复旦附中高二下在线考详解(2020.4.1)

1、- -复旦附中高二下在线教学测验(一)数学试卷2020.4.1一、填空题 32.若一个球的体积为 3,则该球的表面积为3.正四面体的侧棱与底面所成角的余弦值等于则线段AB的长度为2.已知一个球的半径为2该球面上A、B两点的球面距离为 3.在平行六面体A BCDA1B1GD1 中，M 为 AC 与 BD 的uuuu交点，设AiBir uuuua , AiDir uuuu r r rb , AiA c ,则用 a、b、rc表不uuuuBiM 为r.已知平面的一个法向量为n (1,1,1),直线l的一个方向向量为LUm (2,2,0),则直线 l与平面的位置关系是.已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的

2、底面直径、高均是 2d ,那么圆锥的表面积与圆柱 的表面积之比为 .有一块直角三角板 ABC , A 30 , C 90 , BC边贴在桌面上，当三角板与桌面 成45角时，AB边与桌面所成角的正弦值等于 .在三BUS ABC中，4ABC是边长为6的正三角形，SA SB SC 12,平面DEFH 分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H ,且它们分别是 AB、BC、SC、SA 的中点，那么四边形 DEFH的面积为 .第R噩图第。堰图9.如图，直三棱柱 ABBi DCCi中，BBiAB , AB 4 , BC 2 , CCi 1 , DC 上有一动点P,则APCi周长的最小值是.如图，直线

3、AAi、BBi、CCi 相交于点 O, AO AQ , BO Bi。，CO CQ ,形1 一、成两个顶点相对、底面水平的三棱锥.设三棱锥图均为1 ,上面三棱锥中装有局度为一的披2体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为 .第1。题图.如图，边长为 2的菱形ABCD中， DAB 60 ,沿BD将4ABD翻折，得到三棱锥也为半径作一个球, 3A BCD ,则当三棱锥 A BCD体积最大时，异面直线 AD与BC所成的角的余弦值等.已知正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1,以顶点 A为球心,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长度之和为 .二、选择题.设l,m,n均为直线，其中 m,n在平面

4、 上，则l ”是T m且l n ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件.若直线11和12是异面直线，11在平面 上，12在平面 上，l是平面 与平面 的交线,则下列命题中正确的是()A. 1与11,12都不相交B. 1与J都相交另一个三棱锥的底面边长与设四棱锥、三棱锥、三棱柱的C. 1至少与11/2中的一条相交 D. 1至多与11/2中的一条相交.如图，四个棱长为 1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi (i 1,2, L ,8)是上底面上其余的八个点，uuu uuur则AB APi(i 1,2,L ,8)的不同值的个数为()A.

5、1B. 2C. 4D. 8. 一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等,各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.高分别为、h2、h ,则 : h2: h ()A.怎2:石B.返:2:2C. 2:73:2D, 2:V3:V3三、解答题.三棱柱ABC A1B1C1的侧面ABBiAi为正方形，且为圆柱的轴截面，C是弧AB的中点.求异面直线 AiC与AB所成角的余弦值.19.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD平面 ABCD , PD DC BC 1 , AB 2 ,18.如图，在四棱锥 P ABCD中，PC底面ABCD , ABCD是直角梯形，AB AD ,AB II CD

6、, AB 2AD 2CD 2, E 是 PB 的中点.(1)求证：直线AC 平面PBC ;(2)求证：EC II平面PAD .AB II DC ,BCD 90 .(1)求证：二面角 B PC D为直二面角;(2)求点A到平面PBC的距离.20.如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD 知AD 2, BD 4, AB 2拜，M为棱PC上的一点.(1)求证：平面 PAD 平面M BD ;(2)求二面角 A PB D的余弦值.21.如图，已知正三棱锥 PAD是等边三角形，已P ABC的侧面是直角三角形，PA 6,顶点P在平面ABC上的射影为点D , D在平面PAB上的射影为点E ,连

