邱枝枝《用字母表示数》教学实践记录

1、用字母表示数教学实践不确定（未知）情况可用字母表示1.表征对象从确定到不确定（如上图）出示问题情境，学生尝试表达，然后依次呈现出一些典型表征方式。师：（提出关键问题）老师看了同学们的作业后，发现前两幅图大家表示一致： 3和5，而第三幅存钱罐的表示却不同，这是为什么？生：前面的硬币个数确定，是 3和5；存钱罐里的是未知、不确定的。师：看来同学们都认为前两幅图的硬币个数是确定的，可用数表示；而存钱罐的硬币个数无法确定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。2.聚焦未知表征的对比师：（提出关键问题）存钱罐里用“8” “未知”“x”这三种方法， 你欣赏哪一种，为什么？生：我喜欢第二种， “8”只表示

2、了一种，而用文字写的意思很明白。生：我选第三种， “8”表示一种，但还有很多可能，用文字写较麻烦，字母较为简单。生：我也选第三种， “8”是确定的，而存钱罐里的钱是未知的、 不确定的，字母可以表示多种情况，又简洁。师：通过讨论可知，确定的情况用数表示，不确定的情况可用字母表示。反思：用字母表示未知量， 人教版教材没这个环节，之所以安排，是因为历史发生原理指出， 学生应经历 “记数未知一类” 这三个步骤。更为重要的是，从记数到未知的过渡，其关键是表示的对象发生变化，即从“确定”到 “不确定”，随之表示的意义也发生变化。确定情况用数来表示，学生已积累较为丰富的经验，但对“不确定情况怎么表示？为什么

3、用字母表示比较好？”等问题知之甚少。实践中用两个对比，让学生思辨其内在原理。对比一：通过圈内确定的硬币数与存钱罐内不确定的硬币数对比。不确定情况下，再用“具体的数”表示，就有其不足之处，即具体数只能表示出一种具体情况，所以要选用其他的方 法；对比二：“未知表征”形式的对比。通过比较发现，具体数、文字、 字母三种典型的表征方式，每一种都有其优缺点，其中字母因为简洁、 又具有不确定性，用来表示未知、不确定情况最为合理。字母表示一个集合中的任意情况1.具体与抽象的对比师：刚才大家认为，存钱罐里的1元硬币数是未知的、多种情况的，所以用字母来表示， x 可以是0个，也能是1个、 2个， 最多是200个。

4、（指这个存钱罐最多放的1元硬币数）那用1与 x 表示存钱罐里的硬币数有什么不同呢？生：1只能表示一种情况， x 能表示存钱罐里所有可能硬币数中的任意一种情况，如0200中的任意一个数。2. 特殊与一般的对比（如上图）师： 4与a都可表示小红的年龄， 4与a有什么不同？生： 4只表示一年的年龄， a表示任何一年的年龄，也就是从出生到死亡的任何一个年龄。师： 432与a32都可表示爸 爸的年龄，这两个又有什么区别？生： 432只表示爸爸36岁一 年的年龄， a32则可以表示32岁以上的任何一年年龄。反思：从字母表示数意义的 “未知量”阶段过渡到 “一类量” 阶段，其主要的问题是表示“对象” 的意义

5、发生“质变” ，即从特定量（特 殊）到变量（一般）。数只能表示一 个特定的情况，字母不仅能表示特定一种情况，还能表示一个集合中任意一个值的量。这是两者的本质区别，也是字母表示数的优势所在，即能一般化的表示一类量。它是从算术思维过渡到代数思维 “质”的飞跃的重要标志。在教学中，让学生经历两次“具体数” 与 “字母”的对比思辨，从而理解字母是表示一个集合中的任意一个数。 实践中，学生对字母表示未知量“x”意义的理解处在不同的水平层次。经过对比、思辨、交流 等数学活动，促使学生对字母表示数的意义理解从低水平层次向高水平层次转变，较为深刻的理解字母表示变量的意义，也进一步体会到字母表示数的优越性。也为

6、用字母式表示具体情境中的数量关系（变量），及辩论 “432”与“a32”的不同，铺垫了理解的基础。字母式既表示关系又表示数1.重构“”意义，感悟“式”表示数（如上图）师：这些算式中 “”表示的是什么意思？生：小红年龄32等于爸爸的年龄。师：左边的1+32与右边爸爸 的年龄33是相等的。那 “1+32” 算式可以表示爸爸的岁数吗？生：可以表示，因为左右相等。师：那你喜欢用1+32还是喜欢用33来表示爸爸的年龄呢？生：我喜欢33，因为它很清晰。生：1+32，能看出爸爸的年 龄，还知道比小红大32。2.迁移比较，感悟“字母式” 表示数（如上图）师：看数学信息，知道了什么？生：贾老师比小红大28岁。师

7、：你是怎么知道的？生： a+28，是用小红年龄a加 28得到的。师：这么说， a28不仅表示贾老师的年龄，还表示贾老师与小红年龄间的大小关系。那刚才的a32又表示了什么呢？生： a32不仅表示了爸爸的年龄，还可看出爸爸比小红大32 岁这个关系。师：根据刚才的经验，想一想 “（a32）30” 会是谁的年龄？生：爷爷岁数， a+32是爸爸年龄，爷爷比爸爸还要大30岁。生：只要比爸爸（a+32）大30岁的人都有可能。师：（ a32）30表示了什么意思？生：表示比爸爸大30岁的岁数，又表示比爸爸大30岁的关系。反思：能理解字母式既能表示关系（过程），又能表示对象（结果）是理解字母表示一类量意义的重要的

8、标志。在代数中，如字母 式a+32，既表示a与32相加这一个过程操作，又表示为对象、结构， 即a+32的结果就是a+32。然而正是这种既表示过程又表示对象的“二重性”特征，给学生造成了主要的理解障碍。它之所以难，不仅仅是因为它本身具有的抽象性，还在于对它的建构，要抵制已有知识经验的强烈负迁移。因为 “式” （如2+32）算术中，具有操作性的、表示过程的，目的是求结果，学生潜意识中要把232计算为34；而在代数运算中是结构性的，是形式变换，关注结构，注重关系，此时的“式”除了体现过程外，更多是关系结构的形式化。 为突破，先重构“”意义，铺垫理解基础。Booth提出 “如果学生不能理解两个集合（假定分别 含有5个和8个）物件的总数可以写成5+8，那么要他们理解a+ b表示了两个集合（分别含有a 个和b个）物件的总数就更不可能了。”然要改造学生已有的经 验，要结合“”意义重构一起进 行，因为“越”在算术中，代表运算 得到结果，是具有方向性、程序性 的。而在代数中， “”代表一种等价关系，因此“”左右两边需有同样的大小，没有方向性，具有结构性。先认识到33与1垣32是等 价的，都能表示爸爸的年龄，且 132还能看出与小红的关系，有了这样的理解基础，迁移到a32 表示爸爸的年龄就简单多了。为突破，再类比推理，思辨说理中加深理解。从