三个二次的求解策略

1、三个二次的求解策略高中数学总复习专题之1 函数是高中数学的重要部分，它贯穿了整个高中数学的内容，也是历年高考的重点及热点，它渗透着分类讨论、化归转化、数型结合、函数与方程等数学思想方法，近几年高考题中涉及到三个“二次”及其应用的题型频繁出现，很受命题者的青睐 ，因此，弄清三个“二次”的知识也就少了块学好数学的拌脚石。本专题借三个“二次”去研究函数问题，特别是“二次”在区间的最值、恒成立、根的分布问题 . 2专题目录知识要点二次函数的区间最值二次不等式恒成立问题二次方程根的分布问题3一、知识要点4一、知识要点1.二次函数的三种解析式：一般式：顶点式：两根式：52.二次函数的图象及性质：顶 点：递

2、减区间：递增区间：3.三个“二次”的基本关系：一、知识要点6一、知识要点（三个“二次”的基本关系）71.已知二次函数 的图像如图所示，请问你能获取哪些信息？一、知识要点(练习)系数a、b、c对抛物线的位置有何影响？ 动画82.若抛物线 与x轴、y轴分别相交于M、N两点，且线段OM=ON，再观察一下，下列哪个选项是正确的？（A）ac+b+1=0 （B）ac+b-1=0（C）ac-b+1=0 （D）ac-b-1=0一、知识要点(练习)9一、知识要点(练习)3.若 对任意实数都有 ，那么 、 、 、 中哪个最大？哪个最小？NM01xy10二、二次函数在区间内的最值11求解二次函数 在区间 最值，其解

3、法是抓住“三点一轴”即区间端点、区间中点和对称轴。注意分对称轴(顶点横坐标)在区间的左、中、右三种情况进行讨论(下面以开口向上即a0的抛物线为例,开口向下依此类推)。对称轴位置最小值最大值二、二次函数的区间最值12二、二次函数的区间最值(定轴定区间)O1xy2313二、二次函数的区间最值(定轴定区间)1yO223x14二、二次函数的区间最值(定轴定区间)321yO2x15二、二次函数的区间最值(定轴定区间)1O2y23x16二、二次函数的区间最值(定轴动区间)yO12xtt+117二、二次函数的区间最值(定轴动区间)yO12xtt+118二、二次函数的区间最值(定轴动区间)yO12xtt+11

4、9二、二次函数的区间最值(定轴动区间)综上：20二、二次函数的区间最值(定轴动区间)解:由上题知综上：略。21二、二次函数的区间最值(动轴定区间)2yOx22二、二次函数的区间最值(动轴定区间)2yOx23二、二次函数的区间最值(动轴定区间)2yOx124二、二次函数的区间最值(动轴定区间)2yOx125解：（I）当 a = 0, f (x) 为偶函数；当 a0, 非奇非偶。（II）( i ) 当 , 若 , 若 , 例2： 设 a 为实数，函数 f (x) = x2+ | x a |+1 , x为实数。 （I）讨论f (x) 的奇偶性； （II）求f (x) 的最小值。 （2002年高考题）

5、二、二次函数的区间最值0.526( ii ) 当 , 若 , 若 , 函数 f(x) 的最小值f(x)min = 综上所述:二、二次函数的区间最值-0.527练习1: 已知函数求 的最值。最大值为 ,最小值为变式1：若 ，求 的最值。变式2：若 ，求 的最值。最大值为 ,最小值为最大值为 ,最小值为二、二次函数的区间最值（定轴定区间）28练习2: 求函数 在区间-1,1上的最小值。练习3：若函数 在区间-1,1上的最大值为6，求a的值。二、二次函数的区间最值（动轴定区间）29练习4: 已知函数x-b,b,b0.若f(x)的最大值是7，求b的值。b=1二、二次函数的区间最值（定轴动区间）30例3

