2021年中考数学总复习专项提高训练之几何综合题

1、题型八几何综合题类型一与折叠有关的问题1.(2020云师大实验模拟)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将CDE沿CE折叠得到CFE，点F恰好落在边AB上(1)求证：AEFBFC；(2)若AB2，BC1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连接PE，PC.求线段DQ的长；试判断PCE的形状，并说明理由第1题图(2)求BP的值；2.(2020云南逆袭卷)如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在AD边上的点E(不与点A、D重合)处，点C落在点B处，折痕分别交AB、CD于点M、N，BE交CD于点F，连接BF交MN于点P，连接BE.(1)求证：BE平分AEB；BE(3)若AB4，E是

2、AD的中点，求MN的长第2题图(1)特例感知如图，若C60，D是AB的中点，求证：APAC；点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围3.(2020湖州)已知在ABC中，ACBCm，D是AB边上的一点，将B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处(不与点A，C重合)，折痕交BC边于点E.12(2)变式求异如图，若C90，m62，AD7，过点D作DHAC于点H，求DH和AP的长；(3)化归探究如图，若m10，AB12，且当ADa时，存在两次不同的折叠，使第3题图4.(全国视野)(2020长春)【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容1.把一张矩形纸片如图那

3、样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？P重合，折痕为QG，点G在AB上要使四边形PGQF为菱形，则_(第1题)【问题解决】如图，已知矩形纸片ABCD(ABAD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A，折痕为DE，点E在AB上求证：四边形AEAD是正方形【规律探索】由【问题解决】可知，图中的ADE为等腰三角形现将图中的点A沿DC向右平移至点Q处(点Q在点C的左侧)，如图，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么PQF还是等腰三角形吗？请说明理由【结论应用】在图中，当QCQP时，将矩形纸片继续折叠，如图，使点C与点ADAB第4题图FD时，求AB5.(2020成都

4、)在矩形ABCD的CD边上取一点Eeqoac(,，将)BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处(1)如图，若BC2BA，求CBE的度数；(2)如图，当AB5，且AFFD10时，求BC的长；(3)如图，延长EF，与ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NFANBC的值第5题图(2)若APAC，求CEBC的值；类型二与旋转有关的问题1.(2020内江)如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F.(1)连接CQ，求证：APCQ；14(3)求证：PFEQ.第1题图(1)

5、如图，当60eqoac(,时，)DEB的形状为_，连接BD，可求出的值为_；当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值2.(2020河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，记旋转角为，连接BB，过点D作DE垂直于直线BB，垂足为点E，连接DB，CE.BBCE(2)当0360，且90时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；BEBE第2题图3.(2020龙东地区)如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DCEC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、B

6、D、AB的中点，连接PM、PN、MN.(1)BE与MN的数量关系是_；(2)eqoac(,将)DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图或图进行证明第3题图(1)观察猜想：如图，当60时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段DP，则接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明BCDeqoac(,与)ACP相似，求出BD的值；(3)拓展延伸：当90时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求的值4.(2020昆明西山区一模)eqoac(,在)ABC中，ABAC，BAC，点P是平面内不与点A，C

7、重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转得到线段DP，连接AP，CD，BD.BDAP的值是_，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是_；(2)类比探究：如图，当90时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段DP，请直AP13BDAP第4题图类型三非动态类问题1.(2020黔东南州)如图，在菱形ABCD中，AB6，A60，点E是线段AB上一点(不与A、B重合)，作EDF交BC于点F，且EDF60，连接EF.(1)若菱形ABCD的面积为S，直接写出S的值；(2)求证：DEF是等边三角形；(3)求四边形DEBF周长的最小值第1题图2.(2020昆明盘龙区一模)如图，AB为O的直径，D是BC的中点，B

8、C与AD，OD分别交于点E，F.(1)求证：ODAC；(2)求证：DC2DEDA；(3)若O的直径AB10，AC6，求BF的长第2题图3.(2020安徽)如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AEAD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AFAB.(1)求证：BDEC；(2)若AB1，求AE的长；(3)如图，连接AG，求证：EGDG2AG.第3题图4.(2020保山隆阳区模拟)如图，在矩形ABCD中，AD2，AB3，点E，F分别在边AB，BC上，且BFFC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作正方形DEFG，连接BG，分别交EF，CD于点P，Q.(1)求正方形DEFG的边长

9、EF；(2)若FG交DC于点M，求DM的长；(3)求BPQG的值第4题图的点，且DE2DBDA，延长AE至F，使AEEF，设BF10，cosBED.5.(2019云南省卷)如图，AB是C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是C上45(1)求证：DEBDAE；(2)求DA，ED的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长第5题图6.(全国视野)(2020德州)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：(1)小红证明BEDCAD的判定

