对称性在高中数学解题中的应用

1、 对称性在高中数学解题中的应用 孙林摘 要利用对称性解题是一种重要的解题策略.高中数学引入了诸多实践案例验证对称性对提高解题速度的作用，教师应鼓励学生掌握对称性解题思路.Key对称性;高中数学;解题 G633.6 A 1674-6058（2021）20-0023-02利用对称性解题，不仅能快速梳理解题思路，还可增强学生的解题能力.一、对称美的表现（一）杨辉三角的对称美1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1（二）公式的对称美很多数学公式中的字母具有对称关系.例如完全平方公式、立方和公式：a+b2=a2+2ab+b2，a3+b3=

2、a+ba2-ab+b2.在公式中，交换字母a和b，公式本身没有发生变化.（三）图形的对称美对称的几何图形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圆、椭圆等，它们有些是轴对称图形，有些是中心对称图形.在空间中，球就是一个高度对称的几何体，还有正多面体，如圆台、圆锥等.二、对称性在高中数学中的应用（一）对称性在几何中的应用如果我们能将球、圆、双曲线、椭圆、抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去，就可以把陌生的、困难的问题转化为熟悉的、容易的问题，从而实现化难为易.1.解决平面几何问题例1如图1，A、B两点是双曲线y=kx（k0）与正比例函数y=ax（a0），画出其函数图像.设交汇点为A、B，

3、其中A点的坐标是（6，-2），求B点坐标值.分析：求B点坐标时，不少学生都会选择将A点坐标（6，-2）直接代入正反函数解析式，得到a、b值，再创建方程组计算B点坐标值，但这种方法需进行大量的计算.若根据函数对称性，则B点坐标值可较快得出.解：在坐标轴上画出正比例函数y=ax图像、反比例函数y=bx图像，得到两图像均具有原点对称特征，故而其交汇点A、B亦是原点对称.由此得B点坐标值为（-6，2）.3.解决最值问题例3已知M（3，5），在y轴取点Q，再在直线l：x-2y+2=0上取点P，三点连线形成MPQ，求该三角形的最小周长.分析：先按题意作图，找到点M，以直线l为中线，找到对称点M1.同理，以

4、y轴为中线，找到M的对称点M2，连线M1M2，与直线l交汇于P点，与y轴交汇于Q点.根据轴对称特性，结合平面几何形成条件可知此时MPQ周长处于最小值.解：如图2，以直线l为中线，找到M（3， 5）的对称点M1（5， 1）.同理，以y轴为中线，找到对称点M2（-3， 5）.连接M1M2，得到x+2y-7=0.令x=0，直线 M1M2恰好和y轴交汇于点Q0， 72 .联立方程组x+2y-7=0，x-2y+2=0，得到P坐标52， 94 .点P52， 94、Q0， 72即为所求.4.解决参数范围问题从图像对称性切入，找到輔助变数，即参数，再将待求解或者待证明的关系式转变成参数关系式，计算各数，去除参

5、数得解.例4如果抛物线y=ax2-1和直线x+y=0相互交汇的点恰好对称，求解实数a的取值范围.解：关于直线对称，则得到该点的对称点A（-y0， -x0） .由对称性可知，该点亦位于y=ax2-1.则y0=ax02-1， -x0=a（-y0）2-1， 一定存在两组解，-得y0+x0=a（x02-y02） 一定有两个相异的解，y0+x00，a（x0-y0）=1有解，從而有ax0-（ax02-1）=1有两个不等的实数解，即a2x02-ax0-a+1=0有两个不等的实数解，=（-a）2-4a2（-a+1）0， a0， a34.运用对称性来分析，避免了复杂的分析，从而使解题的思路更清晰，同时也简化了解

6、题步骤，提高解题速度.（二）对称在基本不等式中的运用例5（1）若x， y0，且x+y=1，则x+1xy+1y的最小值为 .（2）已知正数a， b， c满足a+b+c=1，则2a+1+2b+1+2c+1的最大值为 .分析：第（1）小题，如果直接用基本不等式，得到x+1xy+1y2x?1x?2y?1y=4.答案是错误的.细心的学生会发现不等式成立的条件是x=y=1.显然与已知条件x+y=1矛盾.那本题应该如何解答呢？解：（1）利用基本不等式、对勾函数解题.x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+y2+x2xy=xy+1xy+（x+y）2-2xyxy=xy+2xy-2.又xyx+y

7、22=14，由对勾函数性质知，当xy=14时，x+1xy+1y=xy+1xy-214+214-2=254.此处，用到基本不等式，当且仅当x=y=12时，等号成立.即当x=y=12时，x+1xy+1y有最小值254.但是，如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解，得不偿失.考虑到本题中交换x，y两个字母，题目并没有任何变化，从而它们是对称的，故当x=y=12时，x+1xy+1y有最小值254.第（2）小题，同样，当a=b=c=13时，2a+1+2b+1+2c+1有最大值33.（三）对称在概率中的运用例6某企业放假3天，由员工甲、乙、丙轮流值班，各值班1天.甲值班时间早于乙的概率为 .解析：此题为古典概型.求解前，可对员工甲、乙、丙进行排序，