443(2018洛阳第一次统考eqoac(,)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，cbsinB3A.C.323323B.D.3bc1，故A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2BsinAsinC3sinC，2解析：选B.由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得cosAb2c2a22bc2bc232由正弦定理得，csinCsinC23.故选B.bsinBsin2B33sinC4(2018昆明模拟eqoac(,)在ABC中，已知AB2，AC5，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1C.3

13、B.2D2解析：选A.法一：因为tanBAC3，所以sinBAC3，cosBAC1.由余1010弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC522521109，所以BC1ABACsinBAC12533，所以BC边上的高heqoac(,S)ABC22102BC3，所以eqoac(,S)ABC223321，故选A.法二：因为tanBAC3，所以cosBAC1100，则BAC为钝角，因此BC边上的高小于2，故选A.eqoac(,5)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c2，则C()12643A.C.B.D.11所以sinAcosA0，

14、所以tanA1，因为A(0，)，所以A.解析：选B.因为sinBsinA(sinCcosC)0，所以sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，所以sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，整理得sinC(sinAcosA)0.因为sinC0，34221，csinA由正弦定理得sinCa222又0C，所以C.如图，在eqoac(,6.)ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，463DEAB，E为垂足若DE22，则cosA等于()3C.622A.4B.D.2463中，BD，422242，即42，由此解得cosAsinBDCsinCsin2AsinA6.解析

15、：选C.依题意得，BDADDE22，BDCABDA2A.eqoac(,在)BCDsinAsinABC42sinAcosA33sinA3sinA4二、填空题7若sin34，则cos2_13cos2cos22sin212147.解析：依题意得cos233312381288(2018高考全国卷改编在eqoac(,)ABC中，cos，BC1，AC5，则AB_7答案：C525解析：因为cosC2cos2C12113，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22552ACBCcosC25125132，所以AB42.4c，得4，所以c8cosA，因为16b2c22bccosA，解析：由35答案：429(2018惠

16、州第一次调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin2AsinC，则c的取值范围为_csinAsinCsinAsin2A6416b16（4b）所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A16b2（4b）（4b）4b，16所以c264cos2A64164b.因为b(4，6)，所以32c240，所以42c210.因为sinB0，所以cosC1.又C(0，)，所以C.(2)因为eqoac(,S)ABCabsinC23，4b16答案：(42，210)三、解答题10(2018沈阳教学质量监测(一eqoac(,)在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别

17、是a，b，c，且2ccosB2ab.(1)求C；(2)若abeqoac(,6)，ABC的面积为23，求c.解：(1)由正弦定理得2sinCcosB2sinAsinB，又sinAsin(BC)，所以2sinCcosB2sin(BC)sinB，所以2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB，所以2sinBcosCsinB0，2231213所以ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcosCa2abb2(ab)2ab28，所以c27.11(2018石家庄质量检测(二eqoac(,)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3cacosBtanAtanB.解：(1)在AB

18、C中，因为3ctanAtanB，所以3sinCsinAsinB，即(2)因为eqoac(,S)ABCADBCbcsinA，所以AD1bc.由余弦定理得cosA1，所以0AD3.(2)若AD是BC边上的中线，AD19，求eqoac(,)ABC的面积b2c2a21(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a3，求AD的取值范围acosBsinAcosBcosAcosB3sinCsinAcosBsinBcosA，sinAcosBcosAcosB.所以31，则tanA3，所以AsinAcosA311222b2c2a22bc322bc2bc所以0bc3(当且仅当bc时等号成立)，212(2018郑

19、州质量检测(二eqoac(,)已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sinC，c3.(1)求A；2解：(1)对于2R(sin2Bsin2A)(bc)sinC，由正弦定理得，bsinBasinAbsinCcsinC，即b2a2bcc2，所以cosA，因为0A180，所以A60.2bc2(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线eqoac(,在)ABE中，ABE120，AE2AD19，14即199AC223AC，得AC2.eqoac(,在)ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos1

20、20，121bcsinBAC33.22故eqoac(,S)ABC(1)求的值；(2)设内角A的平分线AD交于BC于D，AD，a3，求b.解：(1)由SbcsinAb2sinA，可知c2b，即2.4b23B组大题增分专练1(2018长春质量监测(二eqoac(,)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积Sb2sinA.cb2331c2b(2)由角平分线定理可知，BD23，CD3，33444b23b2334b23b2在ABC中，cosB，在ABD中，cosB，即2322b322b322b4b2322b443323，解得b1.上的高hc.(1)若ABC为锐角三角形，且cosA，求角C

21、的正弦值；a2b2c2(2)若C，M，求M的值2(2018贵阳模拟eqoac(,)已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边2335134ab解：(1)作CDAB，垂足为D，因为ABC为锐角三角形，且cosA3，5所以sinA4，tanA4，53所以ADc，BDABADc，22152c2c25c，所以BCCD2BD2326524由正弦定理得：sinACBABsinA.(2)因为eqoac(,S)ABCccabsinACBab，所以c232ab，所以a2b21c22ab4c22ab432ab22ab，a2b2c2所以M22ab22.(2)若角C为锐角，AB62，sinA10，求CD的长所以BCD的面积S1226sin456