完整版勾股定理综合难题解析超好打印版

1、完美WORD格式编辑练习题1如图，圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.，在下底面的面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底2如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形.体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？答案AB=5现有一小虫从顶点A出发，沿长方AB/*111_C/DCAC3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm?长BC?为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想,A此时EC有多长？D?5

2、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCDff叠,E使C点与A点重合，则EB的长是（A.3B.4C)FC6.已知：如图，在ABC中,/C=90，B=30,AB勺垂直平分线交BC于D,垂足为E,D=4cm求AC勺长.学习指导参考资料完美WORD格式编辑7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6BC=8现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为&如图，在矩形ABCD中，AB6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C处，若AE：痕EF的长为BE12，则折9、如图，已知：点E是正方形ABCD勺BC边上的点，现将对角线DB上，贝UEB：CE=10、如

3、图，AD是ABC的中线，/AD&45，把ADC沿AD对折，点C落在C的位置，若BO2,DCB&折痕DE向上翻折，使DC落在E学习指导参考资料完美WORD格式编辑匸D11.如图1,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合，则CD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmB图112、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出13、如图，在ABC中,/B=9O,AB=BC=6把ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC

4、=1：2折痕为EF,点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14.已知，如图长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点为EF,则ABE的面积为（）完美WORD格式编辑A、6cmB、8cmC10cmD12cm完美WORD格式编辑15如图,将矩形ABCD&EF折叠，使点D与点B重合，已知AA3,AD=9,求BE的长.16、如图,/BCD/0C每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD勺面积。B17、如图,已知：在ABC中,ACB90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.18.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm宽

5、为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与AD重合），在AD上适当移动三角板顶点P:能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能,矿学习指导参考资料完美WORD格式编辑请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.21.能.设A吐x米，由于16+x2,CP=16+(10 x)2，而在RtPBC中，有BP+cP=BC,即16+X+16+(10X)=100,所以x-10 x+16

6、=0,即(x5)=9,所以x5=3,所以x2222=8,x=2,即A吐8或2,能.仿照可求得AP=4.19如图ABC中ACB90,AC12,BC5,ANAC,BMBC20、直角三角形的面积为形周长为)（S，斜边上的中线长为d，则这个三角(A)Jd2S2d(B)Jd?Sd(C)2Jd2S2d(D)2如Sd解：设两直角边分别a，b,斜边为jC,则c2d,Slab2.由勾股定理，得c2,22ab为所以ab2a22abb22c4S4d24S所以ab2Jd2S所以abc2Jd2S2d.故选（C）21.在ABC中,ABAC1BC边上有2006个不同的点PjE丄06,记miAR2BPPCi1,2,L2006

7、,则m1m2Lm2006=学习指导参考资料完美WORD格式编辑22汇如图所示，在RtABC中，BAC9O,ACAB,DAE45,且BD3,CE4,求DE的长.23、如图，在ABC中，AB=AC=6P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PCPB+PA的值。C24、如图在RtABC中，C90,AC4,BC3，在Rt角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:ABC的外部拼接一个合适的直角三44学习指导参考资料完美WORD格式编辑要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）2

8、5.如图，AB两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1krmBD=3krmCD=3krm现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用20000元/千米，请你在CDF。f)学习指导参考资料完美WORD格式编辑27.（8分）如图，在ABC中，AB=ACP为BC上任意一点，请说明：ABAp=PBPC。28、如图，已知：C90，AMCM，MPAB于p.求证：BP2AP2BCA29.（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河回家.他

9、要完成这件事情所走的最短路边去饮水，然后小河程是多少?A*卩东牧童!30.（本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是学习指导参考资料2.6m完美WORD格式编辑长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道31.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？a32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米，求这里

10、的水深是多少米？33长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角如图所示），则梯子的顶端沿墙面升咼了34.已知：如图，ABC中,/C=90,D为AB的中点，E、F分别在ACBC上，且DEIDF.求证：AE+BEF.学习指导参考资料完美WORD格式编辑-CB35.已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE=4，求证:AF丄FE.36.已知ABC中,a2+b2+c=10a+24b+26c338,试判定ABC的形状，并说明你的理由.37.已知a、b、c是ABC的三边，且ac2bc2a4b4，试判断三角形的形状.38.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm

11、高为6cm如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？学习指导参考资料39、a、b为任意正数，且ab,完美WORD格式编辑2222求证：边长为2ab、ab、a+b的三角形是直角三角形40.三角形的三边长为(ab)(A)等边三角形(C)直角三角形2c2ab,则这个三角形是()(B)钝角三角形(D)锐角三角形.C41.(12分)如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心

12、经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42.（14分）ABC中,BCa,ACc，若/C=90，如图(1),根据勾股定理，则abc222b,AB若ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,并证明你的结论.eqoac(,.)解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2若ABC是钝角三角形，/C为钝角，则有a+b2vc2当ABC是锐角三角形时,证明：过点A作ADICB垂足为D。设CD为x，则有DB=cx根据勾股定理得b2x2=C2(aX)22.22试猜想ab与c的关

