材料力学课后思考题习题解第十八章

1、第十八章考虑材料塑性的强度计算页码题号18-2 .118-4 .118-5 .218-8 .318-9 .318-10 .518-12 .518-13 .718-14 .818-15 .918-16 .11（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）18-2 图示两端固定杆 AB，截面 C 承受轴向载荷 F 作用。试确定极限载荷 Fu。已知 AC 与 CB 段的横截面面积分别为 A1 = 200 mm2，A2 =150mm2，屈服应力 = 300MPa。s题 18-2 图解：此为一度静不定杆，只有当截面C 两边的杆段均屈服时才会变成塑性机构。这两段杆的屈服内力依次为 A1s 60kN A2s 45

2、kNFN1s FN2s当两段杆的内力均达到屈服内力时，截面C 有向左移动的趋势，故 FN1s 为压，FN2s 为拉，由轴向平衡条件该杆的极限载荷为 105kNN2s18-4 图示桁架，由三根钢杆所组成，在节点 C 承受载荷 F 作用。试求极限载荷 Fu 。已知三杆的横截面面积均为 A = 150mm2，屈服应力 = 360MPa。s1题 18-4 图解：此为一度静不定桁架结构。不难判断，当载荷 F 增加时，杆 2 首先到达屈服。又由于结构及载荷对称，其后的杆 1 与杆 3 必然是同时屈服，故该结构只有当三根杆都屈服时才会变成极限状态。各杆的屈服内力为 A s 54kNN3s进而由节点C 的平衡

3、方程 Fy 0极限载荷为 FN3s )cos45o 130.4kNN1s18-5 试绘制题 18-4 所述桁架节点 C 的铅垂位移 f 与载荷 F 间的关系曲线。设杆长l1 l3 2l2 1m ，材料的弹性模量 E = 210GPa。解：1.求各杆的轴力不定，求得cos2 45o2cos3 45oFFN21 2cos3 45o比较可知， FN2 FN1 ，杆 2 将首先屈服。2计算杆 2 屈服时点C 的铅垂位移杆 2 中的应力到达s 时，有 (1 2 ) 54kN 92.2kN 21F (1 2cos3 45o )FSN2s(360 106 ) ()mFN2s l2 s l2 2 1.212

4、103 m 1.212mm()f l S2210 109EAE3计算结构达到极限状态时点C 的铅垂位移载荷若继续增大，会使杆 1 和 3 也屈服，即整个结构达到极限状态。此时点C 的铅垂位2移为(360 106 ) (1)m lf 2l 2( s 1 ) 2 2.424 10m 2.424mm()3u1210 109Ef4绘制与 F 的关系曲线根据以上计算结果及上题所得的 Fu 值，可画出 f 与 F 的关系曲线，如图 18-5 所示。图 18-518-8 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩 M 作用，试求其极限值 Mu 。已知轴径 d = 40mm，剪切屈服应力为 s =100MPa。题 1

5、8-8 图解：此为一度静不定问题。当扭力矩 M 两边的轴段均到达屈服时，该轴达到极限状态。两段轴的极限扭矩均为 0.0403d 3Tp s 100 10 N m 1676N m61212不难判断，左、右两边的Tp 均与极限扭力矩 M u 反向，故由平衡方程 M x 0 得到M u 2Tp 3.35 10 N m 3.35kN m318-9 梁截面力为 s 。，弯矩作用在铅垂对称面内。试求极限弯矩 Mp。已知屈服应3题 18-9 图(a)解：达极限状态时，圆截面的水平对称轴 z 仍为中性轴。知道，半圆的形心坐标为 2d3yC故极限弯矩为d 3d 22dM ( S S ) 2 ()() s6ps1

6、2s83(b)解：先确定中性轴位置设中性轴为水平轴线 z ，如图 18-9b 所示，有h1 : b1 h : b(a)1 h b 1 hb1 1(b)24由式(a)与(b)121h h，b b112图 18-9b极限弯矩为M p s (S1 S2 )（c）其中，4S ( 1 h b )(1 h ) 2 bh 2(d)11 1123241121S b (h h ) (b b )(h h )(h h ) (8 5 2)bh22(e)21111122324将式(d)与(e)代入式(c)，得M 2 bh 2 (8 5 2)bh2 2 12 bh2pss2424618-10 一矩形截面梁，宽为 b，高为

