【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(十八)导数及定积分

1、课时冲关练(十八)导数的简单应用及定积分(建议用时:60分钟)1.(2014杭州模拟)已知函数f(x)的导数f(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,求a的取值范围.【解析】若a=0,则f(x)=0,函数f(x)不存在极值;若a=-1,则f(x)=-(x+1)20,函数f(x)不存在极值;若a0,当x(-1,a)时,f(x)0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值;若-1a0,当x(a,+)时,f(x)0,所以函数f(x)在x=a处取得极大值;若a-1,当x(-,a)时,f(x)0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值.所以a(-1,0).2.若函数f(x)=x(x-c

2、)2在x=2处有极大值,求常数c的值.【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,所以f(x)=3x2-4cx+c2,所以f(2)=34-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,不能取极大值,所以c=6.【误区警示】本题易出现由f(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.3.(2014湖北高考改编)若函数f(x),g(x)满足 QUOTE ,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数,给出三组函数:f(x)=sin QUOTE x,g(x)=cos QUOTE x;f(x)=x+1,g(x)=x-1

3、;f(x)=x,g(x)=x2,确定其中的正交函数.【解析】对于, QUOTE 所以满足条件的正交函数有2组.是和.4.已知函数f(x)的定义域为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.若f(x)=x+m-lnx的保值区间是e,+),求m的值.【解题提示】利用f(x)=x+m-lnx在e,+)上的值域为e,+)构造方程求解.【解析】由函数f(x)=x+m-lnx知x0,所以由f(x)=1- QUOTE 0,得x1,即函数f(x)=x+m-lnx的递增区间为(1,+),因为f(x)=x+m-lnx的保值区间是e,+),且函数在e,+)上单调递增,所以f(e)=e,即f(e)=e+m-

4、ln e=e,即m=ln e=1.5.已知函数f(x)=x3-3ax(aR).(1)当a=1时,求f(x)的极小值.(2)若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=3x2-3,令f(x)=0,得x=-1或x=1.当x(-1,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-,-1,1,+)上单调递增,所以f(x)的极小值是f(1)=-2.(2)方法一:f(x)=3x2-3a,直线x+y+m=0,即y=-x-m.依题意,切线斜率k=f(x)=3x2-3a-1,即3x2-3a+1=0无解.所以=0-43(-3a+

5、1)0,所以a QUOTE .方法二:f(x)=3x2-3a-3a,要使直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1-3a时成立,所以a QUOTE .【加固训练】(2014唐山模拟)已知函数f(x)=(1-x)ex-1.(1)求函数f(x)的最大值.(2)设g(x)= QUOTE ,证明g(x)有最大值g(t),且-2t0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.(2)g(x)= QUOTE ,g(x)= QUOTE .设h(x)=-(x2-x+1)ex+1,则h(x)=-x(x+1)ex.当x(-,-

6、1)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(0,+)时,h(x)0,h(-1)=1- QUOTE 0,g(x)单调递增;当x(t,0)时,g(x)0;当x(0,+)时,g(x)0.因此g(x)有最大值g(t),且-2t0,求函数f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x2-ax+b,由题意得 QUOTE 即 QUOTE (2)由(1)得,f(x)=x2-ax=x(x-a)(a0),当x(-,0)时,f(x)0,当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),

7、(a,+),单调递减区间为(0,a).(3)g(x)=x2-ax+2,依题意,存在x(-2,-1),使不等式g(x)=x2-ax+20成立,即x(-2,-1)时,ax+ QUOTE 成立.故只要a QUOTE ,又x+ QUOTE -2 QUOTE ,当且仅当“x= QUOTE ”即x=- QUOTE 时等号成立,所以满足要求的a的取值范围是(-,-2 QUOTE ).【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点:1.“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别:第(1)题涉及曲线在某点处的切线,要讲清曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”P(x0,y0)的切线的区别,曲线y=

8、f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,并且切线是唯一的一条切线;曲线y=f(x)“过”点P(x0,y0)的切线是指切线经过P点,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的切线可能有多条.2.注意两种说法:第(3)小题中“g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间”与“g(x)在区间(-2,-1)内单调递减”不同:前一种只需“g(x)0在区间(-2,-1)上能成立”,而后一种应满足“g(x)0在区间(-2,-1)上恒成立”.3.能够准确转化:第(3)小题对于不等式能成立,要能够准确转化为a QUOTE ,而不是a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x0,1时,

9、求f(x)取得最大值和最小值时x的值.【解析】(1)f(x)定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2,令f(x)=0得x1= QUOTE ,x2= QUOTE ,x1x2,所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2),当xx2时f(x)0;当x1x0.所以f(x)在 QUOTE 和 QUOTE 内单调递减,在 QUOTE 内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2= QUO

10、TE 处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.8.(2014江西高考)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) QUOTE ,其中a0得x2,所以f(x)的单调递增区间为 QUOTE ,2,+).(2)f(x)=(8x+4a) QUOTE + QUOTE = QUOTE = QUOTE ,令f(x)=0得x=- QUOTE 或x=- QUOTE ,f(x)在定义域上的单调性为 QUOTE 上单调递增, QUOTE 上单调递减, QUOTE 上单调递

11、增.从而需要讨论- QUOTE ,- QUOTE 与1及4的大小.当- QUOTE 4或- QUOTE 1,即a-40或-2a0时,f(x)在1,4上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8,解得a=-22 QUOTE ,均需舍去;当- QUOTE 1且- QUOTE 4,即-10a-8时,f(x)在1,4上单调递减,故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8,解得a=-10或a=-6(舍去);当1- QUOTE 4,即-8a-2时,f(x)的最小值为f QUOTE ,因为f QUOTE =0,所以不成立;当1- QUOTE 4,即-40a-10时f(x)在

12、QUOTE 上单调递增,在 QUOTE 上单调递减,f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个,根据上面的得均不成立.综上所述a=-10.【加固训练】(2014同仁模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.【解析】(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的情况如下:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)-ek-1所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间

13、0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,在区间0,1上,k1时,f(x)最小值为f(0)=-k.1k2时,f(x)最小值为f(k-1)=-ek-1.k2时,f(x)最小值为f(1)=(1-k)e.书是我们时代的生命别林斯基书籍是巨大的力量列宁书是人类进步的阶梯高尔基书籍是人类知识的总统莎士比亚书籍是人类思想的宝库乌申斯基书籍举世之宝梭罗好的书