三角恒定变形

1、三角恒等变形及应用三.要点精讲两角和与差的三角函数sin(以 P) = sin 以 cos P 土 cos 以 sin P ；cos(a P) = cos a cos P sin a sin P ；tan a tan P tan(aP) = 1 tan a tan P。二倍角公式sin 2a = 2sin a cos a ；cos2a = cos2 以 一 sin2 以=2cos2 以 一 1 = 1 一 2sin2 以；tan2以- 2 tan a一 tan2 a 三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同 角；三角公式的逆用等。(2)化简要求：能求

2、出值的应求出值；使三角函数种数 尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函 数。降幕公式.11 一 cos 2a1 + cos 2asin a cos a = sin 2a ； sin 2 a =cos2 a =22辅助角公式a sin x + b cos x =；a 2 + b 2 - sin (x + 中)，b -一其中 sin 甲=,.=，cos 甲= a 2 + b 2va 2 + b 2三角函数的求值类型有三类给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系， 利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；给值求值：给出某些角

3、的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题 的关键在于“变角”，如a= ( a + P )-P, 2以=(a + P ) + ( a-p )等，把所求角用含已 知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所 求角的范围及函数的单调性求得角。三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁 为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采 用代入法、消参法或分析法进行证明。四.典例解析题型1：两角和与差的三角函

4、数例 1.已知 sin 以 + sin。= 1，cos 以 + cos。= 0，求 cos（以+。）的值。分析：因为（以+。）既可看成是以与。的和，也可以看作是亶了 的倍角，因而可 得到下面的两种解法。解法一：由已知sin a +sin P =1，cos a +cos P =0，2+2得 2+2cos （以p） = 1；cos （以-P）= -。222 得 cos2a +cos2 p +2cos （以+ p ） = 1，即 2cos （a + p ） o （以一p） +1） =1。cosG + P）= -1解法二：由得2sin、 cos生y = 1由得 2 cos a + P cos a =

5、0 TOC o 1-5 h z 2a + P 八：得cot= 0,2a + P a + P - tan 2 cot21cos（a + P ）= 1a + P a + P -+ tan 2 cot 2+12点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组 解sina、cosa、sin P、cos P，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧第2页共15页应用。例 2 . 已知t织,n P是方程x2田x + =的两个5实根根6,求)2sin 2 (a + P )-3sin (a + P )co

6、s (a + P )+ C0S2 (a + P )的值。分析：由韦达定理可得到tana + tanP及tanatanP的值，进而可以求出 tan（a + p）的值，再将所求值的三角函数式用tanG + P）表示便可知其值。解法一：由韦达定理得 tan a + tan P = 5, tan a - tan P = 6,tan a + tan P 5 所以 tan J + P)= nan 以. tan P = 了二62 x 1 3 x(1)+11+1原式 2sin 2 (a + P )- 3sin (a + P )cos (a + P )+ cos2 (a + P ) 、sin2 (a + P )

7、+ cos2 (a + P )tan2 (a + P ) 3tan (a + P )+1tan 2 (a + P )+1解法二：由韦达定理得 tan a + tan P = 5, tan a - tan P = 6,tan a + tan P 5 所以 tan (a + P)= 1-tan a tan P =奇 于是有a + P = k兀+兀(k e Z),4f E 33sinC 3 12kR +兀+ cos2f 31 4 J2L 2 JL 4 J原式=2sin23 1 = 1+ + = 3。2 2点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结 构，从而寻找解答本题

8、的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关 键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数 关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用， 而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具 有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆 用公式，变形式也要熟悉，如cosCx + P)cos P + sin (a + P )sin P = cos a,tan(a + P)(- tan a tan P )= tan a + tan P, tan (a + P )

9、tan a tan P = tan (a + P )- tan a - tan P， tan a + tan P + tan (a + P )tan a tan P = tan (a + P )题型2：二倍角公式例3.化简下列各式:(1) 1 1 ：!_1 1 1 + 2 22 2+ cos 2a a g,2兀力(2)cos2 a 一 sin2 a-/兀一) 2cot + a cos214 )a l， ，工分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2a是以的二倍，以是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角:+ a + ：-a = ：,442若注意到这两大特征

10、,，不难得到解题的切入点。3兀1解析：因为2 a 2兀，所以2 21+ cos 2a = |cos a | = cos a ,3兀 a11又因 兀，所以i, cos a =422 2 asin 2 a=sin ,2a 所以，原式=sin。(2)原式=2 tan/兀) a14 Jcos2jL 4 J2 sinL 4 Jcos了 一 aL 4 Jcos 2acos 2acos 2acos 2a TOC o 1-5 h z .兀）cos 2asin2a12J点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2a是a的二倍，要熟- 兀兀悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2a，+a,，a三个

