圆锥曲线中常用结论和性质

1、焦半径公式：若点P（X,y）是抛物线y22px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称00为焦半径）是：PFx+p，02焦点弦长公式：过焦点弦长PQX+X+X+X+p122212抛物线y22pX上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或p(X,y)其中y2=2px已知抛物线y22pX（p0），过焦点F的直线1交抛物线于A、B两点，直线1的倾斜角为a，求证：sin2a。直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）（2）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解直线与抛物线相离。直线与抛物线

2、相交形成的弦的有关问题。设线段AB为抛物线y22pX（p0）的弦，A、B的坐标为（Xiyi）、（X2y2），直线AB的斜率为k,弦AB的中点为M（Xoyo），则1）2）AB=：1+k22p1+|y2-yiJ1+k21_Py-ykj2XXy+yyi2i20直线1过抛物线y22pX（p丰0）的焦点，且与抛物线相交于g，人），BgJ两点。求证：yi一p，4XXp212A,B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，满足OA丄OB（O为坐标原点）求证:（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；（2）直线AB经过一个定点（3）作OM丄AB于M,求点M的轨迹方程双曲线设F,F为双曲线丁-y21的两个焦点

3、，点P在双曲线上且满足,FPF90，求12412AFPF的面积。12焦点三角形APFF的面积：Sb2cot（，FPF,b为虚半轴长）TOC o 1-5 h z12PF1F2212x2y2x2y21与=1共渐近线的双曲线方程一一入（入鼻0）.a2b2a2b2x2y2x2y22与一=1有相同焦点的双曲线方程一=1（k0,bro相离o0Aa+Bb+C|dVA2+B2d=ro相切o=0dro相交o0q.0O,O.O.内含相父相离内切外外切.直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。过圆上

4、一点的切线方程：圆X2+y2=r2的以P(X,y)为切点的切线方程是00 xx+yyr200当点p（x0,y）在圆外时，x0 x+y0yr2表示切点弦的方程。一般地曲线Ax2+Cy2-D+Ey+F的以点p（xo,yo）为切点的切线方程是:AX0X+Cy0yD弓+E宁+F。x+xy+y当点p（x，y）在圆外时，Axx+Cy0y，Dp+E+F0表示切点弦的方程。这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。5.经过两个圆交点的圆系方程：经过x2+y2+Dx+Ey+F0，111x2+y2+Dx+Ey+F0的交点的圆系方程是：222x2+y2+Dx+Ey+F+(x

5、2+y2+Dx+Ey+F)=111222在过两圆公共点的图象方程中，若入=1,可得两圆公共弦所在的直线方程。6经过直线与圆交点的圆系方程：经过直线l：Ax+By+C0与圆x2+y2+Dx+Ey+F0的交点的圆系方程是:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F0，圆心为点（#,，|），半径r其中D2+E2一4F0.3、二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+f=0，表示圆的方程的充要条件是:x2项y2项的系数相同且不为0,即Ac主0；没有xy项，即B=0；D2+E2一4AF0.直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有当直线与抛物5、

6、点和圆位置关系的判定方法：当点M(x0,y0)在圆的内部时：(xa)2+(yb)2r2应用：直线与圆相离：求圆上的点到直线距离的最大值最小值直线与圆相切：求切线方程、切线长、两切线的夹角直线与圆相交：弦长问题，中点弦问题A.常见结论：TOC o 1-5 h zx2y2x2y21.与椭圆一+厂=1(abO)共焦点的椭圆方程可设为：+=1a2b2a2+kb2+kx22与a2中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为沐Fi(m0,n0)（入0）. HYPERLINK l bookmark29y2x2y2=1共渐近线的双曲线方程一-九b2a2b2x2y2_x2y2_与一厂=1有相同焦点的双曲线

7、方程一=1(ka2且k，b2)a2b2a2一kb2+k3抛物线：抛物线的通径为2P,焦准距为P,径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦若抛物线的焦点弦为AB,则若OA、OB是过抛物线顶点0的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定占八、B.直线与曲线方程的位置关系：1方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式A来讨论位置关系.相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故A0也仅是直线与抛物

8、线相交的充分条件，但不是必要条件相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。【注：a.直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;P为原点时不存在这样的直线；过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】2.方法二是几何的观点a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=b.在求直线与曲线的相交弦的弦长时，要分开讨论：直线与圆相交充分运用垂径定理，