归纳思维及其在数学中的应用

1、 归纳思维及其在数学中的应用数学归纳法的定义及类型归纳法是从特殊到一般的推理方法归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理不完全归纳法就是根据一个或几个特殊情况作出的推理由于完全归纳法是科学的，得出的结论是正确的，而由不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，所以在这里我只讨论完全归纳法中的数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的应用数学归纳法可通过“有限” 的问题来解决“无限”的问题 1 (P45-47) 数学归纳法这一方法贯穿了数学的几个知识点：

2、不等式、恒等式、数列、三角函数、计数问题、几何分类问题、一般容斥原理、离散数学、线性代数等发展现状1889 年意大利数学家皮亚杰发表算术原理新方法提自然数的公理体系时，奠定了数学归纳法逻辑基础 北京大学出版社出版张顺燕编著的 数学的思想、 方法和应用 ， 这本书给出了归纳法，不完全归纳法，数学归纳法的具体定义安徽教育出版社出版的李祥伦等编著的高中数学讲座 ，这本书介绍了数学归纳法的概念、数学归纳法证题的步骤、数学归纳法应用举例华东师范大学数学系编著的高中代数 ，这本书介绍了数学归纳法的概念、使用数学归纳法的步骤、使用数学归纳法的关键、数学归纳法的变形形式等数学归纳法证题的步骤数学归纳法是一种重

3、要的数学方法，运用数学归纳法证题的步骤是： (1) 证明当 n 取第一个值n0(n01) 时，命题成立； (2)假设 n k(k N* 且 k n0) 时命题成立，从而推出当 n k 1 时，命题也成立根据(1)、 (2)可知，对一切n N* n n0 命题成立数学归纳法的第一步是验证命题的基础，第二步是论证命题的依据，两个步骤密切相关，缺一不可需要注意的是：步骤 (1) 一般选取命题中最小的正整数n0作为起始值进行验证；步骤(2)推证当n k 1时命题成立的前题，必须是当n k 时命题成立，否则推理无效数学归纳法的变形形式验证步中的变化：起点前移，命题虽陈述为“对一切自然数n 成立” ，但命

4、题成立的范围可更宽时，可以考虑证比“ n 1 ”更方便的起点起点后移，有时为了使n k 向 n k 1 递推更方便可考虑把归纳的起点适当后移.增加起点个数，由基础时，可考虑增加起点的个数.n k”向后递推时，当需要以其它特殊情形作为假设步中的变化：以“假设 n k,n k 1, , n k i时命题成立”代替“假设 n k时命题成立，或以“假设n k时命题成立”代替“假设 n k时命题成立”递推步中的变化：增加递推跨度，递推步中一般总是假设 n k时命题成立后，推出n k 1时命题也成立，从而使问题得证. 但若这一过程有困难， 可考虑假设n k时命题成立，推出n k i时命题成立来证明命题.先

5、进后退，对于假设nk时命题成立后，递推n k 1时命题也成立有困难，还可以用如下变化：n k n k ik 1, n k 2, , n k i 1 .运用数学归纳法发现解题途径在不等式中的应用用数学归纳法证明有关不等式的命题，关键是一凑一证”，常用比较法、分析综合法、放缩法等方法完成“假设当n k时命题成立，证明当1时命题也成立”这一步.以下就此举例予以说明.j 一n 、一*例1 求证若n N ,当n 2时，有证明（比较法）(1)当n，一，1n 2时，因为-2 11 n 2 1112n 211所以原不等式成立.(2)假设当k(k2）时，原不等式成立,即有2 12k 1112k 2设 f (n)

6、12n，则f (k.11) f(k) 2n12(k 1)2(k 1)(2k 1)1,所以f(k 1) f (k)即当n k 21时，原不等式也成立.故由（1）（2）可知，当n是不小于2的任意自然数时，原不等式都成立.11例2 求证右n N ，当n 1时，有1 j= -23证明（分析综合法）（1）当n 2时因为1 1 J2.2所以2时原不等式成立.（2）假设当n k（k 2）原不等式成立，即有11k k11 11 当n k 1时，原式左边2. 3因为k 0所以vk2 kk所以tk2k一 11 k 1 所以.k k 1于是当n k1时,原不等式成立.由(1)(2)可知,对任意大于1的自然数，原不等

