标准偏差和相对标准偏差

1、PAGE PAGE 15标准偏差出自 MBA智库百科( HYPERLINK / wiki.mbalib./)标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据 HYPERLINK /wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%A8%8B%E5%BA%A6 o 离散程度 离散程度的 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%8C%87%E6%A0%87 o 统计指标 统计指标。是指 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1 o 统计 统计结果在某一个时段误差上下波动的幅度。是 HYPERLINK /wiki/%E6%AD%

2、A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 o 正态分布 正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E7%90%86%E8%AE%BA&action=edit o 误差理论 误差理论、 HYPERLINK /wiki/%E8%B4%A8%E9%87%8F%E7%AE%A1%E7%90%86 o 质量管理 质量管理、 HYPERLINK /wiki/%E8%AE%A1%E9%87%8F%E5%9E%8B%E6%8A%BD%

3、E6%A0%B7%E6%A3%80%E9%AA%8C o 计量型抽样检验 计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit o 贝塞尔公式 贝塞尔公式计算。 样本标准差的表示公式数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个

4、 i-物料中某成分的各次测量值，1n； 标准偏差的使用方法 HYPERLINK /wiki/Image:%E6%A0%87%E5%87%86%E5%81%8F%E5%B7%AE%E4%BD%BF%E7%94%A8%E6%96%B9%E6%B3%95%E7%A4%BA%E5%9B%BE.jpg o 标准偏差使用方法示图 z 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%B7%E6%9C%AC o 样本 样

5、本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%95%B0%E7%9B%AE o 样本数目 样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是 HYPERLINK /wiki/%E6%8A%BD%E6%A0%B7 o 抽样 抽样的标准偏差。 六个计算标准偏差的公式 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_not

6、e-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占, 则有1 = li X 2 = l2 X n = ln X 我们定义标准偏差(也称 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE o 标准差 标准差)为 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差的常用估计贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明,

7、 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值之差剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差 , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、ln 则 通过数学推导可得真差与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差的一个估计值。它不是总体标准偏差。因此, 我们称式(2)为标准偏差的常用估计。为了强调这一点, 我们将的估计值用“S ” 表示。

8、于是, 将式(2)改写为 (2) 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2)可写为 (2) 按式(2)求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差的无偏估计 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1 o 数理统计 数理统计中定义S2为 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o 样本方差 样本方差 数学上已经证明S2是 HYPERLINK /w

9、/index.php?title=%E6%80%BB%E4%BD%93%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o 总体方差 总体方差2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕2散布, 它们之间没有 HYPERLINK /wiki/%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%AF%AF%E5%B7%AE o 系统误差 系统误差。而式(2)在n有限时,S并不是总体标准偏差的无偏估计, 也就是说S和之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差的无偏估计值为 (3) 令 则 即S1和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数,

10、K值见表。 计算K时用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 当n30时, 。因此, 当n30时, 式(3)和式(2)之间的差异可略而不计。在n=3050时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n50时的情况, 当n50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 2.5标准偏差的 HYPERLINK /wiki/%E6%9E%81%E5%B7%AE o 极差 极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。 极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。

11、若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则 R = lmax lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 (5) S3称为标准偏差的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2 由表2知, 当n15时, 因此, 标准偏差更粗略的估计值为 (5) 还可以看出, 当200n1000时，因而又有 (5) 显然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。 应指出,式(5)的 HYPERLINK /wiki/%E5%87%86%E7%A1%AE%E5%BA%A6

12、o 准确度 准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5n15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、, 再由各组极差求出极差平均值。 极差平均值和总体标准偏差的关系为 需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。 标准偏差的平均误差估计平均误差的定义为 误差理论给出 (A) 可以证明与的关系为 (证明从略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 从而有 式(6)

13、就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计值, 由于right|Vright|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1对标称值Ra = 0.160 m 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.

14、46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求标准偏差S 若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。 表3 组号l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每组为5个数据, 按n=5由表2查得 故 若按常用估计即贝塞尔公式式(2) , 则 若按无偏估计公式即式(3)计算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 则 若按 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%80%E5%A4%