7、接PE并延长交AB于点G .(1)证明：G是AB的中点;(2)在图中彳出点E在平面PAC上的射影F，请说明作法及理由， 并求四面体PDEF的 体积.、填空题1. 162.3. 2参考答案uuuu 1 r4. B1M-a25.u 或 l /6. ( 5 1):67._648. 189. 21 510. 111,112.446【第9题解析】将矩形 ABCD与4CDC1展开为一平面,则。 APC1 AC1 (AP Pg)21 (AP PC1扬川 (2 1)2后5 .a【第10题解析】“平行于三棱锥底面的平面所截得的小三棱锥的体积与原三棱锥的体积之比为两个三棱锥高的比的立方”.设两个三棱锥的体积为V

8、,液体高度为h ,则V液-V , 81V -V 由题意，-8-【第11题解析】当平面ABD平面BCD时,三棱锥A BCD体积最大，借助如右图的长方体分析问题，其长、宽（BD ）、高分别为 晶、2、B异面直线A D与BC所成的角即 BCE或其补角，2222 ( -6)2BE 46 , BC EC 2 ,cos BCE -6)-2 2 2【第12题解析】球面与正方体的表面 A1B1GD1、BCC1B1、DCC1D1相交得到的圆弧的形状相同，形如？F ,与正方体的表面 ABB1A1、ABCD、ADD 1A1相交得到的圆弧的形状相同,形如？G ,其中?F的半径为由A1FAA11 ,可得 A1AF二、选

9、择题13. A 14. C【第15题解析】向量15. A uuir APi(i16. B?F3236，曲线的长度之和为3?F3?G的半径为536uuu 1,2,L ,8）在向量AB上的投影均为有向线段 AB，由向量数uuu uuir uuu 2量积的几何意义知，AB APi |AB| 1,选A.【第16题解析】设题设条件中的三棱锥（正四面体）的棱长为12 3-13 26V正四面体3 V正方体一 a12，乂 V正四面体3a 4h2h2a 3V四棱锥2V正四面体231 :2 .h12a 6）乂 V四梭锥a3h1a 2而h h2h1 ： h2:hh266:3:2:2 ,选B.则其可内嵌至正方体 A

10、BCD A1B1GD1中，正方体的棱长为233三、解答题17.设圆柱的底面半径为r ,则 A1B1 2r , A1C B1C. 6r , AB / A1B1,B1A1C或其补角，即为异面直线AQ与AB所成角, cos B1A1C A1B-AC-BC- 克，.异面直线 AiC与AB所成角的余弦值为 吏.12AiBi AiC66(1)PC 底面 ABCD 且 AC u 平面 ABCD , /. PC AC ,通过计算，可知，直角梯形 ABCD中，AC BC 22, AC2 BC2 AB2 , . AC BC ,又 BC u平面 PBC , PC u平面 PBC , AC 平面 PBC ;(2)延长

11、BC交AD延长线于点F ,易证C为BF的中点，又 E为PB的中点，EC / PF ,而 PF u平面 PAD , EC 平面 PAD ,EC II 平面 PAD .(1) PD 平面 ABCD 且 BC u 平面 ABCD , ：. PD BC ,. BCD 90 , AB II DC , . BC CD ,又.PD u 平面 PCD , CD u 平面 PCD ,BC 平面 PCD，而 BC u 平面 PBC ,平面PBC 平面PCD ,即二面角B PC D为直二面角；(2)记点A到平面PBC的距离为d , TOC o 1-5 h z 11由等体积法，知 Va PBC VP ABC - Sa

12、 PBC d - SaaBC PD d 亚.3320. (1)取AD中点E ,联结PE ,则PE AD ,.平面PAD 平面ABCD 且平面PAD I平面ABCD AD , . PE 平面ABCD ,222而 BD u 平面 ABCD , PE BD , . AD2 BD2 AB2, /. AD BD , PE u平面 PAD 且 AD u 平面 PAD，.二 BD 平面 PAD ,又 BD u平面M BD，.平面PAD 平面M BD ;(2)设二面角A PB D的平面角为，易得PB AB 2j5 ,从而S*bpA在平面BDP上的射影为PD的中点,，由面积射影法，cos1sA2 ABDPSAABP2192.1919，即二面角2 19A PB D的余弦值为1921. (1) D在平面PAB上的射影为点E ,即DE 平面PABU平面 DEAB ,同理 PD AB ,又DEu平面PDG且PD u平面PDG AB平面PDG，而PG u平面P