11、角的内在联系的4（兀，c ）（兀一）（兀，）cos 2a = sln一土 2a=2sln acosaL 2)L 4 )L 4 )是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，作用，消元，切割化弦，异名化同名，sln2a1+cos2a，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形cosa = 2sma，cosa =.1-cos勿sin2 a =例4.若cos3 177sin 2 x + 2cos2 x，兀v x v兀，求的值。5 1241 - tan x分析:(兀t兀(兀t+ x，及2 x = 2+ xL 4 )4L 4 )注意X =兀的两变换，就有以下的两种解法。解法

12、,17一一 :由兀v x v 兀，(兀t3.(兀t+ x=，sln + xL 4 )5L 4)4乂因 cos=122sln x cos x + 2sln 2 x原式=1 - tan x28752sln x cos x (1 + tan x) 解法二：原式=1 - tan x. c ，(兀)=sin 2x - tan 一 + x4)而 sln2x = sin(兀tcc(兀t-cos2+ x =2cos2 + x-1L 4 )L 4 )兀2725cos x = cos(兀t+ xL 4 )兀4=cos(兀L 4t+ x)兀 cos 4+ sln(兀L 4t+ x).兀 sl.从而sln x =7整

13、，tan x=7.510=10，/兀tan - + xk47Asin - +xk47cos 仔 +k 4所以，原式7254 A3 72875兀A点评:此题若将cos + x3兀兀.3十，、.=一的左边展开成coicoxsin sinx=-再求cosx, sinx445兀，.、，土八 兀 A 兀 一的值，就很繁琐，把-+琳为整体，并注意角的变换2. h+十a+2x，运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发 现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如 2a =（d + p）+（a P），2P = G + ）-（a - P）2以 +

14、P = 2（a + P） P，2a P = 2（x P）+ P，a = （x + p）p，a = （x P）+ P，P = （x + P）ol，P=（a P）+以等。题型3：辅助角公式兀，7 兀 TOC o 1-5 h z a sin 一 + b cos 8兀例5.已知正实数a,b满足5 = tan上，求一的值。兀7 .兀15aa cos b sin 55分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式 可化为关于b的方程，从而可求出由b，若注意到等式左边的分子、分母都具有aaa sin 0 + bcosO的结构，可考虑引入辅助角求解。.兀.b 兀 .8 _sin +

15、cos sin兀解法一：由题设得一0一5 = 一敦 n兀b .兀8 _cos 一 sin cos 兀5 a 515sin 8 - cos 一 cos 8 - sin sin155155 , . 8 一 . cos - cos + sin - sin155155)一一15工一)cos K15解法二： 因为a sin 命 + bcos : = ：a2 + b2.( sin - + 5 J兀，兀 LT- ( a cos 5 b sin-5 寸a2 + b2 cos ；+ 甲(由题设得tan +甲5:k +J8 日 ，即 15tan(, k +所以:+甲二b , “ 故一=tan甲a.,兀 k 兀 +

16、 ,3tan 3.35 J8兀 tan .15其中tan甲=兀 b tan + 解法三：原式可变形为:一,b 兀1 一 一 tan a 5勺tan-8 兀，15兀tan + tan 以则有5.兀1 - tan a - tan5/兀=tan 7 + a5J8tan 兀，15 由此可a + 一 k5故 tan a = tan k+ 兀(k e Z),所以以kn+ ，(k e Z)153+ 3 Jtan 一 一 p3，即，一、.：33a点评：以上解法中， 式联想，引入方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模辅助角，技巧性较强，但辅助角公式a sin a + b cos a =a 2 +

17、 b 2 sin(a+甲)， 其中tanp -：a2 + b2 cos(以一中),| 其中tan中，或 asina+bcoaa .在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关 b J注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三第7页共15页最佳。 TOC o 1-5 h z 3例 6. (2000 全国理，17)已知函数 y= cos2/ sinxcosx+1, xR.当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；该函数的图象可由y=sinx (xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?、3(理)(1) 解析：y=77cos2x sinxcosx+12113= (2cos

18、2x1)+r (2sinxcosx)+1 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 441 据.5=cos2x+sin2x+ HYPERLINK l bookmark179 o Current Document 444兀兀5 (cos2x sin ) + sin2x cos 二)+ ; HYPERLINK l bookmark89 o Current Document 664 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 兀5=sin (2x+;)+h64兀 兀y取得最大值必须且只需2x+ 6 = 2 +2届,隹

19、乙即 x= +kn , kZ。6兀所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为xlx= - +kn , keZ0(2)将函数y = sinx依次进行如下变换：把函数y=sinx的图象向左平移:，得到函数y=sin (x+ :)的图象;6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数j sin (2x+m )的图象;61把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数1兀广2sin+ 6)的图象；1 兀 5把得到的图象向上平移4个单位长度，得到函数广尹此好& )+ 4的图象;综上得到函数J= 0 cos2x+药-sinxcosx+1的图象。点评：本题主要考查三角函