6、. 已知 的最大值为100，求a的值。解：由已知对称轴为当 即 时，则有 得 ,矛盾，故舍去。当即 时，则得 。当 ，即 ,与已知矛盾。综上， 。二、二次函数的区间最值（动轴动区间）131三、不等式恒成立问题32(一)二次不等式在R上恒成立三、不等式恒成立问题33(二)二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题A.B.注：数形结合思想、分类讨论思想的运用。三、不等式恒成立问题34例1.若函数 在R上恒有y0，求m的取值范围。35二、二次函数的区间最值f(x)=2(x-)2+m-m-90, 即m9解：设f(x)= 2x2-9x+m, x2,3问题等价于f(x)max0例2. 关于x的不等式在区

7、间 2,3上，求实数m的取值范围恒成立f(3)=m-936则f (12x2 + 4a2) f ( 34ax)12x2 + 4a2 34ax ,令g(x) = x22ax +12a2 = (xa)2 +13a2, 例3. 定义在R上的奇函数 f (x)，当x0时， f (x)是减函数，如果当 时,不等式f (12x2 + 4a2) + f ( 4ax3)0恒成立,求a的范围。解：由题意:奇函数f (x) 在R上是减函数,即x2 2ax + 12a20对任意x0,1恒成立.其图象顶点横坐标为a .三、不等式恒成立问题37 例4. 关于x的不等式在区间 2,3上，求实数m的取值范围恒成立23则 m9

8、设f(x)= 2x2-9x+m, x2,3据题意：函数f(x)2x2-9x+m的图象与x轴的两交点分别在区间(-, 2，3，+)内，解：38910y=m23则问题mg(x)min m9记g(x)= -2x2+9x, x2,3)2+g(x)= -2(x-x 2,3例4. 关于x的不等式在区间 2,3上，求实数m的取值范围恒成立39解：据题意，=81-8m0由已知得: m9不等式解集为：例4. 关于x的不等式在区间 2,3上，求实数m的取值范围恒成立40练习与作业：1.不等式 在区间2，3上恒成立 求实数m的范围。2.不等式 在区间2，3上有解， 求实数m范围。3.若对任意x (-1,1),恒有

9、求实数a的取值范围。4.已知函数(1)当a=1/2时,求f(x)最小值.(2)若对任意f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。41 (1) 当a0时，g(x)min= g(0)0， (2) 当0 a 1时，g(x)min= g(a)0， (3) 当a 1时，g(x)min= g(1)0， 综上所述：即12a2 0, 即13a2 0, 即a2 + a 10, 但a 1, 无解.令g(x) = (xa)2 +13a2, 三、不等式恒成立问题42四、二次方程根的分布问题43解：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得：请同学们思考一下：这种解法错在哪里？例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小

10、于1的实根，求 m的取值范围。错因分析：44正解:设x1, x2为方程的两根，则由题意可得：例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根， 求m的取值范围。45另解:用图象法,令则为开口向上,对称轴为的抛物线,它的图象如右图所示:例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根， 求m的取值范围。0 xy1x1x246(一)符号根问题：从、x1+x2、 x1x2三方面列不等式（组）两正根两负根异号根四、二次方程根的分布问题47(二)区间根问题：从、顶点横坐标、 端点值三方面列不等式（组）充要条件图象类别四、二次方程根的分布问题x48 两实根都小于ky0 xkx1x20

11、xyx1x2kkx1x2x1x2kkk49 两实根都大于ky0 xx1x2ky0 xx1x2k50 两实根在区间y0 xx1x2y0 xx1x251 两个实根满足y0 xx1x2y0 xx1x252 两个实根有且仅有一根在区间yx1x20 xyx1x20 xyx1x20 xyx1x20 x53例实数m为何值时，方程7x2-(m+13)x-m-2=0的两个实根解：y0 x12由二次方程实根的分布可得：54则问题转化为： 在 0，2上有实根,【解】由例3。设集合若 求a的取值范围. 四、二次方程根的分布问题55则原题等价于或解得：故： 在 0，2上有实根,四、二次方程根的分布问题56课堂练习： 如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中，一个大 于3