7、式都成立.例3求证1*N ).证明(放缩法)(1)当n 1时，不等式显然成立.(2)假设当nk(k1)原不等式成立，当1 12k2 21_2k 12kkk 1 1212k2k2n1TkH ；21k 1212k故由(1) (2)知原不等式恒成立.在恒等式中的应用证明证明2(n 1) 3(n 2)(n1) 2(1)当n 1时，左边 1 ,右边1 ，、,-n(n 1)(n62)2 3 左边，等式成立.0).(2)假设n k(k N)时等式成立,即 1 k 2(k 1)(k 1) 2 k 11 .八 k(k61)(k 2)那么当n k 1时,1 (k 1) 2k 3(k 1)1 k 2(k 1) 3(

8、k 2)2k (k1)(k 1) 2(k 1)1(k 1)(k 2)1 八k(k 1)(k 2)(k6261)(k2)(k 3)故n k 1时等式成立，综合(1)(2)知，当n且n 0时，等式成立.评析：一般来讲，第一步写出初步状态下的左、右边再进行比较而验证等式成立；第二步，先假设n k时等式成立，而写出 n k 1时的一边式子，再运用假设构造出n k 1时的另一边式子，即得证.关键是假设 n k时的运用，特别要弄清 n k到n k 1时等式的变化.在数列题中的应用 1例5已知在数列 an中，a1 一，它的刖n项的和Sn满足an Sn 2(n 2).Sn 试计算S1,S2,S3,S4的值，并

9、猜想Sn的表达式，然后给出你的证明.由已知有 s1a12 r一，当n32 时，anSnSn1 Sn-12Sn所以Sn1Sn 12（n 2）于是有S21ST-234，S345,S4故猜想 Snn 1n-2卜面用数学归纳法进行证明.证明（1）当n1时,(2)假设当nk(kS1*,k1）时，猜想成立，即Sk则当nSk 1Skak 1 Sk (Sk 1Sk 12),所以SkSk-,即2Sk 1(k 1) 1(k 1) 2故当k 1时，猜想也成立.由（1）（2）可知，当n时，猜想Sn-成立.评析：本题属于典型例题,由归纳法推出Sn的表达式，再用数学归纳法给予证明.得出猜想正确.5.4在三角函数中的应用例

10、6证明1 . , x.1 . , x.tan()2 tan(2)22221, x .1, x、tan(三)7ncot(7n) 8txm 2222证明（1）当n 1时，左边一、 1 x右边一cot（一）22cotx一 x2tan(-)21 1 zxtan().2211tanx 2,左边=右边,所以等式成立.（2）假设nk (nN且n 0）时等式成立，那么当 n k 1时- tan(一) -2tan(-2)2222221，%、777 c0t(77 cotx222rtan(2r)1 x2 k 1 tan( 2 k 1)2TcotC2T)cot x1 x2k 1 tan( 2 k 1 )故当n k 1

11、时，等式成立.所以当 n N（n 0）时，等式成立.评析：对于三角函数的证明形式与例 2 相同，只有在变换三角函数式时，要准确运用三角函数公式在解一类计数问题中的应用数学归纳法可应用于解决与正整数有关较复杂的计数问题用数学归纳法解计数问题简单，易懂()3例72(P12)设正整数n” 2),s 1,2, ,n ,人为s的一个恰包含n 1个元素的子集合.则 对任意正整数 m n,存在s的一个m元子集T t1,t2, ,tm，使得下列集合 Aj x t j | x A , j 1,2, ,m 中的任意两个都不相交证明 考虑由A 中两个不同元素的差的绝对值组成的集合B ，则 B 中至多有Cn2 1 个

12、元素若有ti tj使AAj ,则存在a A,b A,使a ti b匕，故ti tjba B；反之，若 ti t j B ，将上述过程逆过来可证AiAj于是“集合，Ajxtj|x A,j 1,2, ,m中的任意两个都不相交”等价于“T中任意两个元素之差的绝对值均不属于B ” 下面归纳地构造出 s 的一个 m 元子集 T t1 ,t2 , ,tm 任取 s的一个元素为t1 由于 s t1 中与 t1 之差的绝对值属于B 的元素至多有2Cn2 1个， 而 2Cn2 1 1 n3 ，故 s t1 中存在与t1 之差的绝对值不属于B 的元素，任取其一为 t2 设已确定好了t1 ,t2 , ,tk(k m