10、定理是：(3)如图，在矩形ABCD中，在BD上取一点F，以BF为斜边作eqoac(,Rt)BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EGCG._；方法运用：(2)如图，ADeqoac(,是)ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AEEF，求证：BFAC；AB1BC2EF1BE2第6题图(3)若AQAD，AB4，求PC的长类型四与动点有关的问题(含不定点问题)1.如图，eqoac(,Rt)MPN的顶点P在正方形ABCD的边AB上，MPN90，PN经过点C，PM与AD交于点Q.(1)证明：APQBCP；(2)若P为AB的中点，连接CQ，求证：AQBCCQ；14第1

11、题图C2.(2017云南省卷)已知AB是O的直径，PB是O的切线，是O上的点，ACOP，(2)设OPAC，求CPO的正弦值；M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是O的切线；32(3)设AC9，AB15，求df的取值范围第2题图3.如图，在矩形ABCD中，已知AB4，BC2，E为AB的中点，AF平分DAB交CD于点F，设P是AF上的一个动点(不与点A重合)(1)求证：PDPE；(2)连接PC，求PC的最小值；(3)设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使得DPO90，若存在，求出AP的长第3题图4.(202

12、0云南定心卷)如图，在矩形ABCD中，AD4，CD10，点E是线段AB上的点(AEBE)，且DECE，点F是线段CE上一动点，连接DF，点G是DF的中点，连接BG.(1)求证：AD2AEBE；(2)求DE，CE的长；(3)求BG的取值范围第4题图5.(2020烟台)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.【问题解决】如图，若点D在边BC上，求证：CECFCD；【类比探究】如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由第5题图6.(2020龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，

13、矩形ABCD的边AB长是方程x23x180的根，连接BD，DBC30，并过点C作CNBD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒(t0)(1)线段CN_；(2)连接PM和MNeqoac(,，求)PMN的面积S与运动时间t的函数关系式；(3)在整个运动过程中，当PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标第6题图类型五与平移有关的问题1.在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B为第一象限内一点，且OBAB，OB2.第1题图(1)如图，求点B的坐标

14、；(2)如图，将OAB沿x轴向右平移得到OAB，设OOm，其中0m0)，则有a(a1)1，化简得a2a10，151522152(3)证明：解法一：如解图，在线段EG上取一点P，使得EPDG，连接AP.第3题解图在AEP与ADG中，AEADAEPADG，EPDGAEPADG(SAS)，APAG，EAPDAG，PAGPADDAGPADEAPDAE90，PAG为等腰直角三角形，EGDGEGEPPG2AG.解法二：如解图，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q.第3题解图则EAG90DAGDAQ，在AEG与ADQ中，AEGADQAEAD，EAGDAQAEGADQ(ASA)，EGDQ，AGAQ，AG

15、Q为等腰直角三角形，EGDGDQDGQG2AG.4.解：(1)四边形DEFG为正方形，DEEF，DEF90，ADEAEDAEDBEF90，ADEBEF，AD.DM；ADEBEF(AAS)，AEBF1，BEAD2.在eqoac(,Rt)EBF中，由勾股定理，得EFBE2BF212225；(2)由题意可得ADEMDG，ADGM90，ADEGDM，DEGDDM由(1)得AD2，DEGDEF5，52(3)如解图，过点B作BHEF，垂足为H.BH.BHHF，HF.GFFP55PFHF.EP55.第4题解图11eqoac(,S)BEF2BEBF2EFBH，BF1，BE2，EF5，BEBF25EF5又BEF

16、HBF，BEBF255BHBF5BE25在BPH和GPF中，有BPHGPF，BHPGFP，BPHGPF，255BHHP2，5577又EPPFEF，6577又ABCD，EFDG，DEBDAE，cosBED，cosEADcosBED.由AB10，cosEAD，160DA，DE3，解得160DA，DE3，4DADE7DE4QGDG57DEDB.DEDBEB63.EBPDQG，EPBDGQ，EBPDQG，657BPEP6.5.(1)证明：DE2DBDA，DADE又BDEEDA，DEBDAE.(2)解：AB是C的直径，E是C上的点，AEB90，即BEAF.又AEEF，BF10，ABBF10.4545在e