7、 h，横截面上的弯矩为 M，且 Ms M Mp。试求梁的曲率半径。拉、压屈服应力均为 s 。解：该梁横截面上正应力分布情况如图 18-10 所示。图 18-10由弯矩 M 的关系可知， s (bys ) ( 2 y) 2 ( h y )b( h y ) 1 2Mssss23222bh2by22h24b3y2 b ( y 2 ) s s s s sss43由此得3bh2y (s M )sb4s依据关系式 y / ，得h 2yEyEM s s 3()4bssss18-12 图示两端固定梁，承受均布载荷 q = 50N/mm 作用，试根据许用载荷法选择一合适型号的工字钢。已知许用应力 =160MPa

8、，梁的跨度 l = 4m。5题 18-12 图解：1.确定极限状态此为三度静不定梁，但在小变形条件下，轴力很小，可以不计，故只存在两个多余未知反力，当该梁出现三个塑性铰时即处于极限状态。由于结构及载荷均对称，故极限状态只可能如图 18-12 所示。图 18-122确定极限弯矩与载荷的关系根据虚功原理，有(q l ) u 2 (M ) 4 0p22其中，l 2u 于是得到ql 216M p 3选择工字钢型号 依据许用载荷法，应有ql 216 M p f W由此得ql 2W 16 f 对于工字形截面，可取 f 1.16 ，于是(50 103 ) 424W m 2.69 10m3316 1.16 1

9、60 106查附录 F 之表 4，22a 工字钢的抗弯截面系数为343Wx 309cm 3.09 10m W6能满足强度要求，故选择22a 工字钢。18-13 试分别按许用载荷法与许用应力法分析图示梁的承载能力并进行比较。许用应力 =160MPa，梁截面为22a 工字钢，a = 1m。题 18-13 图解：1.按许用载荷法来求此为一度静不定梁，可能的极限状态有两种，分别示如图 18-13a 和 b。图 18-13对于图 a，根据虚功原理，有Fu1( a) M p 0由此得M paF u1对于图 b，根据虚功原理，有2Fu2 ( a) Fu2 ( a) 3M p 0由此得 3M pFu2a比较可

10、知，图 a 所示为该梁真实的极限状态，故取M paF u依据许用载荷法，该梁的承载能力为M p fW 1.16 3.09 104 160 106F N 5.74 10 N 57.4kN Fu 4aa12按许用应力法来求参看图 18-13c，不定，得 B 处多余反力为 19 F8Fy7由弯矩图可知， FaMmax图 18-13c依据许用应力法，应有M Fa WmaxmaxW由此得W3.09 104 160 106F N 4.94 10 N 49.4kN F 4a13比较根据上述计算，得Fu 1.16F 用许用载荷法所得结果比用许用应力法所得结果大 16。18-14 在图示梁上作用一沿移动的载荷

11、F，试求极限载荷 Fu。已知极限弯矩为 Mp。题 18-14 图解：此为一度静不定梁，当出现两个塑性铰时，该梁即处于极限状态。由于弯矩的峰值将发生在左端截面和载荷 F 作用截面处，故可能的极限状态应如图 18-14 所示。图 18-14根据虚功原理，有8Fu 2M p M p1 0(a)由几何关系可知， （b）1l 将式(b)代入式(a)，得 p l F 2M M 0up即F ( 2 )M1(c)upl 进而由dFu d 2( 1 2 ) 1 (l )2 022得2(l )2 2 022 (l )2或2 4l 2l 2 0(d)求解方程(d)，得 (2 2 )l舍去增根，取 (2 2)l 0.

12、586l将式(e)代入式(c)，得极限载荷为(e)M 5.83 M p21F (up0.586ll 0.586ll18-15 试求图示刚架的极限载荷，已知极限弯矩为 Mp。9题 18-15 图(a) 解：此为一度静不定刚架。其极限状态如图 18-15a 所示。图 18-15a依据虚功原理，有Fu ( l) (M p ) 2 0由此得 2M pFul(b) 解：此为三度静不定刚架。其极限状态如图 18-15b 所示。图 18-15b依据虚功原理，有10Fu ( l) (M p ) 4 0由此得 4M pFul18-16 图示结构，由梁 BC 与杆 CD 组成。试求极限载荷 Fu。32b 工字钢制成，杆的横截面面积 A = 250mm2，梁与杆的屈服应力均为 = 240MPa, a = 8m，b = 1m。s题 18-16 图解：此为一度静不定结构。可能的极限状态有两种，如图 18-16(a)和(b)所示。图 18-16对于图 a，依据虚功原理，有F ( a) (M ) 2 M ( a ) 0u1ppb由此得F ( 2 1 )M ( 2 1 )( fW ) ( 2 1)(1.16 726 106 240 106 )Nu1psabab