13、 1)对每个 1 j k,st1,t2,tk 中与 tj 之差的绝对值属于 B 的元素至多有2Cn2 1个， 故 s t1,t2,tk 中至少与 t1 ,t2,tk 中的一个之差的绝对值属于 B 的元素至多有k 2Cn2 1 个而 k 2Cn2 1 (m 1) 2Cn2 1(n 1)n(n 1) n3 n n3 k 所以 st1,t2,tk 中存在与t1,t2,tk 中的每一个之差的绝对值都不属于B 的元素，任取其一为tk 1 根据数学归纳法原理，具有所述性质的集合T t1,t2,tm 存在在几何分类问题上的应用例如在初中几何课的学习中，有一些分类问题需要渗透数学归纳法去解决，从而锻炼提高我们

14、的分析、审题、推理、归纳，进一步得出规律性结论的解题能力例 8 (初中几何题)如下图所示，图中三角形的个数是多少？A思路分析：此类问题的特征是所有三角形都有一条边落在同一条直线上.解 如图，这些三角形都有一条边在直线BC上，此图三角形个数取决于不在这条直线上的边数，每有两边就会于 BC上一条边构成一个三角形，图中有AB、AD、 AE、 AF、AC 5条边,两两组合的组数为5 (5 1) 10,即图中有10个三角形.若图中有n (n 2)条边不在直线 BC上，则三角形的个数为n (n 1)个.一般容斥原理的数学归纳法证明容斥原理又称为包含排斥原理，它是解决组合计数问题的一个重要工具.定理2.43

15、(p45-47)设S是有限集,A S(i1,2,n, n1 i1 n1Ai1 i2 nA2(1)k11 12Aik nA2A1k证明(2)(1)n1 Ain(1)k1k 1A2An1 i1 i2iA1nA2(1)当n 2时，结论显然成立.假设n s(s 2)时结论成立，则n1时,s(A) As1i 1sAi i 1Ai11 i1 s 1S(A)i 11)k 11 i1 i2Ai1 ik sAi2Aiks(Ai 1k(1)AiiAk 11 ii i2ik s_s _AikAs 1( 1) A1A2AsAs 1Ai11 i1 s 1(1)kk 2(1)s A11 i1 s 1(1)k1k 11 i

16、1 i2ik si1 i2Ai1As1)k 11 i1 i2Ai1ik s 1A2Ai2As1Ais s 1AkAikA2Aik1)k11 i1i21)s A11 i1Ai1ik 1 sA2Ai2As1A1kAik 1As 1n(n 2),结论成立.所以当n s 1时，结论仍成立.由数学归纳法，对任意的自然数5.8在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机的研究中的作用越来越大.而离散数学中(特别是图论中)的很多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例9设T为任意的一棵二元完全树，m为边数，t为树叶数，试证明 m 2t 2(t 2).证明(方法一)对树口t数t进行证明.

17、(1)当t 2时，结点数3,边数m 2 ,故m 2t 2成立.(2)假设t k(k 2)时，结论成立，当t k 1时，由于T是二元完全树，因此T中一定存在都是树叶的两兄弟结 v1,v2,设v是一 . 、 、.一 、一 、一 V1,V2的父亲.在T中删除V1,V2 ,得到T . T仍为二兀完全树，这时结点v成为树叶，树叶数 t t21k11k边数m m2,由归纳假设知m 2t 2,所以 m 2 2(t 2 1) 2 故 m 2t 2.(方法二)对分支点数i用归纳法进行证明.(1)当i 1时，边数m 2 ,树叶数t 2,故m 2t 2成立.(2)假设i k(k 1)时，结论成立，当i k 1时，由

18、于是二元完全树因此T中一定存在两个儿子都是树叶的分支点设vi就是这样一个分支点，设它的两个儿子为.在T中删除 此，气，得树T, 丁仍为二元完全树，这时结点vi 成为树叶，分支点数i i 1 k 1 1 k 树叶数 t t 2 1 ，边数 m m 2 ，由归纳假设知， m 2t 2 所以 m 2 2(t 2 1) 2 ，故 m 2t 2 5.9 在线性代数中的应用在线性代数中，有一个众所周知的关于矩阵乘积的行列式的定理，即设A 、 B 是数域 F 上的两个 n 阶矩阵，则有“det(AB)detA det B” (1)目前，对(1)式的证明多采用以下两种方法：一是将行列式理论中的Laplace定

19、理用于一个2n阶行列式上(文献9 中称其为行列式乘法定理)；二是利用矩阵的初等变换理论10 另外，谢邦杰教授将矩阵的分块理论与初等变换结合，再把Laplace 定理用到两个2n 阶行列式上，给出了 (1) 式的 一个简短的证明 11 ；文 12则将初等矩阵与矩阵的初等变换结合起来给出了 (1) 式的又一个不同证法但以上所有证法要么用到过多的理论知识(如矩阵的初等变换,矩阵的分块，初等矩阵等) ，要么用到很强的技巧 (如构造一个2n 阶矩阵) 岳阳师范学院、数学系、卢小宁用数学归纳法给出(1) 式的一个简单证明证明 ( 1 )当 n 1 时， (1) 式显然成立(2)假设(1)式对于A、B都是n