20、数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技 能以及运算能力。(2000 全国文，17)已知函数 j= t3 sinx+cosx, xR.当函数j取得最大值时，求自变量x的集合；该函数的图象可由j=sinx (xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1) j= f3 sinx+cosx=2 (sinxcos; + cosxsi ) = 2sin (x+二)，xR66j取得最大值必须且只需x +2kn , kZ,62即 x= ； +2kn , keZo兀所以，当函数j取得最大值时，自变量x的集合为xlx= y +2kn , keZ(2)变换的步骤是：兀兀把函数j=sinx的图象向左

21、平移6，得到函数j=sin (x+ -)的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y 2sin (x+ )的图象;经过这样的变换就得到函数y= $ sinr+cosx的图象。点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及 运算能力。题型4：三角函数式化简例 7. (1995 全国理，22)求 sin220+cos250+sin20 cos50 的值。 TOC o 1-5 h z 111解析：原式=(1cos40)+(1 + cos100)+(sin70sin30)111= 1+ (cos100cos40)+sin70 l1=sin70

22、sin30+ 7； sin702 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 113= sin70+77 sin70= HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 224点评：本题考查三角恒等式和运算能力。1 一 2 sin(2x一) 例8. (06北京理，15)已知函数f (x)=cos x求f 3)的定义域;4、(II)设a的第四象限的角，且tan a =-3，求f (a )的值。n解析：(I)由 cos x 丰 0 得 x 丰 kn + (k g Z)，一、I - 兀一 _、故f在定义域为0,ae R),

23、x且fx)的图象在J轴右侧的第一个高点的横坐标为；6求的值；如果fx)在区间-=，斗 上的最小值为十2，求a的值。6 TOC o 1-5 h z 、 、31 、*3兀、：3解析:(I) f(x)=cos2sx + sin 2sx + + 以=sin(2sx + ) + + a22232依题意得2S.； + ： = = nS = !6 322 一. 兀 3(II)由(1)知，f (x) =sin(x + ) +a。又当 x e - 时，x + ；e。，;,故-；V sin + ) V 1,从而 f (x)在区 3 63623间n ,，6t上的最小值为J3=-3,3 +1+ a，故 a =22 H

24、YPERLINK l bookmark96 o Current Document 兀兀例 10. (06上海理，17)求函数y =2cos(x + )cos(x- ) + v3sin2x 的值域和4最小正周期。解析：y=cos(x+ ) cos(x )+、3 sln2x=cos2x+ 侦3 sln2x=2sln(2x+ ), 446 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 兀兀函数y=cos(x+ ) cos(x彳)+十3 sln2x的值域是2,2,最小正周期是n题型6：三角函数综合问题-八 一八 兀 八 兀例 11.已知向量a = (sin9,1)

25、,b = (1,cos0),-亍。. （II）求a + b的最大值。 一TT解析：(1) a L b, n aCb = 0 n sin9 + cos9= 0 n9=- 4 ；,(2). a + b = |(sin 9 + 1,cos 9 +1) = J (sin 9 +1)2 + (cos9 +1)2=；sin2 9 + 2sin 9 +1 + cos2 9 + 2cos 9 +1 =、：2(sin 9 + cos9) + 3=：2* 2 sin(9 + j + 3最大值为2 2 + 3 = t2 +1冗、， 冗当sin（9 + 丁）=1时a + b有最大值，此时9 =44，点评：本题主要考察

26、以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0； 2,特殊角的三角 函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模， 难度中等，计算量不大。例 12. (2001 天津理，22)设 00 0 兀 cos 0 - sin 0 0 ( 2 )兀o 00 。设四个交点的坐标为(, y.) (i=1, 2, 3, 4),则：x2+y2=2cosQ (七2 , 2) (i=1, 2, 3, 4)。故四个交点共圆，并且这个圆的半径片京cos。( 4.2 应).点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本 方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。题型

27、7：三角函数的应用例13.有一块扇形铁板，半径为R,圆心角为60，从这个扇形中切割下一个内接 矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积.分析：本题入手要解决好两个问题，内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理；求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。解析：如图 2-19(1)设ZFOA=0，则 FG=Rsin。，EF在 ZiOEF 中；sm(60 T)Rsinl20o,2Rsin(60 -6.EF =又设矩形EFGH的面积为S,那么S = FGEF =R2c0s(2-6O ) - cos60 E?1cos(2 -60 )

28、 +-又V00 60，故当cos(20 60 ) = 1,即。=30时，TTttF 曰 I i F , R1 HZS取得最大值为-(1-)如图 2-19 (2),设/FOA=e，则 EF=2Rsin(30e ),在OFG 中，ZOGF=150F Gp故一T = . 1 w 即FC =丞洒B sim? sin 1 JU设矩形的面积为S.那么 S=EFFG=4R2sine sin(30 -0 )= 2R2 cos(20 30 ) cos30 = 2R2c0s(2 -30又.0e 30，故当cos(20 30 ) = 1即8 =15时,S取最大值为W(l-=R书)/ 毛-书)R6:.因此内接矩形的最大面积为冬？。五.思维总结从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出