17、qoac(,Rt)ABE中，45得AEABcosEAD8，BEAB2AE26.DEBDAE，DADEAE84DBDAABDA10，DA4747DADE103DE120.经检验，7是的解120DA103DA，DE；16012077(3)解：如解图，连接FM.由cosFAM得：28.MDDAAM.第5题解图BEAF，即BEF90，BF是B、E、F三点确定的圆的直径点F在B、E、M三点确定的圆上，即F、E、B、M四点在同一个圆上，FMAB.在eqoac(,Rt)AMF中，AMAFAMAFcosFAM2AEcosEAB464551606435275356.(1)解：SAS；(2)证明：如解图，延长AD

18、至点A，使ADAD，连接BA，第6题解图AD是ABC的中线，BDCD，在ADC和eqoac(,A)DB中，ADADADCADB，CDBDADCeqoac(,A)DB(SAS)，CADA，ACAB，又AEEF，CADAFE，AAFE，又AFEBFD，BFDA，BFAB，BFAC；(3)证明：如解图，延长CG至点H使HGCG，连接HF、CE、HE.第6题解图EF1，G为FD的中点，FGDG，在HGF和CGD中，HGCGHGFCGD，FGDGHGFCGD(SAS)，HFCD，HFGCDG，在eqoac(,Rt)BEF中，BE2tanEBF，tanADB，EGCH，即EGCG.又矩形ABCD中，AB1

19、，EF1HF1，12AB1BC2AD212EBFADB，又ADBC，ADBDBC，EBFADBDBC，又EFD为BFE的外角，EFDEBFBEF，即EFHHFDEBF90，ADBBDC90，EFHHFDEBFADBBDC，EFH2EBF，即EFHEBC，在EFH和EBC中，BE2BC2EFHEBC，FEHBEC，HECCEFBEFCEF，HECBEF90，CEH是直角三角形G为CH的中点，12类型四与动点有关的问题(含不定点问题)1.(1)证明：APQBPC90，APQAQP90，AQPBPC，又AB，APQBCP；(2)证明：如解图，延长QP交CB的延长线于点E，P为AB的中点，PAPB.四

20、边形ABCD是正方形，QAPPBCEBP90.APQBPE，在APQ和BPE中，APQBPEAPBP，AEBPAPQBPE(ASA)，AQBE，PQPE，MPN90，CPQE，CECQ，BEBCCQ，AQBCCQ；第1题解图PQAQAP，AQADAB，(3)解：由(1)知APQBCP，PCBPBC11444APABAPABAB2ABAPAP2，APAB，APBPAB2，1AB，1412又AB4，12在eqoac(,Rt)BCP中，PCBP2BC2224225.第1题解图2.(1)证明：如解图，连接OC，ACOP，CAOPOB，ACOCOP.OAOC，CAOACO，POBPOC，在POB和POC

21、中，OBOCPOBPOC，POPOPOBPOC(SAS)，PBOPCO.PB是O的切线，PBO90，OCP90，即OCPC.又OC为O的半径，PC是O的切线；AC.设O的半径为r，则AB2r，OCr，再由OPAC得ACOP，32r，解得OP3r(负值已舍去)第2题解图(2)解：如解图，连接BC，AB是O的直径，C是O上的点，ACB90.在ACB和OCP中，由(1)知CABACOCOP，ACBOCP90.ACBOCP，ABOCOP32232OPrOPOP3r3在eqoac(,Rt)OCP中，sinCPOOCr3，CPO的正弦值为33；(3)解：如解图，过点A作AECM于点E，过点B作BFCM于点

22、F.A与直线BCM上的点连线距离的最小值为AE，记为d，与直线CM上的点连线距离的最小值为BF，记为f，第2题解图A到直线CM的距离为d，B到直线CM的距离为f.AB是O的直径，C是O上的点，即CMdCMf91254.如解图，过点C作CHAB，垂足为H，则SACBCABCH，当M运动到H点时，CM最小，即CM的最小值为；CM12，df.CH.ACB90.在ACB中，ACB90，AC9，AB15，BCAB2AC21529212.设ABC的面积为eqoac(,S)，AMC的面积为Seqoac(,1)，BMC的面积为S2，则SS1S2，111222108CM1122ACBC91236AB155365

23、当M自H向A点运动时，由CMCH2HM2得CM逐渐增大，最大时为CA；当M自H向B点运动时，由CMCH2HM2得CM也逐渐增大，最大时为CB.AC9，BC12，CM的最大值为BC，即CM的最大值为12，3659df15，df的取值范围为9df15.3.(1)证明：四边形ABCD为矩形，DAB90.AP平分DAB，DAPEAP45，在DAP和EAP中，ADAEDAPEAP，APAPDAPEAP(SAS)，PDPE；(2)解：如解图，过点C作CPAF于点P，PCFC22，当a时，AP，第3题解图C则此时PC的值最小，为P，ABCD，DFAEAP.DAPEAP，DAPDFA45，FCDFAD2，PF

