高等数学 试卷及答案 共3套

第6页共6页试卷一一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知函数，则.2.设是椭圆,其周长为,则.3．设，则.4．级数是条件收敛、绝对收敛,还是发散？条件收敛.5．展开成的幂级数为,.6.设为上半球面，则.7.微分方程满足的特解为.8.曲线在处的一个单位切向量为答案不唯一.9.交换积分次序.10.设是以为周期的函数,其傅立叶级数的和函数记为，则.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求函数的极值，并指出是极大值还是极小值.解：由解得驻点为，又所以故函数在取得极小值，极小值为12.求由曲面与曲面所围立体的体积.解：设两曲面所围立体空间区域为，13.求微分方程的通解.解：先求对应齐次方程的通解.特征方程，特征根故齐次方程通解为设非齐次方程特解为得设解得取所以非齐次方程的特解为原方程的通解为14.其中是曲线上由点到点沿顺时针方向的一段弧.解：补充直线记由格林公式.所以15.计算曲面积分，其中为曲面的上侧.解：补充平面取下侧，记围成的闭区域为.而，故16.求幂级数的收敛域及和函数.解：，所以收敛半径而时，幂级数为,发散.时，幂级数为,收敛.故幂级数的收敛域为.设，则两边积分得又故三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.设级数收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛.证明：设级数的部分和为，它的和为.由级数收敛，有，所以.由收敛数列的局部有界性，当时，由正项级数收敛有，当时，,有，由正项级数比较审敛法知收敛，所以,由正项级数比较审敛法知级数收敛.18.设函数由方程所确定，其中，都具有连续导数.证明:.证明：设，则，，.故，，所以.试卷二一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知函数，则.2.微分方程满足的特解为.3．函数在点沿的方向导数等于.4．级数是条件收敛、绝对收敛,还是发散？绝对收敛.5．展开成的幂级数为.6.设是面的圆周的顺时针方向，则.7．螺旋线在点的切线方程为.8.曲面在点处的一个法向量为.9.设为球面，则.10.设是以为周期的函数,其傅立叶级数的和函数记为，则.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求级数的收敛域及和函数，并求.解：，级数的收敛区间为当时，原级数发散，当时，原级数发散，所以原级数的收敛域为,当时，，故.12.计算曲面积分，其中为曲面的上侧.解：补充平面方向向下，它在平面上的投影为记和所围成区域为，由高斯公式得而所以13.求由曲面与曲面所围立体的体积.解：立体在面的投影区域为，所求体积.也可用截面法14.求微分方程的通解.解：对应齐次方程的特征方程：解得特征根故对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得令代入上式得故非齐次方程特解为故原方程通解为15.求函数的极值点及极值.解：解得驻点为此时且故为函数的极小值点，极小值16.计算其中是由点沿曲线到点,再沿轴到点的曲线.解：设点，补线记由闭曲线围成的区域为，由格林公式..所以三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.设具有二阶连续偏导数，且满足，又，证明：证明：因为所以所以18.若与都收敛，且，试证收敛.证明：因为，所以而与都收敛，所以收敛.由比较审敛法有收敛.而，故收敛.试卷三一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.微分方程的通解为.2．已知函数，则.3．函数在点处的梯度.4．数项级数是条件收敛、绝对收敛,还是发散？条件收敛.5．函数展开成麦克劳林级数为.6．椭圆抛物面的平行与平面的切平面方程为.7.已知曲线，则曲线积分.8.已知积分区域D为，则.9.设是以为周期的函数,其傅立叶级数的和函数记为，则.10.设为在第一卦限部分，则.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求函数在条件下的最值.解：作拉格朗日函数，解得，，，是函数唯一的极值点，即为最值点，从而求得最值为.12.计算其中是抛物线上由点到点的一段弧.解：取记所围的区域为，又所以13.计算二次积分.解：原式=14.计算曲面积分，其中为下半球面的上侧.解：补充平面方向向下，且它在平面上的投影为记和所围成区域为，由高斯公式得所以15.求级数的收敛域及和函数.解：，该级数的收敛半径为1，当原级数发散,所以原级数的收敛域为和函数所以16.求微分方程的通解.解：对应齐次方程的特征方程：解得特征根对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得令代入上式得非齐次方程特解为原方程通解为三