冀教版（新）九上-28.4 垂径定理【优质课件】

1、28.4 垂径定理一键发布配套作业 & AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入导入新知如图，1 400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)班海老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看

2、作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点垂径定理 按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；探索新知总结 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？图1图2垂直于弦的直径

3、平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 .探索新知 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧如图，CDAB于点E，CD是O的直径，那么可用几何语言表述为：要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可(2)垂径定理中的弦可以为直径(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据探索新知已知：如图， CD为O的直径，AB为弦，且ABCD，垂足为E . 若ED=2，AB=8，求直径CD的长 .例1 解：如图，连接OA . 设O的半径为r . CD为O的直径，ABCD， AE=BE . AB=8， AE=

4、BE=4， 在 RtOAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=ODED，即r2 = (r2)2+42 . 解得r=5，从而2r=10 . 所以直径CD的长为10 .探索新知总 结 利用垂径定理求线段长，一般是求弦长或半径或弦心距，通用的方法就是在半径、弦长的一半及弦心距三者构成的直角三角形中利用勾股定理求其中的未知的线段长如图，在O中，OC垂直于弦AB于点C，AB4，OC1，则OB的长是() A. B. C. D.典题精讲B典题精讲如图，已知O的直径ABCD于点E，则下列错误的是() ACEDE BAEOE C. DOCEODE如图，O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则

5、ON等于() A5 B7 C9 D11BA探索新知2知识点垂径定理的推论推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图，CD是O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AEBE，那么可用几何语言表述为：探索新知例2 如图，AB，CD是O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且AMNCNM . 求证：ABCD . 证明：如图，连接OM，ON，OA，OC . M，N分别为AB，CD的中点， AB2AM，CD2CN . OMAB，ONCD . OMAONC90. AMNCNM， OMNONM . OMON . 又OAOC，RtOAMRtOCN . AMCN . ABC

6、D .探索新知 证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法总 结典题精讲如图所示，O的直径CD10 cm，AB是O的弦，AMBM，OMOC35，则AB的长为() A8 cm B. cm C6 cm D2 cm如图，ABC的三个顶点都在O上，AOB60，ABAC2， 则弦BC的长为() A. B3 C2 D4AC学以致用小试牛刀1 . 如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结 论中，错误的是（ ） ACE=DE B CBAC=BAD DACAD2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则 弦AB的长是（

7、 ） A4 B6 C7 D8DD小试牛刀3如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下 列结论中不正确的是（ ） AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD4如图4，AB为O直径，E是 中点，OE交BC于点D，BD=3， AB=10，则AC=_D8小试牛刀5P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短 弦长为_；最长弦长为_6如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么_（只需写一个正确的结论）810AB=CD小试牛刀7如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上

8、，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标解：如图，连接CM，作MNCD于N，CHOA于H .四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，CDOB8，CNMH，CHMN .又MNCD，CNDN CD4 .易知OA10，MOMC5 .在RtMNC中，MNCH3，又OHOMMH541 . 点C的坐标为(1，3)小试牛刀8如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足 为E，BC2 . (1)求AB的长； 解：连接AC， CD为的直径，CDAB， AFBF，ACBC . 延长AO交O于G， 则AG为O的直径，又AOBC， BECE，ACAB . ABBC2 .小试牛刀解：由(1

9、)知ABBCAC， ABC为等边三角形， AEBC，EABCAE CAB30. 即OAF30， 在RtOAF中，AF ， 易得OA2，即O的半径为2 .8如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足 为E，BC2 . (2)求O的半径小试牛刀9某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？在RtAOD中，OA2AD2OD2，即r23.62(r2.4)2，解得r3.9 .在RtOHN中，OH 3.6(米)所以FNDHOHOD3.6(3.92.4)2.1(米)因为2.1米2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥 .解：如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作ODAB于点D，交O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点设OAr米，则ODOCDC(r2.4)米，AD AB3.6米课堂小结课堂小结垂径定理基本图形计算中的四变量、两关系：(1)四变量：如图，弦长为a，圆心到弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知