初中数学题及符号集合(附详细解答)

1、符号： A x2 90%=1、怎么用尺规作图过直线外一点作直线的垂线？过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是直线的垂线。 可以用三角形全等来证明。 两条等宽的纸条倾斜相交注意不垂直 求证：四边形ABCD是菱形 证明：很容易证明是平行四边形。两种思路：由两平行线距离相等， 且由平行四边形面积公式可得，这平行四边形底也相等，所以邻边相等由两平行线距离相等推出三角形全等，得邻边相等。如图,各点坐标:A1(1，0) ，A2(1，1) ，A3(-1，1) ，A4(-1，-1) ，A5(2，-1) ，A6(2，2) ，A7(-2，2) ，A8(-2，-2) ，

2、A9(3，2)求A2007的坐标.解:(周期性)由A1+42 A1(1，0) (+2，+2) A1=4501+3 A9(3，2) A2005A2005(502,-501) A2006(502,502) A2007(-502,502)ABC的中线为BD，过B作BEAC，过A作AEBD，AE与BE相交于E，连结CE交BD于点O问：BD与CE是何关系？请给出证明。BD与CE相互平分证明：连结ED由EBAD=CD得四边形EBCD是平行四边形平行四边形对角线相互平分如下图，在ABC中，M是BC中点，AN平分BAC，BNAN。假设AB=14,AC=24,求MN的长。解：延长BN到D，那么ABNADN(AS

3、A) N为BD中点NM为BCD的中位线 NM=DC=24-14=56、矩形内有一点P到各边的距离分别为1,3,5,7，那么该矩形的最大面积为 64 平方单位。解：面积长宽当长和宽越接近时越大。所以长=宽=8时面积最大。面积为88=647、三角形三边长为，5，2，求最大边上的高为设x，由21- x222(5- x2) =x=4.2 h= HYPERLINK l _top 8、如下图，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G。BG=4，那么CEF的周长为8首先AG2= 6242=AG=2由ABGEBG得EG=AG=2 且BE=BA由F=

4、BAF=DAF得DF=AD=9 FC=96=3由平行线分线段成比例得FE:AE=FC:CD得FE=2由EC=96=3CEF的周长为3+2+3=89、平行四边形是中心对称图形。10、把两个全等三角形按各种方式拼成四边形，那么这些四边形中平行四边形有3个。11、把三边长为4、5、6的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 6 种不同的四边形，其中有3 个平行四边形。 12、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有3个。13、以不在一条直线上的三个点A、B、C为顶点作平行四边形，这样的平行四边形可作 3 个。14、平行四边形两邻边上的高是2和3，高的夹角是，那么周长是20解：显然BAF=，设

5、BF=x，那么AB=2x由=12 =x=2 AB=4 同理得BC=6 平行四边形的周长为(4+6)2=2015、如下图：矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板，那么矩形ABCD的周长为 8 解：过G作GHAE于H，那么图中分成四个相似的直角三角形 由GH=4，AH=2得AG2= AH2HG2得AG=2 由相似比2：2=2：GD=GD= 由相似比2：4=4：AB=AB= 矩形ABCD的周长为(2+)2=816、如下图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠局部是一个菱形，问：当两张纸条垂 HYPERLINK l _top 直时，菱形的周长为最小，为什么？那么最小值为多少？什

6、么时间菱形的周长最大？最大值是多少？解：显然在打斜时菱形的边长变长此时AE=2,显然AE x=10046、一组数据的方差是2，将这组数扩大到原来的3倍，那么所得新数据组的方差是18，为什么？解：利用公式=+=(+= +=2=1847. 一个样本M的数据是：，它的平均数是5；另一个样本N的数据是：，它的平均数是34，那么下面结果一定正确的选项是A，请说明理由。A=9 B. =9 C. =3 D=3解：=n =(34n25n) =950. 一个样本的容量为80，分组后落在某一区间的频数为5，那么该组数据所占百分比为6.25%，为什么？解：频数：出现的次数即出现多少次5/80=6.25%51、某县抽

7、取200名学生进行调查，画出如下图的直方图。图中从左到右的4个小组所占百分比分别是4%，10%，16%，40%。那么第五个小组的频数是60，为什么？解：第五小组的频数为： 200(14%10%16%40%)=20030%=60. 【第五小组的频数即为第五组的人数(出现的次数)。】52. 如下图，正方形ABCD中，M为AB中点，BN平分CBE，且DMNM请用两种证法证明：DM=MN两种证法都是构造出全等三角形转化证法一：取AD中点F，连接MF 由DFMMBNASA得DM=MN证法二：过N作NGBE，NHBC 易得四边形NHBG为正方形；且证出四边形NHMB为平行四边形得MB=NH=BG=AM=N