20、 1阶矩阵时成立，下证(1)式对于A、B都是n阶矩阵时也成立事实上，设A (aj)nn,B (bj)n n ,且aj与bj的余子式分别为Mj与Nj (i, j 1,2,n),将detA依第1行展开，detB依第j(j 1,2,n)行展开，则有nndetA ( 1)1 ja1jM1jdetB ( 1)j vbjvNjvj1v1nn于是detAdetB ( 1)1 va1jbjvM 1jNjv(2)j1v1因 M1j , Njv 均为 n 1 阶矩阵的行列式，从而由归纳假设，有nnnna2kbk1a2kv 1a2kbk,v 1a2 kbmk 1k 1k 1k 1k jk jk jk jM1jNjv

21、nnnnankbk1ankbk,v 1ankbk,v 1ank bknk 1k 1k 1k 1k jk jk jk j由此可见，n(1)1va1jbjvM1jN jv 正一个n阶行列式依第1行展开的结果v 1即有当aj 。时，将（3）式右边的行列式的第1行乘以31.aj加到第i行（i 1,2,n）,a1jbj1a1 jbj2a1jbjnnnna2kbk1a2kbk2a2kbkn, 八 1 v.一 .(1) a1jbjvM 1 jN jvk 1k 1k 1k jk jk j(3)其中 j 1,2,nnnnankbk1ankbk2ankbknk 1k 1k 1k jk jk j则由行列式的性质，有

22、a1jbj1a1 jbj2nnna2kbk1a2kbk21 v(1)a1jbjvM1jNjvk 1k 1v 1nnankbk1ankbk2k 1k 1a1j bjn na2kbkn k 1(4)nankbknk 1当aij。时，（3）、（4）两式右边的行列式均等于零，因而（4）式仍然成立.于是由（2）式与行列式的性质及矩阵乘积的定义，有a1j bj1a1j bj2nnna2kbk1a2kbk2det A det Bk 1k 1j 1nnankbk1ankbk2k 1k 1ai j b jnna2kbknk 1nank bkn k 1nna” bj1a1jbj2j 1j 1nna2k bk1a2

23、k bk2k 1k 1nnankbk1a nk bk2k 1k 1nd j bjn j 1na2kbkn k 1a nk bknk 1det(AB) 这说明对于 A、B都是n阶矩阵来说，(1)式也成立，故对任意自然数n及数域F上的任意两个n阶矩阵 A、 B ， (1) 式恒成立证毕评析： 这道题给出了线性代数中 “det(AB) detA det B” 的一个数学归纳法证明 其中只用到了行列式的三个基本性质与行列式依行展开定理以及矩阵乘积的定义,避免了初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的分块以及行列式理论中的 Laplace 定理等过多的理论知识和过高的技巧6 数学归纳法的运用技巧数学归纳法的第二

24、步，不能机械地套用 n k 时的假设条件，而要寻求当 n k 1 和 n k 时结构式之间的内在联系，设法变通，创造应用归纳假设的条件，才可以运用归纳假设证明， 从而形成观察、归纳、猜想、证明的思维模式，更好地培养探索能力、创新能力常用的方法有：(1)加项法 ： 如果命题为一串等式之和，设n k 成立，要证n k 1 成立时，往往采用等式两边加项的方法(2)作差法：若命题中有关于 n 的连加式或数列的前n 项和，则可考虑利用 n k 1 和 n k 时两个结构式的差，创造应用归纳假设的条件(如 5.1 例 1)(3)作商法： 若命题中有关于n 的连乘式或等比数列的前n 项和的形式， 则可考虑利用 n k 1 和n k 时两个结构式的商，创造条件应用归纳假设(4)裂项法：为了证明 n k 1 时等式成立，可设法把n k 1时命题形式分裂为若干项，再利用归纳假设(5)放缩法：有关不等式的证明问题，也常用到放缩法，这种方法也是高等数学中常用的证题技巧(如 5.1 例 3) (6)辅助公式法：对于有些数学命题的证明，有时要先证明一个辅助等式或辅助不等式再以辅助公式为工具，达到证题的目的7 运用数学归纳法证明时常