24、C45，2PC的最小值为2；(3)解：存在如解图，DFFC，OAOC，OFAD，DFO180ADF90，当点P与点F重合时，DPO90，此时，AP222222，当点P在AF上时，过点P作PGAD于点G，PHAB于点H，AP平分DAB，PGAD，PHAB，PGPH，设PGPHa，由勾股定理得：DP2(2a)2a2，OP2(2a)2(1a)2，OD25，当DPO90时，DP2OP2OD2，即(2a)2a2(2a)2(1a)25，1解得a12(舍去)，a22，1222综上所述，当DPO90时，AP22或22.ADAE，第3题解图4.(1)证明：四边形ABCD是矩形，AABC90，ADBC.DECE，

25、DEACEB90.DEAADE90，ADEBEC，ADEBEC，BEBCADBCAEBE.又ADBC，AD2AEBE；(2)解：设AEx，则BE10 x.由(1)可得42x(10 x)，x210 x160，解得x12，x28.AEBE，AE8，BE2.DEAD2AE2428245，CEBE2BC2224225；(3)解：如解图，取DE的中点G1，CD的中点G2，连接G1G2，BG1，BG2，第4题解图G1G2是DEC的中位线点G是DF的中点，点F在CE上，点G始终在G1G2上如解图，过点B作BG3G1G2于G3，BG3交CE于点H，当点G随着点F运动到G3时，BG最小，BHBC，BH.BG3G

26、3HBH25.BG的最小值为；G3G1EG1EHG1G3H90，四边形G1EHG3是矩形，11G3HG1E2DE24525.HCBBCE，BHCEBC90，BHCEBC，EBECBCBE4245CE2554514555145522（）2，EHBE2BH245255525G1G35.11G1G22CE2255，35G2G3G1G2G1G35.22点G在线段G1G2上运动，BG3G1G2，在eqoac(,Rt)BG3G中，BG2BG3GG3，GG3越大，BG越大G2G3G1G3，35当点G随着点F运动到G2时，GG3最大为5，此时BGBG23G2G23145（）2（）241.BG的取值范围为BG4

27、1.355514555.【问题解决】证明：如解图，过点E作EGAB交BC于点G，ABC是等边三角形，AB60.EGAB，CEGA60，EGCB60，GEC是等边三角形，GEECGC，GEFFEC60.DEF是等边三角形，DEF60，DEEF，DEGGEF60，DEGFEC.在DGE与FCE中，DEFEDEGFEC，GECEDGEFCE(SAS)，DGFC，DCDGCGFCCE；第5题解图【类比探究】解：CECDCF，理由如下：如解图，过点E作EGAB交BC于点G，ABC是等边三角形，AB60.EGAB，CEGA60，EGCB60，GEC是等边三角形，GEECGC.DEF是等边三角形，DEF60

28、，DEEF，DEFDECGECDEC，即GEDCEF，在DGE与FCE中，DEFEGEDCEF，GECEDGEFCE(SAS)，DGFC.DGGCCDECCD，CECDCF.BCD90，DBC30，BCCD63，CNBD于点N，CNBC第5题解图6.解：(1)33；【解法提示】x23x180，解得x6或x3(舍)，AB6，矩形ABCD中，61tan3032333.(2)如解图，过点N作NEAD于点E，过点P作PFAD于点F，BD2CD12，DNCD3，BP2t，DM3t，ENDN，第6题解图12DP122t，ADBDBC30，1322PFDP6t，SSPDMSNDMDMPFDMNE3t(6t)

29、t2t(0t)；SSNDMeqoac(,S)PDMDMNEDMPF3t(6t)t2t(t6)综上所述，S与t的函数关系为S223t943t（92t6）(3)点P的坐标为(33，3)或(3，)9，PN92t，BE3BP3t，NFBN，BFBN，P(3t，t)，N(，)，M(633t，6)，当PNPM时，有(92t)2(23t63)2(t6)2，解得t3或，此时P(33，3)或(3，)；当PNMN时，有(92t)2(3t3)2(6)2，解得t3或t24(舍)，此时P(33，3)综上，P点的坐标为(33，3)或(3，).12当P点没经过N点前时，111339392222242当P点经过N点后，1113393922222423t293t（0t9）42；27733【解法提示】如解图，过点P作PEx轴于点E，过点N作NFx轴于点F，则BN1939393222