8、G DAMMGN(AAS) 得DM=MN53、如下图，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF四边形ADEF是什么四边形，请证明。当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。解：由EBDCBA(SAS) =DE=AC，且AF=AC 同理DA=EF两组对边相等的四边形是平行很容易计算当BAC=-2-=时DAF=，这时四边形就为矩形很容易当BAC=时形成不了四边形54. 如下图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷

9、砖总数是多少？为什么？解:做这道题先明白一个原理(对下去)得:对角线上的小正方形块数和边上的块数相等.接下来就好办了.一条边的小正方形块数(101-1)2+1=51(块)一共有5151=2601(块)55. 如下图，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。问：PE是否过某一定点？并说明理由。恒过对角线的中点O。连结PE和AC，设它们相交于K。只需证明K为AC的中点，与O重合即可。(通过APKCEK(AAS)56. 如下图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)

10、长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥外表爬行到A点。求此蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米？解：因为OEOFEF10cm所以底面周长10cm将圆锥侧面沿OE剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE10cm，弧长等于圆锥底面圆的周长10cm设扇形圆心角度数为N，那么根据弧长公式得：N*10/18010所以N180即展开图正好是一个半圆因为F点是展开图弧的中点所以EOF90连接EA，那么EA就是蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形AOE中由勾股定理得EA2OE2OA210064164所以EA241cm即蚂蚁爬行的最短距离是241cm57. 如下图，矩形AB

11、CD，AD=6，AB=8，P为DC上一动点(不与D、C重合)，且BQAP。设AP=x，BQ=y，求x与y的函数表达式。解：(提示：用等面积法！(连结PB)58. 假设双曲线y=上两点：点A(4，2)、C的纵坐标为8，O为原点。求AOC的面积。解：先算出C(1，8) 作ABx轴于B,CDx轴于D, SAOC=SOCD)+S(CDBA)-S(OAB) =4+(8+2)*3/2-4 =1559抛物线y= 1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C。当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在BOC为等腰三角形的情形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由。解：首先由图象分析函数

12、只能在右边(B在原点右边)，m0 由y=0得0= +1 x=1m xBxA xB=1+m 由x0=yC=+1(注意是0) 由等腰直角三角形有|1+m|=|+1| 得1+m=-1 得-m-2=0 m=2(存在m使BOC为等腰三角形)60、如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，O为对角线的交点。现过点O作OEAC交AD于E。求AE的长。解：用等面积法+勾股定理：AOE的高是AB AO=AC= 由等面积法：AEAB=OE OE= 由勾股定理：= = AE=61. 如下图，在梯形ABCD中，ABDC，ADC=，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，求F到BC的距离。解：用面积法。AF=FD

13、=4=2 连接BF、FC 过点B作BEDC交DC于E。F到BC的距离为BFC中BC边上的高 那么SBFC=S梯形SAFBSFDCBC高 即：(14) 41242=BC高 而=BC=5 1014=高 高=2 F到BC的距离为2。62. 如下图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(1，2)和(1，0)，且与y轴交于负半轴。以下结论：abc0；2a+b0；a+c1；a1正确的选项是( )，为什么？解：显然a0，0=b0，c0由1=02a+b 由得b=1 a+c=1 a1631线段a=8， b=4， c=2.5， d=5，判断它们是否成比例线段？为什么？ 2线段a=8， b=4，

14、c=5， d=2.5，判断它们是否成比例线段？为什么？解：把四条线段按从小到大或从大到小排列，之后看是否成比例。它们都是比例线段。64.假设与(a0)均有意义，那么一定有(D)A. B. C. D以上结论都不对65. 某个图形上的各点的横、纵坐标都变成原来的1/2，连结各点所得的图形与原图形相比一定 是 (选“是/“不是/“无法确定)位似图形。为什么？解：某个图形上的点A的横、纵坐标为(m,n)，那么该点对应点为A(m/2,n/2)， 由y=kx+b 过(m,n) (0,0)得b=0 (m/2，n/2)一定过直线y=x所以O、A、A三点共线，且|OA|=2|OA|. 可知新旧图形位似，【位似中

15、心】为坐标原点O，【位似比】为1:2。66.二次函数y= x22x3在0 x2这个范围有没有最大值？假设有，请求该最大值；假设没有那么请说明原因。解：由图象得函数在此区间上无限接近最大值3，但始终取不到。没有。假设题目改为在0 x2这个范围那么函数有最大值3。67. 有一个病毒，经过两轮传染后共有169人得了病，假设每轮每个病毒传染人数相同，平均每个病毒传染了多少人？解：设平均每个病毒传染了x人 第一轮后，有x1个人被传染增加了x人，原来有1人，x1 第二轮后，有(x1)2个人被传染(即增加了(x1)x人，原来有(x1)人，(x1)x(x1)= (x1)2 ) (x1)2=169 x+1=13

