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1、 对称性在高中数学解题中的应用 孙林摘 要利用对称性解题是一种重要的解题策略.高中数学引入了诸多实践案例验证对称性对提高解题速度的作用,教师应鼓励学生掌握对称性解题思路.Key对称性;高中数学;解题 G633.6 A 1674-6058(2021)20-0023-02利用对称性解题,不仅能快速梳理解题思路,还可增强学生的解题能力.一、对称美的表现(一)杨辉三角的对称美1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(二)公式的对称美很多数学公式中的字母具有对称关系.例如完全平方公式、立方和公式:a+b2=a2+2ab+b2,a3+b3=

2、a+ba2-ab+b2.在公式中,交换字母a和b,公式本身没有发生变化.(三)图形的对称美对称的几何图形有很多,比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圆、椭圆等,它们有些是轴对称图形,有些是中心对称图形.在空间中,球就是一个高度对称的几何体,还有正多面体,如圆台、圆锥等.二、对称性在高中数学中的应用(一)对称性在几何中的应用如果我们能将球、圆、双曲线、椭圆、抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去,就可以把陌生的、困难的问题转化为熟悉的、容易的问题,从而实现化难为易.1.解决平面几何问题例1如图1,A、B两点是双曲线y=kx(k0)与正比例函数y=ax(a0),画出其函数图像.设交汇点为A、B,

3、其中A点的坐标是(6,-2),求B点坐标值.分析:求B点坐标时,不少学生都会选择将A点坐标(6,-2)直接代入正反函数解析式,得到a、b值,再创建方程组计算B点坐标值,但这种方法需进行大量的计算.若根据函数对称性,则B点坐标值可较快得出.解:在坐标轴上画出正比例函数y=ax图像、反比例函数y=bx图像,得到两图像均具有原点对称特征,故而其交汇点A、B亦是原点对称.由此得B点坐标值为(-6,2).3.解决最值问题例3已知M(3,5),在y轴取点Q,再在直线l:x-2y+2=0上取点P,三点连线形成MPQ,求该三角形的最小周长.分析:先按题意作图,找到点M,以直线l为中线,找到对称点M1.同理,以

4、y轴为中线,找到M的对称点M2,连线M1M2,与直线l交汇于P点,与y轴交汇于Q点.根据轴对称特性,结合平面几何形成条件可知此时MPQ周长处于最小值.解:如图2,以直线l为中线,找到M(3, 5)的对称点M1(5, 1).同理,以y轴为中线,找到对称点M2(-3, 5).连接M1M2,得到x+2y-7=0.令x=0,直线 M1M2恰好和y轴交汇于点Q0, 72 .联立方程组x+2y-7=0,x-2y+2=0,得到P坐标52, 94 .点P52, 94、Q0, 72即为所求.4.解决参数范围问题从图像对称性切入,找到輔助变数,即参数,再将待求解或者待证明的关系式转变成参数关系式,计算各数,去除参

5、数得解.例4如果抛物线y=ax2-1和直线x+y=0相互交汇的点恰好对称,求解实数a的取值范围.解:关于直线对称,则得到该点的对称点A(-y0, -x0) .由对称性可知,该点亦位于y=ax2-1.则y0=ax02-1, -x0=a(-y0)2-1, 一定存在两组解,-得y0+x0=a(x02-y02) 一定有两个相异的解,y0+x00,a(x0-y0)=1有解,從而有ax0-(ax02-1)=1有两个不等的实数解,即a2x02-ax0-a+1=0有两个不等的实数解,=(-a)2-4a2(-a+1)0, a0, a34.运用对称性来分析,避免了复杂的分析,从而使解题的思路更清晰,同时也简化了解

6、题步骤,提高解题速度.(二)对称在基本不等式中的运用例5(1)若x, y0,且x+y=1,则x+1xy+1y的最小值为 .(2)已知正数a, b, c满足a+b+c=1,则2a+1+2b+1+2c+1的最大值为 .分析:第(1)小题,如果直接用基本不等式,得到x+1xy+1y2x?1x?2y?1y=4.答案是错误的.细心的学生会发现不等式成立的条件是x=y=1.显然与已知条件x+y=1矛盾.那本题应该如何解答呢?解:(1)利用基本不等式、对勾函数解题.x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+y2+x2xy=xy+1xy+(x+y)2-2xyxy=xy+2xy-2.又xyx+y

7、22=14,由对勾函数性质知,当xy=14时,x+1xy+1y=xy+1xy-214+214-2=254.此处,用到基本不等式,当且仅当x=y=12时,等号成立.即当x=y=12时,x+1xy+1y有最小值254.但是,如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解,得不偿失.考虑到本题中交换x,y两个字母,题目并没有任何变化,从而它们是对称的,故当x=y=12时,x+1xy+1y有最小值254.第(2)小题,同样,当a=b=c=13时,2a+1+2b+1+2c+1有最大值33.(三)对称在概率中的运用例6某企业放假3天,由员工甲、乙、丙轮流值班,各值班1天.甲值班时间早于乙的概率为 .解析:此题为古典概型.求解前,可对员工甲、乙、丙进行排序,

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