新北师大版九年级上册初中数学 2.2.2配方法 教案

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二章 一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程2.2.1直接开平方法1.会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤. 用配方法求解一元二次方程.理解配方法.1.什么叫配方法?2.怎样配方?方程两边都加一次项系数一半的平方.3.解方程:(1)x2+4x+3=0;(2)x2-4x+2=0.教师:我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念,现在同学们来讨论一下你能解哪些一元二次方程?学生甲:等式x2=4就是一元二次方程,像这样类型的方程我们就能解.学生乙:方程(x+3)2=9,我们也可以解,即是要求x+3,使

2、它的平方等于9,而9的平方根是3和-3,所以x+3=3或x+3=-3,因此x=0或x=-6.教师:乙同学分析得很好,大家听清楚了没有?好,下面大家看大屏幕.出示投影片2.2.1B你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x2=5;(2)3x2=0;(3)x2-4=0;(4)2x2-50=0;(5)(x+2)2=5;(6)(x-3)2=6;(7)2x2+50=0.学生甲:方程(1)的根为5,-5,因为x是5的平方根.方程(2)的根为0,因为方程3x2=0可以化为x2=0,即x是0的平方根.学生乙:方程(3)可以通过移项化为方程(1)的形式,即x2=4,所以方程(3)的根为2,-2.方程(4)

3、也可以通过移项化为方程(2)的形式,即2x2=50,然后再化为x2=25,因此方程(4)的根为5,-5.学生丙:解方程(5)和(6)时,只要把x+2和x-3当作整体看待,其形式就如方程(1),这样方程(5)和(6)即可求解.方程(5)就是求x+2,使它的平方为5,则x+2=5或-5,因此,x等于-2+5或-2-5.方程(6)就是求x-3,使它的平方为6,则x-3=6或-6,因此,x等于3+6或3-6.学生丁:方程(7)通过移项得2x2=-50.而由平方根的性质可知负数没有平方根,所以没有一个实数适合这个方程.教师:同学们分析得真棒,大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程,这种解一元二次方程

4、的方法叫作直接开平方法.其中适合方程(7)的实数x不存在,所以原方程无实数根.从刚才的解题过程中,我们知道了一元二次方程如果有根,那么它有两个根,这两个根可以是相等的,如方程(2),也可以是不相等的,如方程(1)(3)(4)(5)(6),所以我们在书写时,通常用x1,x2表示关于未知数为x的一元二次方程的两个根.注意:(1)方程3x2=0有两个相等的实数根,即x1=0,x2=0.这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的.(2)刚才我们解的一元二次方程,可用ax2+c=0(a0)的形式来表示.当a,c异号时,方程ax2+c=0有两个不相等的实数根;当a,c同号时,ax2+c=0没有实数根

5、.好,接下来同学们看大屏幕.出示投影片2.2.1C判断下列方程能否用直接开平方法来求解?如何解?(1)x2-4x+4=2;(2)x2+12x+36=5.(分组讨论)学生甲:方程(1)能用直接开平方法来求解.因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式,右边是一个正数,所以它可以化为(x-2)2=2.这样利用直接开平方法可求得x-2=2,即x1=2+2,x2=2-2.学生乙:方程(2)也能用直接开平方法来求解,方法同解方程(1),即原方程化为(x+6)2=5.两边开平方,得x+6=5,即x1=-6+5,x2=-6-5.教师:很好,同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路,谁来给大家叙述一下呢?学生丙

6、:解一元二次方程的基本思路是把原方程化为(x+m)2=n(n0),然后两边开平方,这样原方程就转化为两个一元一次方程.教师:真棒,实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程,即将原方程“降次”,“降次”也是一种数学思想.下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的精确值,同学们先来想一想.出示投影片2.2.1D解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-15=0转化成(x+m)2=n的形式吗?学生:解方程x2+12x-15=0的困难就是怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方式,右边变成一个常数.教师:噢,那同学们想一想完全平方式的特征是什

7、么?学生:完全平方公式是a22ab+b2=(ab)2.教师:好,下面大家来做一做.出示投影片2.2.1E填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+10 x+=(x+5)2;(2)x2-8x+=(x-)2;(3)x2+8x+=(x+)2.学生甲:(1)的左边应填25.(2)的左边应填16,右边应填4.(3)的左边应填16,右边应填4.学生乙:老师,我看出来了,这三个等式的左边填的常数是一次项系数一半的平方,而右边填的是一次项系数的一半.是吗?教师:大家说呢?学生:是.教师:好,我们理解了完全平方式的特征后,把方程x2+12x-15=0转化为(x+m)2=n的形式.师生共析:x2+12x-15=0

8、,可以先把常数项移到方程的右边,得x2+12x=15.两边都加62(一次项系数12的一半的平方),得x2+12x+62=15+62,即(x+6)2=51.教师:接下来能否求出方程x2+12x-15=0的精确值,即梯子底端滑动的距离呢?学生:能,给方程两边开平方,得x+6=51,即x+6=51或x+6=-51.所以x1=-6+51,x2=-6-51.教师:噢,所以梯子底端滑动了(-6+51)m或(-6-51)m.学生:老师,梯子底端滑动的距离是正数,不能是负数,所以x1是原问题的解,而x2不是.教师:大家说,对吗?学生:对.教师:很好,x1,x2是方程x2+12x-15=0的根,但x2不是原问题

9、的解,所以应舍去.我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15=0的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.例2解方程:3x2+8x-3=0.师生共析:将二次项系数化为1后,用配方法解此方程.解:两边都除以3,得x2+83x-1=0.配方,得x2+83x+432-432-1=0,即x+432-259=0.移项,得x+432=259.两边开平方,得x+43=53,即x+43=53或x+43=-53.所以x1=13,x2=-3.从上面例题可以归纳总结出用配方法解一元二次方程的步骤:(1)把二次项系数化为1.(2)配方,方程两边都加一次项系数一半的平方.(3)移项,方程的一边为完全平方式,另一边为常数.(4)求根,用直接开平方法求出方程的根.做一做一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2.小球何时能达到10 m高?学生:根据题意,得15t-5t2=10.把二次项系数化为1,得t2-3t=-2.配方,得t2-3t+-322=-2+-322=14,即t-322=14.所以t-32=12.所以t1=1,t2=2.所以在1 s时小球上升到10 m处;至最高点后下落,在2 s时,小球的高度为10 m.【巩固练习】教材随堂练习补充练习:用配方法解下列方程:(1)4x2-12x-1=0;(2