16、负值舍去 x=12 答：平均每个病毒传染12人。68. 如下图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，ABOC，点A的坐标为0，8，点C的坐标为10，0，OBOC 1求点B的坐标； 2点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PHOB，垂足为H，设HBP的面积为SS0，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式直接写出自变量t的取值范围；3在2的条件下，过点P作PMCB交线段AB于点M，过点M作MROC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？解：(1)注意是OB=OC=10AB=6

17、 点B(6，8)(2)(由相似三角形得出面积的求法)SHBP=BHPH由BNOPHO(有两角)得=(注意NO=BA=6)即=10(10BH)=6030tBH=4+3t PH=84tSHBP=(4+3t)(84t) =16 t24t16(0t2)(不能取2)(5t=10)69.(典型题)如图1所示，抛物线y x2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，假设tanOAC=2.求抛物线对应的二次函数的解析式；在抛物线的对称轴L上是否存在点P，使APC=90，假设存在，求出点P的坐标：假设不存在，请说明理由。如图2所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点

18、M作直线LL，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t。当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？图1 图2解：(1) tanOAC=2 OA=1 二次函数经过C(0，2)，A(1，0) 二次函数解析式：y x23x2(2)(用相似或直角三角形知识都可以解！特别是相似)设对称轴L与x轴交于E点，过点C作CDL交L于D 且令CPD1，APE=2，PAE3注意APC90是条件对称轴：x 点P的坐标为(，PE)EA1 CDAPC90 1290 13解一用相似解：CDPPEA有两角 即 即2PEPE 解得PE或PE解二(用直角三角形解)由13得tan1=tan3即 即 解得PE或PE点

19、P坐标为(，)或(，)(3)(用折分法)SBCNSCNMSBMN先求B点坐标：(2，0)由对称轴看出 C点坐标：(0，2)由 得直线BC的解析式：yx2M点坐标(t，t2)SBCNMNtMN(2t) MN而MNt2(t23t2) t22t (t1)21当t1时，SBCN的最大值为1。70.如下图，ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠局部的面积(阴影局部)是ABC的面积的一半，假设AB=，那么三角形移动的距离AA是(A)A1 B C1 D解：利用小学学过的“三角形面积之比是对应线段的比的平方来做设AB=x()2 x=1AA=171.如下图，要建一个面积为130 m2的小仓库，仓库的一边靠

20、墙且墙长16m，并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m墙的木板，求仓库的长(平行于墙的边长)和宽。解：设宽为x，那么长为(3212x) (注意“32m为右图红色局部)(3212x)x=130 (注意长：3212x16) 即2x233x130=0解这个一元二次方程得=10 =6.5由=10解得长：321210=13， 由=6.5解得长：33-13=20(舍去)答：仓库的长为13m，宽为10m。72. 如图。有一块三角形土地，它的底边BC=100m，高AH=80m，某单位要沿着BC边修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？解：(用相似二

21、次函数)矩形的长和宽分别为DG=x、DE=y由相似三角形得=AHx=100AM即80 x=100(80-y) x=(80-y)矩形面积S=(80-y)y = y2100y=( y280y)= ( y280y+1600)+2000 = ( y40)22000当y取40时面积S取最大(2000)当矩形的宽等于40m，长为50m时面积最大。73. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，E是BA的中点，DFBC，垂足为F，那么AED=EFB吗？ 为什么？证明：但凡中点都是伸出！凑在一起延长DE与CB相交于G，那么DE=GE，AEDBEGEF为直角三角形斜边上的中线，EF=EG EFB=G又G=A

22、DG ADG=AED等角对等边AED=EFB74. 如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF 1求证：ADCF 2连接AF，试判断ACF的形状。证明：(1)要证明CGA=90，需证明12=90 只需证明1=323=90 只需证明ACDCBF 可计算出CBFACD=180得CBF=90 由4=45得5=45 FB=DB=DC ACDCBFSAS整理！ 2ACF是等腰三角形 由ACDCBF得AD=CF 又由AB为线段DF的垂直平分线或ADBAFBSAS得AD=AF由上题得AD=CF CF=AFACF是等腰三角形75. 如图，D是ABC的BC边上的一点，且CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD中线。求证：AC=2AE证明：伸出延长AE使FE=AE，连结FD显然BEADEF AF=2AE EFD=EAB需证AC=AF 需证ADFADCSAS 由AD=AD FD=AB=CDADC=180BDAA