【北师大版】数学九年级上册 1.2.1矩形的性质与判定

1、北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定(一)一、情景导入思考：这种平行四边形特殊在哪里？图片中有你熟悉的图形吗？ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 几何语言：四边形ABCD是平行四边形 A=90（ 或B=90 ）四边形ABCD是矩形学习概念矩形是特殊的平行四边形ADCB(1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？平行四边形矩形特殊性质轴对称中心对称图形边对边平行且相等角对角相等对角线互相平分二、探索性质二、探究矩形的性质(1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.(2)矩形有什么特殊性质？结论:(1

2、)矩形是轴对称图形，有两条对称轴.(2)矩形的四个角都是直角.(3)矩形的对角线相等已知：如图，四边形ABCD是矩形，ABC=90， 对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1) ABC=BCD=CDA=DAB =90； (2)AC=BD； 求证：矩形的四个角都是直角，对角线相等ADCBO证明:(1)四边形ABCD是平行四边形， ABC=CDA, BCD=DAB AD / BC ABC+BCD =180 又 ABC =90 ABC=BCD=CDA=DAB =90(2) 四边形ABCD是平行四边形 AD =BC，ABC=BCD ， AB =CD ABC DCB(SAS) AC=BDADCBO矩形的

3、性质定理：(1)矩形的四个角都是直角 符号语言： 四边形ABCD是矩形 ABC=BCD=CDA=DAB =90 (2)矩形的对角线相等 符号语言： 四边形ABCD是矩形 AC=BDADCBO平行四边形矩形的特殊性质轴对称中心对称图形轴对称图形边对边平行且相等/角对角相等 四个角都是直角对角线互相平分相等归纳总结矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:(1)BO是RtABC中斜边AC上什么特殊线段?(2)BO与AC有什么大小关系?DBCAO探究直角三角形的性质猜想：BO 是RtABC中斜边AC上的中

4、线， 且BO等于AC的一半如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,求证：(1)BO是RtABC斜边AC上的中线；(2) BO= ACDBCAO证明:(1) 四边形ABCD是矩形O是AC的中点 BO是RtABC斜边AC上的中线(2) 四边形ABCD是矩形 AC=BD，OB= BD OB= AC总结归纳：直角三角形斜边上中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半符号语言： RtABC，O是AC的中点 BO= AC ABCO例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.ABCDO二、典例精析证明:四边形ABCD是矩形 BAD=90,

5、 AC=BD OA= AC，OD= BD， OA= OD AOD=120 OAD= ODA=30 在RtABD中， BD=2AB=22.5=5如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，ACD=30，AD=2. （1）判断AOD的形状；（2）求对角线AC的长. 变式练习解:(1)四边形ABCD为矩形，ADC=90，OA=OD=OC=OB.ACD=30，DAC=90- 30=60.而 OA=ODAOD为等边三角形.(2)AOD为等边三角形，AO=AD=2.AC=2AO=4. 四、巩固练习1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=2，则矩形的边长BC的长是（ ）

6、A2 B.4 C.2 D.4C2. 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，AOD=60，则AB的长（ ）A. 4 B. 2 C. 8 D. 8A四、巩固练习四、巩固练习3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AOD=60，AB=2 ，AEBD于点E，则OE的长为_. 14.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，OMAB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. D2_四、巩固练习5.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DEAC交BC延长线于点E. 求证：BD=DE. 证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBCADCE. DEAC，四边形ACED是平行四边形.DE=AC.BD=DE.四、巩固练习6.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE=15，求BOE的度数. 四、巩固练习解： 在矩形ABCD中BAD=ABC=90, OA=OBAE平分BAD，DAE=BAE=45AEB=90 45= 45AB=BE.CAE=15，BAO=45+15=60.BOA是等边三角形.OB=AB， ABO=60 OB=BE.,OBE=30BOE=1/2（180-30）=75.五、课堂小结矩形