13、系,即b2x2=c2a2+2axx2/-a2+b2=c2+2axa0,x02ax0/-a+bc当ABC是钝角三角形时,222._学习指导参考资料完美WORD格式编辑43.(10分)如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10万千米/学习指导参考资料完美WORD格式编辑时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明;(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?东44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为

14、hem则h的取值范围是().A.h8cmC.15cmch16cmD.7cmha（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.49、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、的点，且DE1DF,若BE=12CF=5求线段EF的长。F分别是ABAC边上50如图，在等腰ABC中,/ACB=90,DE为斜边AB上的点,求证：DE=AD+BE。CC且/DCE=45。ACADEDED51如图，在ABC中，AB=13,BC=14,AC=15贝UBC边上的高AD=学习指导参考资料完美WORD格式编辑52如图

15、，长方形ABCD中，AB=8BC=4将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分AFC的面积是B53在ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.54在ABC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17求ABC的面积。55.若ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26cABC是直角三角形吗？为什么?学习指导参考资料完美WORD格式编辑56.在ABC中，BC=1997AC=1998AB=1997+1998,则ABC是否为直角三角形？为什么?注意BCACAB的大小关系。ABb,求证：边长为2ab、a2b2、a+

16、b2的三角形是直角三角形40.三角形的三边长为c22ab,则这个三角形是（）(ab)2C学习指导参考资料(A)等边三角形(C)直角三角形完美WORD格式编辑(B)钝角三角形(D)锐角三角形.41.(12分)如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42.(14分)ABC中,BC,ACab,ABc，若/C=90，如图(1

17、),根据勾股定理,2.22则abc若ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,并证明你的结论.eqoac(,.)解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2若ABC是钝角三角形，/C为钝角，则有a2+b20,x02ax0/.a2+b2c2当ABC是钝角三角形时,43.(10分)如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10万千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明;(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?学习指导参考资料完美WORD格

18、式编辑在杯子外面的长度为hem则h的取值范围是（A.h8cmC.15cmch16cmD.7cmh16cm45如图，已知：=M，洌丄血？于P.求证:酣二炉+號B思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM根据勾股定理，在沁販P中，斑临扯F而在flLAM?中，则根据勾股定理有.妙二BW-cW+曲产=.血二血-苗.又=口胚（已知），在皿沁臥中，根据勾股定理有46【变式2】已知：如图，/B=/D=90,ZA=60,A

19、B=4CD=2求：四边形ABCD勺面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关可以连结AC或延长ABDC交于F,或延长键，ADBC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长ADBC交于E。V/A=/60,/B=90,./E=30。完美WORD格式编辑学习指导参考资料完美WORD格式编辑AE=2AB=8CE=2CD=，B自AE-AB2=82-42=48,BES=4%疗。DE=CE2-CD=42-22=12,.DE尿=羽。/.S四边形ABC=&ABE-S=2ABBE-2CD-DE=CD47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂

20、门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？O打rr1J一1【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDIAB,与地面交于H.解：OC=1米（大门宽度一半）,=0.8米（卡车宽度一半）RtOCD中，由勾股定理得：=JF-OL=0.6米，=2.9（米）2.5（米）.米的余量，所以卡车能OD在CD=JoL-加通过厂门.r-aIICH=0.6+2.3此高度上有因48、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30,点A处有一所中学，A吐160m假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖

21、拉机在公路皿2沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB丄MN垂足为Bo学习指导参考资料完美WORD格式编辑在RtABP中，/AB圧90,ZAPB=30,AP=160,AB=2A吐80o(在直角

22、三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN勺距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,BC=60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m),BD=60(m),CD=120(m)o拖拉机行驶的速度为：18km/h=5m/st=120nm5m/s=24so答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角

23、三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.49、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、F分别是ABAC边上的点，且DE1DF,若BE=12CF=5求线段EF的长。学习指导参考资料完美WORD格式编辑路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接AD因为/BAC=90,AB=AC又因为ABC的中线,所以AD=DC=DBAD丄BC且/BAD2C=45.因为/EDA#ADF=90.又因为/CDF-ADF=90.所以/EDA#CDF所以AEDACFD(ASA.所

24、以AE=FC=5同理：AF=BE=12在eqoac(,Rt)AEF中，根据勾股定理得:财2炉+磨八伪二序，所以EF=13总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50如图，在等腰ABC中,/ACB=90,DE为斜边AB上的点，且#DCE=45。求证：DE=AD+BE。学习指导参考资料完美WORD格式编辑F分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51如图，在ABC中，AB=13,BC=14,AC=15贝UBC边上的高AD=答案12。52如图，长方形ABCD中,AB=8BC=4将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分AFC的面积是BA设EF=X，那么AF=CF=8-X,AE2+EF2=AF2,所以2,4A2+XA2=（8-X）A解得X=3,S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053在ABC中，AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.答案25或754在ABC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17求ABC的面积。答案84或36学习指导参考资料完美WORD格式编辑55.若ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338