2022-2023学年人教A版必修第一册 第三章 3.2.1 第2课时函数的最大值、最小值 学案

1、第三章 函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值素养导引1.借助函数图象，会用符号语言表达函数最大值、最小值(数学抽象)2.理解函数的最大值、最小值的作用和实际意义(数学运算) 函数的最大值和最小值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)条件(1)xI，都有f(x)M(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)m(2)x0I，使得f(x0)m结论称M是函数yf(x)的最大值称m是函数yf(x)的最小值【批注】最大值定义中两个条件的含义：(1)任意函数值都比M小，也叫函数的有界性；(2)能取到M，否则不是函数的最大值

2、诊断1(教材P76图3.21改编)函数yf(x)的图象如图所示，在区间4，1上的最小值是()A4 B3 C0 D1【解析】选C.由题图知，函数在4，3上单调递减，在3，1上单调递增，当x3时取最小值0.2(教材P81例5改编)函数y eq f(1,x1) 在2，3上的最小值为()A2 B eq f(1,2) C eq f(1,3) D eq f(1,2) 【解析】选B.原函数在2，3上单调递减，所以最小值为 eq f(1,31) eq f(1,2) .学习任务一实际问题中的最值(数学建模)1某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y15x eq f(1,4) x2，y23x

3、，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为_万元【解析】设在甲地销售农产品x吨，则在乙地销售农产品10 x吨，由题意可得利润y5x eq f(1,4) x23(10 x) eq f(1,4) x22x30 eq f(1,4) (x4)234，所以当x4时，获得最大利润y34万元答案：342用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_m.【解析】设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则Sx eq f(244x,2) 12x2x22(x3)218.所以当x3时，S有最大值18 m2.答案：3关于实际问题的最值

4、问题(1)实际问题中的最值问题往往与一元二次函数的最值相关，用配方法或公式求最值；(2)要注意实际问题中变量的实际意义，如本例中的自变量x为正实数学习任务二利用单调性求最值(逻辑推理)【典例】已知函数f(x) eq f(2x,x1) ，x2，9.求函数f(x)的最大值和最小值【解析】f(x) eq f(2x,x1) 2 eq f(2,x1) ，变形设x1，x22，9，且x1x2，取值则f(x1)f(x2)(2 eq f(2,x11) )(2 eq f(2,x21) )2 eq f(x2x1,（x11）（x21）) ，作差又由2x1x29，则x110，x210，x2x10，定号则f(x1)f(x

5、2)0，则函数f(x)在2，9上为减函数，结论则f(x)在2，9上最大值为f(2)4，最小值为f(9) eq f(9,4) .求值利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性求出最大(小)值(2022福州高一检测)已知函数f(x) eq f(2x1,x1) ，x3，5.求f(x)的最大值和最小值【解析】设x1，x23，5，且x1x2，则f(x1)f(x2) eq f(2x11,x11) eq f(2x21,x21) eq f(3（x1x2）,（x11）（x21）) .因为3x1x25，所以x1x20，x110，x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1

6、)f(x2)，所以函数f(x)在3，5上为增函数函数f(x)的最小值为f(x)minf(3) eq f(231,31) eq f(5,4) ，函数f(x)的最大值为f(x)maxf(5) eq f(251,51) eq f(3,2) .【补偿训练】设函数f(x)2 eq f(3,x) .求函数f(x)在区间2，5上的最大值与最小值【解析】设x1，x22，5，且x1x2，则f(x1)f(x2)(2 eq f(3,x1) )(2 eq f(3,x2) ) eq f(3,x2) eq f(3,x1) eq f(3（x1x2）,x1x2) .因为2x1x25，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)

7、f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在2，5上为增函数所以f(x)maxf(5) eq f(7,5) ，f(x)minf(2) eq f(1,2) .学习任务三一元二次函数的最值(数学运算)角度1不含参数的最值问题【金榜原创易错变变通】(1)函数f(x)x24x6，x0，5的值域为_【解析】f(x)x24x6(x2)210，因为对称轴x20，所以函数f(x)在0，5上单调递增，所以当x0时，f(x)取得最小值为6；所以当x5时，f(x)取得最大值为39.所以值域为6，39.答案：6，39(2)函数f(x)x24x6，x0，5的值域为_【解析】函数f(x)x24x6(x2)22

8、，因为对称轴x20，5，所以当x2时，f(x)取得最大值为(22)222；当x5时，f(x)取得最小值为(52)2211，所以函数f(x)的值域是11，2.答案：11，2题(1)中抛物线开口向上，对称轴在区间左侧，因此函数在区间上是增函数；(2)中抛物线开口向下，对称轴在区间内，因此函数在对称轴处取最大值，在5处取最小值角度2含参数的最值问题已知a2，bR，f(x)x22bx1，xa，2.(1)当b0时，求函数yf(x)的最小值；(2)当a0时，求函数yf(x)的最大值【解析】(1)当b0时，f(x)x21，xa，2，若a0，f(x)min1，若0a2，f(x)mina21；(2)当a0时，f

9、(x)x22bx1，x0，2，其对称轴方程为xb，若b1，f(x)maxf(2)54b；若b1时，f(x)maxf(0)1.含参数的一元二次函数的最值(1)当开口向上、对称轴为xm，区间为a，b最小值：f(x)min eq blc(avs4alco1(f（a），ma,f（m），amb,f（b），mb) 最大值：f(x)max eq blc(avs4alco1(f（a），mf(ab,2),f（b），mf(ab,2) (2)当开口向下时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系(3)一般地，当抛物线开口向上时，自变量离对称轴越远，函数值越大；当抛物线开口向下时，自变量离对称轴越远，函数

10、值越小1已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为_【解析】函数f(x)x24xa(x2)24a，x0，1，且函数有最小值2.故当x0时，函数有最小值，当x1时，函数有最大值因为当x0时，f(0)a2，所以f(x)x24x2，所以当x1时，f(x)maxf(1)124121.答案：12已知函数f(x)ax22bx1，x1，3(a，bR且a，b为常数).(1)若a1，求f(x)的最大值；(2)若a0，b1，且f(x)的最小值为4，求a的值【解析】(1)当a1时，f(x)x22bx1，x1，3，函数的对称轴为：xb，当b2即b2时，f(x)maxf(1)2b2，当b2即b2时，f(x)maxf(3)6b10，综上，f(x)max eq blc(avs4alco1(2b2，b2,6b10，b2) ；(2)当a0，b1时，f(x)ax22x1，x1，3，函数的对称轴为x eq f(1,a) 0，当 eq f(1,a) 1，即a1时，f(x)minf(1)a14，解得a3，不合题意舍去，当 eq f(1,a) 3，